湖南省岳阳市2021届新高考数学三模考试卷含解析

1、5湖南省岳阳市2021届新高考数学三模考试卷、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。1.将函数f(x) sin(2x) (x R)的图象分别向右平移个单位长度与向左平移 n(n>o)个单位长度,33若所得到的两个图象重合，则n的最小值为()2A .B .C .D.332【答案】B【解析】【分析】首先根据函数f(x)的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合，那么m n k T，利用f(x)的最小正周期为，从而求得结果【详解】f (x)的最小正周期为，那么一n k (k Z),3于是n k32于是当k 1时

2、，n最小值为,3故选B.【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目2.已知 p : cosx sin 2y , q: x y则 p是q的()A .充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据诱导公式化简 Sin yCOSy再分析即可.2【详解】,.5因为COSx Si n y cosy,所以q成立可以推出p成立但p成立得不到q成立例如COS COS233,所以p是q的必要而不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用，属于基础题3.已知Sn是等差数列an的前n项和，若S

3、3ai§，a46，则 S5(B . 1015D. 20【答案】C【解析】【分析】利用等差通项，设出a1和d ,然后，直接求解S5即可【详解】令 an a1 n 1 d，则 3a1a1印 3d6 a13, d 3,- S5 5310 3 15.【点睛】本题考查等差数列的求和问题，属于基础题4.已知三棱锥DABC的外接球半径为2,且球心为线段BC的中点，则三棱锥D ABC的体积的最大值为(16一 3D.c2一 3剌 - 答A 【解析】【分析】由题可推断出 VABC和VBCD都是直角三角形，设球心为0，要使三棱锥 D ABC的体积最大，则需满足h 0D，结合几何关系和图形即可求解【详解】先

4、画出图形，由球心到各点距离相等可得，OA OB 0C，故VABC是直角三角形，设AB x, AC y，则有 x2 y2 42 2xy，又 S abc 1xy，所以 S abc 1 xy 4，当且仅当 x y 2 2 时 ，S ABC 取2 21 18最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高h 0D 2，此时Vabc d S abc h 4 2 333【点睛】本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题5设0为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线2y4x上任意一点， M是线段PF上的点，且PM MF，则直线OM的斜率的最大值为(422【答案】A【解析】【分析】2设 P(匹

5、，yo), M(x, y)，因为 PM MF，得到 2pyo2，利用直线的斜率公式，得到yo2卫42y。4pPyo，结合基本不等式，即可求解yoP1【详解】由题意，抛物线y2 4x的焦点坐标为FO)2设 P”M(x,y)，因为PMMF，即M线段PF的中点，所以22P)2yo y yo4?y所以直线OM2的斜率kOMP Yo_4 4p当且仅当Pyo，即y0 p时等号成立,P所以直线OM的斜率的最大值为1.故选：A.【点睛】 本题主要考查了抛物线的方程及其应用，直线的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题 4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半

6、圆构成，则该几何体的体积为（)AZKvA. 8 M-B.8 2屈C. 4336某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为D.48133【答案】A【解析】由题意得到该几何体是一个组合体，前半部分是一个高为2 3底面是边长为4的等边三角形的三棱锥,后半部分是一个底面半径为 2的半个圆锥，体积为V 1 二3 42 2、3 1 14 2.3 8 兰3342 33故答案为A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循长对正，高平齐，宽相等 ”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽

7、由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整7.如图所示，正方体ABCD ABQQ!的棱AB ,的中点分别为 E , F ,则直线EF与平面AAD 所成角的正弦值为（A .二5.30C .兰6【答案】C【解析】【分析】以D为原点，DA , DC , DD 1分别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF与平面AA 1D1D所成角的正弦值.【详解】以D为原点，DA为x轴,DC的棱长为2,则E 2,1,0 ,为y轴，DD 1为z轴，建立空间直角坐标系

8、，设正方体uuv1,0,2 , EFABCD - A1B1C1D11, 1,2 ,取平面AA1D1D的法向量为0,1,0，设直线EF与平面AA 1D1D所成角为0,则sinuuiv r 爭 |COsEF, nuuv rEF n |.6-uutvr.EFnl直线EF与平面AAQQ所成角的正弦值为'66故选C.【点睛】本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题.&函数 f x sin x0,0的图象如图所示，为了得到g x cos x的图象，可将B 向右平移乜个单位A 向右平移6个单位C 向左平移 个单位12【答案】C【解析】【分析】D 向左平移6

