（整理版）提能拔高限时训练38圆锥曲线的综合问题

1、提能拔高限时训练38 圆锥曲线的综合问题一、选择题长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,那么双曲线的渐近线的斜率为 a.±2 b. c. d.解析:椭圆的长轴两端点和焦点分别为(5,0),(-5,0)和(4,0),(-4,0).设双曲线方程为,那么有c=5,a2+b2=c2,a2=20,b2=5.故其渐近线为.答案:c1,f2是椭圆c:的两个焦点,在椭圆c上满足pf1pf2的点p的个数为 b.1 c.2 解析:由,得a=,b=2,c=2.b=c=2,以原点为圆心,c为半径的圆与椭圆有2个交点.满足pf1pf2的点p的个数为2.答案:c的两个焦点为f1、f2,点p在双曲线上,pf1

2、f2的面积为,那么的值是 b. d.解析:设=m,=n,f1pf2=,那么mnsin=,m2+n2-2mncos=()2.由这两式消去m和n,得cos=.mn=4.=mncos=4×=2.答案:a4.如图,在abc中,那么过点c,以a、h为两焦点的双曲线的离心率为 b.3 c. d.解析:由,得ahbc.由得tanc=.设ch=3m,那么ah=4m,ac=5m(m>0).由双曲线的离心率的定义,知过点c,以a、h为两焦点的双曲线的离心率.答案:a5.在给定双曲线中,过焦点且垂直于实轴的弦长为,焦点到相应准线的距离为,那么该双曲线的离心率为 a. b.2 c. d.解析:不妨设双

3、曲线方程为(a>0,b>0),那么依题意有且,据此解得,选c.答案:c6.直线l:x=4,直线l上任一点a,过点a作l的垂线l1,点b(8,2),线段ab的垂直平分线交l1于点p,那么点p的轨迹方程是 a.(y-2)2=8(x-6)b.(y-2)2=4(x-6)c.d.解析:如图,设p(x,y),那么a(4,y),ab的中点.因为pm是线段ab的垂直平分线,所以有kab·kpm=-1.整理,得(y-2)2=8(x-6),即为点p的轨迹方程.答案:a(a>b>0)的离心率,右焦点为f(c,0),方程ax2+bx-c=0的两实根分别为x1,x2,那么点p(x1,x

4、2) 2+y2=2内 2+y2=2上2+y2=2外 解析:,a=2c.又a2=b2+c2,b2=.x1+x2=,x1x2=,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2.答案:a2+2y2=4,那么以(1,1)为中点的弦的长度为 a. b. c. d.解析:依题意,设弦端点a(x1,y1)、b(x2,y2)，那么x12+2y12=4,x22+2y22=4.x12-x22=-2(y12-y22).此弦斜率.此弦直线方程为,即.代入x2+2y2=4,整理,得3x2-6x+1=0.x1x2=,x1+x2=2.|ab|=.答案:c(a>b>0)的左、右焦点分别为f1、f2,线段f1f2被抛

5、物线y2=2bx的焦点分成53的两段,那么此椭圆的离心率为 a. b. c. d.解析:由f1fff2=53,其中ff2=of2-of=,f1f=of1+of=c+.c=2b.又a2=b2+c2=b2+4b2=5b2,a=b.答案:d10.pab所在的平面和四边形abcd所在的平面垂直,且ad,bc,ad=4,bc=8,ab=6,apd=cpb,那么点p在平面内的轨迹是 解析:ad,bc,adbc,且cbp=dap=90°.又cpb=apd,故rtcbprtdap,有.在平面pab内,以ab所在直线为x轴,ab的中点为坐标原点,建立如上图所示的直角坐标系,那么a(-3,0)、b(3,

6、0).设p(x,y),那么,化简,得x2+y2+10x+9=0.注意到点p不在直线ab上,点p的轨迹方程为x2+y2+10x+9=0(y0),点p在平面内的轨迹为圆的一局部.答案:a二、填空题11.(湖北八校高三第一次联考)当,)时,方程x2sin-y2cos=1表示的曲线可能是_.(填上你认为正确的序号)圆 两条平行直线 椭圆 双曲线 抛物线解析:，),当=时,sin=-cos=.此时x2sin-y2cos=1,即x2+y2=表示一个圆;当=时,sin=1,cos=0,此时x2sin-y2cos=1,即x2=1表示两条平行直线;当<<,且时,cos<0<sin,且|s

7、in|cos|,此时x2sin-y2cos=1表示椭圆.答案:12.如图,在abc中,abc=acb=30°,ab、ac边上的高分别为cd、be,那么以b、c为焦点,且经过d、e两点的椭圆与双曲线的离心率之和为.解析:设bc=2,椭圆的焦距为2c,长轴长为2a,离心率为e;双曲线的焦距为2c,实轴长为2a,离心率为e.于是2c=2c=2,2a=|be|+|ce|=1+,2a=|be|-|ce|=-1,所以.答案:2=2px(p>0),过焦点f的动直线l交抛物线于a、b两点,那么我们知道_:.当椭圆方程为时,=_.解析:通过列方程组及椭圆的第二定义,计算|af|与|bf|推出结论