9、个单位根据正弦型函数的图象得到f xsin 2x 3，结合图像变换知识得到答案【详解】由图象知：T 7T2.2 12 122又x 时函数值最大，12所以2-2k2k .又0,12 23从而f x sin2x-,g xcos2x sin 2x sin 2 x 3，32123只需将f x的图象向左平移个单位即可得到 g x的图象,12故选C.【点睛】已知函数y Asin xB(A 0,0)的图象求解析式(1) Aymaxy min2ymaxymin2.(2)由函数的周期T求,T(3)利用 五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求.9关于圆周率 n,数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如

10、著名的浦丰实验和查理斯实验受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校m名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对x, y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对x, y的个数a ；最后再根据统计数a估计 的4aA.ma 2 B .mC.a 2m4a 2mD.-mm【答案】D【解析】【分析】0x 1由试验结果知m对01之间的均匀随机数x,y，满足，面积为1,再计算构成钝角三角形三0y 1边的数对(x,y)，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比 正方形的面积，即可估计 的值.【详解】解：根据题意知,m名同学取m对都小于1的正实数对0X，八即

11、0对应区域为边长为i的正方形，其面积为i,2 2x y 1若两个正实数X, y能与1构成钝角三角形三边，则有xy10x10y1其面积s 1 ；则有空一1，解得心卫42 m 42m故选：D .【点睛】.线性规划可行域是一个封闭本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题 的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必 要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解2i山10.已知复数z ，则Z ()1 iA. 1 iB. 1 iC. , 2D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数模的性质

12、即可求解【详解】2i|2i |2_|1 i| 2故选：C【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题11 已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为 2,则球的体积与圆柱的体积的比为（）D.169【答案】D【解析】【分析】分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值【详解】设圆柱的底面圆半径为r，则r3， 所以圆柱的体积V16 又球的体积V232 f ，所以球的体积与圆柱的体积的比32V316，故选DV169【点睛】本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养12.函数 f (x) 2sin( x ) (0,0）的部分图像如图所示,若AB 5，点A的坐标为（1,2）,A .B . 1

13、2若将函数f （x）向右平移m（m 0）个单位后函数图像关于y轴对称，则m的最小值为（D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出A,和，即可求得f x的解析式，再通过平移变换函数图象关于y轴对称，求得m的最小值.【详解】由于AB 5，函数最高点与最低点的高度差为 4 ,所以函数f x的半个周期T23，所以T 6又 A 1,2 , 0，则有2si n2，可得所以 f x 2sin x32sinx 3322cos 3将函数f x向右平移m个单位后函数图像关于 y轴对称，即平移后为偶函数，所以m的最小值为1，故选：B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出

14、函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目二、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分。*1 a n13 设等差数列 an的前n项和为Sn,若S3 6 , S7 28，则 , 的最大值是 Sn 41【答案】n 丄7【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列an的通项公式，可求出a1S-的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出a1Sn的最大值.【详解】(1)设等差数列an的公差为d ,S3则S73a17a13d21d628，解得a1 d所以,数列an的通项公式为ana1n(2)Snana1 a

15、n5 4an1，则 t 2 且 t N ,&Sn 42tt 4 t由双勾函数的单调性可知，函数2t0, 2 3时单调递减,在t2、3,时单调递增,ai ani当t 3或4时，S -取得最大值为丄.Sn 471故答案为：n ；.7【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力,是中档题.14在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC的平分线交AC于点D,且BD 1，则4a c的最小值为.【答案】9【解析】详解：由题意可知,分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.SaabcabdS

16、bcd , 由角平分线性质和三角形面积公式得1acsi n12021a 1 sin 6021c 1 sin60，化简得 ac21 1a c,1，因此a c1 1c4a c (4 a c)()5a ca当且仅当c 2a3时取等号，则4a c的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中正”即条件要求中字母为正数 卜 定”不等式的另一边必须为定值 卜 等”等号取得的条件)的条件才能应用，否则 会出现错误.urltrr15.已知向量m( 2,1)， n(4, y)，若 mn，则2m n .【答案】10【解析】【分析】根据垂直得到y 8，代入计算得到答

17、案【详解】ur r u rm n，则 m n ( 2,1) (4,y)8 y 0，解得 y 8，ur rlt r故 2m n 4,24,80,10，故 2m n 10.故答案为：10.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力16.在 VABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 2acosC bcosC ccosB ,则 C 【答案】3【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果【详解】由正弦定理可知，2sin AcosC sin BcosC sin CcosB sin A1A,C 0, si nA ,cosC 一即 C 23 

18、9;故答案为：一.3【点睛】 本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .数列an满足a 2a2 3a3L nan 2 /(1)求数列an的通项公式;(2)设 bnan1 an 1 an 1Tn为bn的前n项和,求证:Tn I【答案】(1)1an (2)证明见解析2【解析】【分析】(1)利用Sn与an的关系即可求解(2)利用裂项求和法即可求解【详解】解析：(1)当n1 时，a1nan步，可得an又当n1时也成立,anTn112n12* 12n12n 12n12n1 1，122 1122 1123 112n 12 1 1 2 2

19、2'n i' m3 213213【点睛】本题主要考查了 Sn与an的关系、裂项求和法，属于基础题118.已知 ABC中，角a,B,C所对边的长分别为 a,b,c，且acosB -b g(1) 求角A的大小；(2) 求 sin2B sin2C sinBsinC 的值2 3【答案】(1) A ; (2).3 4【解析】【分析】(1) 正弦定理的边角转换，以及两角和的正弦公式展开，特殊角的余弦值即可求出答案；(2) 构造齐次式，利用正弦定理的边角转换，得到si n2 B si n2C si nBsi nC si n2Agc2 bc2，a结合余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA

20、得到 sin2 B sin2C sin BsinC -4【详解】解：(1)由已知，得sin AcosBsin B sinC2又 sinC sin A Bsin AcosB cos As in B0,因为 B 0, ,sin B 01二 sin AcosB sin B2二 cos As in B sin B21得 cosA -2 0 A（2）t sin2 B sin2C sinBsinC2 sin2 B sin2 C sin Bsin Csin Agst厂be3 b24g-又由余弦定理，得2beeos2 2b e be2 2二 sin B sin C sinBsinC【点睛】1考查学生对正余弦定

21、理的综合应用；2能处理基本的边角转换问题；3能利用特殊的三角函数值推特殊角，属于中档题19在 ABC中， B , b 、7 ,求BC边上的高.3sin A 21，si nA 3si nC ,a e 2，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答7【答案】详见解析【解析】【分析】选择，利用正弦定理求得a，利用余弦定理求得 e，再计算BC边上的高选择，利用正弦定理得出a 3e，由余弦定理求出 e，再求BC边上的高选择，利用余弦定理列方程求出e，再计算BC边上的高【详解】选择，在ABC中，由正弦定理得a bsinA sinBa 7即?21空，解得a 2;72由余弦定理得b2 a2 e2 2aeeo

22、sB,即 '一 7 222 e22 2 c1 ,2化简得e2 2e 3 0，解得e 3或e1 （舍去）;所以BC边上的高为h csinB 3 2 2选择，在ABC中，由正弦定理得asin Aesin C又因为sin A3sin C ,所以ac小，即 J dOw ；3sin C sinC由余弦定理得b2a22 c2accosB ,2即、73c 2 c223c c ,2化简得7c27,解得c 1或c 1 （舍去）;所以BC边上的高为h csinB 1丄311.2 2选择，在 ABC中，由a c 2，得a c 2 ；由余弦定理得 b2 a2 c2 2accosB，2 2 2 1即,7 c 2

23、c2 2 c 2 c -，化简得c2+2c 3 0，解得c 1或c 3 （舍去）；所以BC边上的高为h csinB 13.2 2【点睛】本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形，属于中档题220.设椭圆E :y2 1，直线h经过点M m,0，直线J经过点N n,0，直线h P直线J，且直线h, J2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点（I ）若M ， N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线 h x轴，求四边形 ABCD的面积；（n）若直线h的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m n 0;（川）在（n ）的条件下，判断四边形 ABCD能否为矩形，说明理由【答案】（I）2 2 ；

24、 （n ）证明见解析;（出）不能,证明见解析【解析】【分析】（I ）计算得到故1221, D21,丄2 ，计算得到面积.2X1X2x m ，联立方程得到X1X24k2m2k2 12k2m2 22k2 1，计算AB 1尹6亡代心8,2k 1同理CD2、.16k2 8k2n228，根据2k 1（川）设AB中点为P a,b，根据点差法得到结论.【详解】(I )M 1,0 , N 1,0 ,A 1,AB2kb1,CD得到同理故四边形ABCD的面积为2 2.，故m2k2x2X1X2设 A X1,y1 , B X2,y2x1x24k2m2k2 12k2 m2 22k2 1AB.厂k2同理可得cd JiAB