8、,这个和为定值: .当椭圆方程为时,.答案:椭圆(a>b>0),过焦点f的动直线l交椭圆于a、b两点,那么为定值的左焦点f引圆x2+y2=3的切线fp交双曲线右支于点p,t为切点,m为线段fp的中点,o为坐标原点,那么|mo|-|mt|等于_.解析:点p在双曲线的右支上,设右焦点为f2,那么|pf|-|pf2|=2a=.在rtotf中,|fo|=c=,|ot|=a=,|tf|=b=.在pff2中,mo为其中位线,|mf|-|mo|=a=,即|mt|+5-|mo|=.|mo|-|mt|=.答案: 三、解答题1的方程为,双曲线c2的左、右焦点分别为c1的左、右顶点,而c2的左、右顶点分

9、别是c1的左、右焦点.(1)求双曲线c2的方程;(2)假设直线l:y=kx+与椭圆c1及双曲线c2都恒有两个不同的交点,且l与c2的两个交点a和b满足(其中o为原点),求k的取值范围.解:(1)设双曲线c2的方程为,那么a2=4-1=3.再由a2+b2=c2,得b2=1.故双曲线c2的方程为.(2)将y=kx+代入,得(1+4k2)x2+8kx+4=0,由直线l与椭圆c1恒有两个不同的交点,得1=(8)2k2-16(1+4k2)=16(4k2-1)>0,即k2>.将y=kx+代入,得(1-3k2)x2-6kx-9=0,由直线l与双曲线c2恒有两个不同的交点a、b,得即k2且k2&l

10、t;1.设a(xa,ya),b(xb,yb),那么xa+xb=.由,得xaxb+yayb<6,而xaxb+yayb=xaxb+(kxa+)(kxb+)=(k2+1)xaxb+k(xa+xb)+2=(k2+1)·.于是,即.解此不等式,得k2>或k2<.由,得或.故k的取值范围为.16.抛物线y=x2上两点a、b满足,>0,其中点p坐标为(0,1),o是坐标原点.(1)求四边形oamb的面积s的最小值;(2)求点m的轨迹方程.解:(1)由,知a、p、b三点在同一直线上,设该直线方程为y=kx+1,a(x1,x12),b(x2,x22).由得x2-kx-1=0,x

11、1+x2=k,x1x2=-1.=x1x2+x12x22=-1+(-1)2=0,.又四边形oamb是平行四边形,四边形oamb是矩形.s=.因此k=0时,s取最小值2.(2)设m(x,y),由,得x2=y-2,点m的轨迹方程是y=x2+2.教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】直线l:y=kx+1与双曲线c:x2-y2=1的左支交于不同的两点a、b,直线m过点p(-2,0)和ab的中点m,求m在y轴上的截距b的取值范围.解:由消去y得(k2-1)x2+2kx+2=0,x-1,由题意可得解得1-k<.设m(x0,y0),那么由p(-2,0),q(0,b)三点共线可知.令f(k)=-2k2+k

12、+2,那么f(k)在(1,)上为减函数.f()<f(k)<f(1)且f(k)0,那么b<-(2+)或b>2.【例2】定点p(p,0)(p>0),动点m在y轴上的射影为h,假设向量与在方向上的投影相等,直线l:x+y=m.(1)求动点m的轨迹c的方程;(2)假设将曲线c向左平移1个与直线l相交于两个不同点r、q,且=0,求p关于m的函数f(m)的表达式.解:(1)设m(x,y),那么h(0,y),那么=(x,y),=(x,0),=(x-p,y).由题意可知,得x(x-p)+y2=x2.故c的方程为y2=px.(2)曲线c向左平移1个后的曲线方程为y2=p(x+1).

13、由消去y,得y2-(2m+p)x+(m2-p)=0,=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4)>0,即.设q(x1,y1),r(x2,y2),那么由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=2m+p,x1·x2=m2-p.,x1·x2+y1·y2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=m2-(m+2)p=0.p=f(m)=.又p>0,m>-1-,f(m)的定义域为(-2,0)(0,+).【例3】如图,f为椭圆(a>b>0)的右焦点,直线l过点f且与双曲线的两条渐近线l1、l2分别交于点m、n,与椭圆交于点a、b.(1)假设m

14、on=,双曲线的焦距为4,求椭圆方程;(2)假设(o为坐标原点),求椭圆的离心率e.解:(1)mon=,m,n是直线l与双曲线两条渐近线的交点,即a=.双曲线的焦距为4,a2+b2=4.解得a2=3,b2=1,椭圆的方程为.(2)设椭圆的焦距为2c,那么点f的坐标为(c,0).,ll1.直线l1的斜率为,直线l的斜率为.直线l的方程为.由解得即点,设a(x,y),由,得(x-c,y)=,即解得点a的坐标为.点a在椭圆上,即(3c2+a2)2+a4=16a2c2.(3e2+1)2+1=16e2.9e4-10e2+2=0.椭圆的离心率.【例4】曲线c上任意一点m到点f(0,1)的距离比它到直线l:

15、y=-2的距离小1.(1)求曲线c的方程;(2)假设过点p(2,2)的直线m与曲线c交于a,b两点,设.当=1时,求直线m的方程;当aob的面积为4时(o为坐标原点),求的值.解:(1)设m(x,y),那么由题意得|mf|=|y+2|-1,即.当y-2时,两边平方得x2=4y;当y<-2时,两边平方得x2=8y+8,因y<-2,不合题意,舍去.故点m的轨迹c的方程是x2=4y.(2)当直线m的斜率不存在时,它与曲线c只有一个交点,不合题意,当直线m与x轴不垂直时,设直线m的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k).代入x2=4y,得x2-4kx+8(k-1)=0,=16(k2-2k+2)>0对kr恒成立,直线m与曲线c恒有两个不同的交点.设交点a,b的坐标分别为a(x1,y