25、 CD，故即m2n2，m（川）设AB中点为相减得到c 2kd4k2mx0,故D 1,2m2k22k1-，得到k.1 k n2x24x2"6k2 8k2m2 82k2 1'2 .16k2 8k2n28k2k2 1'"16k2 8k2m2 82k2 1n，故P a,bx12"16k2 8k2 n2812k2，则2X12y1x2y1y2y1同理可得：CD的中点Q c,d，满足2X2y2c 2kd2y22kb, d b 故kpQc a【点睛】d b2kd 2 kb12k1，故四边形kABCD不能为矩形本题考查了椭圆内四边形的面积,形状，根据四边形形状求参数

26、，意在考查学生的计算能力和综合应用能n k k21 设 P(n, m) ( 1) Cnmn,*-,Q(n, m) Cn m，其中 m, nN. m k0(1)当 m 1 时，求 P(n ,1) Q(n ,1)的值;(2)对 mN，证明：P(n, m) Q(n, m)恒为定值.【答案】(1)【解析】分析：(1)1时可得P n,1-n1,Q n,11n 1，可得P n,1 Q n,11. (2)先得到关系式P n, m1,m，累乘可得n,mn!m! P n m !0,m-，从而可得mP n, mQ n,m即为定值.详解：(1)当m1时,n,1kCnCn又 Q n,1C所以P n,1 Qn,11.(

27、2)n,m(C：c：；) mCn 11,m1,m1,mn, m由累乘可得又 Q n,mk k1 Cnm f P n, m nn P n 1,m m nP n,mn!m!n m !P 0,m1Cn ,n m所以P n, m即 P n, mCnn m ?Q n,mQ n, m恒为定值1.点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的P n,mn, m的定义，并结合组合数公式求解由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误.22.下表是某公司2018年512月份研发费用（百万元）和产品销量（万台）的具体数据:月份56789101112研发费用（百万兀）2361021131518产品销

28、量（万台）1122.563.53.54.5（I）根据数据可知 y与x之间存在线性相关关系，求出y与x的线性回归方程（系数精确到 0.01）；（n）该公司制定了如下奖励制度：以Z （单位：万台）表示日销售，当Z 0,0.13时，不设奖；当Z 0.13,0.15时，每位员工每日奖励200元；当Z 0.15,0.16时，每位员工每日奖励300元；当Z 0.16,时，每位员工每日奖励400元.现已知该公司某月份日销售Z （万台）服从正态分布N ,0.0001 （其中 是2018年5-12月产品销售平均数的二十分之一），请你估计每位员工该月（按30天计算）获得奖励金额总数大约多少元参考数据:nXi yi

29、i 1347 ,n2Xii 1n21308 ,yii 193 , 、714084.50 ,参考公式：相关系数n細 nxyi 1n2Xi nxi 1n2yii 12ny，其回归直线$x $中的$nXi yi nx yi 1""n，2 2x nxi 1若随机变量x服从正态分布，则P0.6826,0.9544【答案】（I）0.24x0.32 （n）7839.3 元【解析】【分析】（I）由题意计算 x、y的平均值,进而由公式求出回归系数b和a,即可写出回归直线方程（n）由题意计算平均数（i,得出zN （2）,求出日销量z 0.13,0.15）、0.15,0.16）和0.16,+ 的

30、概率,计算奖金总数是多少.【详解】（I）因为 x 236102113151881 12 2.5 6 3.5 3.5 3.5 4.524y 88888 11，nXi y nx y因为$n2Xi_2 nx347 8 11 3831308 8 1213400.244 ,所以 a y $X 3 0.244 11 0.32，所以 $ 0.24x 0.32 ；(n)因为y3 c ,0.15 ,2020所以 z: N 0.15,0.0001 ,故 20.0001 即 0.01,0 9544 日销量z 0.13,0.15的概率为0.4772 ,2日销量 z 0.15,0.16 的概率为0.3413 ,2日销量z 0.16, 的概率为10.68260.1587 ,2所以奖金总数大约为：0.4772 200 0.3413 300 0.1587 400 30 7839.3 (元)【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程，还考查了利用正态分布计算概率，进而估计总体情况，属于中 档题.2x 223.已知椭圆C:y 1的右焦点为F，直线I: x 2被称作为椭圆C的一条准线，点P在椭圆C上(异2于椭圆左、右顶点)，过点P作直线m: y kx t与椭圆C相切，且与直线l相交于点Q.(1)求证：PF QF .(2)若点P在x轴的上方，当 PQF的面积最小时，求直线