（整理版）推理与证明3

1、11-3推理与证明根底稳固强化1.(·江西文，6)观察以下各式：7249,73343,742401，那么7的末两位数字为()a01 b43 c07 d49答案b解析7516807,76117649，又7107，观察可见7n(nn*)的末二位数字呈周期出现，且周期为4，502×43，7与73末两位数字相同，应选b.2设a、b、cr，pabc，qbca，rcab，那么“pqr>0”是“p、q、r同时大于零的()a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案c解析首先假设p、q、r同时大于零，那么必有pqr>0成立其次，假设pqr>0，

2、且p、q、r不都大于0，那么必有两个为负，不妨设p<0，q<0，即abc<0，bca<0，b<0与br矛盾，故p、q、r都大于0.3(文)将正整数排成下表：那么在表中数字出现在()a第44行第78列 b第45行第78列c第44行第77列 d第45行第77列答案b解析第n行有2n1个数字，前n行的数字个数为135(2n1)n2.4421936,4522025，且1936<,2025>，在第45行193678，在第78列，选b.(理)(·西安五校第一次模拟)“整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(

3、3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，那么第60个“整数对是()a(7,5) b(5,7)c(2,10) d(10,1)答案b解析依题意，把“整数对的和相同的分为一组，不难得知每组中每个“整数对的和为n1，且每组共有n个“整数对，这样的前n组一共有个“整数对，注意到<60<，因此第60个“整数对处于第11组(每个“整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第60个“整数对是(5,7)，选b.4(文)(·绍兴月考)古希腊人常用小石头在沙滩

4、上摆成各种形状来研究数比方：他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数以下数中既是三角形数又是正方形数的是()a289 b1024 c1225 d1378答案c解析将三角形数记作an，正方形数记作bn，那么an12n，bnn2，由于1225352，应选c.(理)n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从到的箭头方向依次为()a b c d答案a解析观察图例可见，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从至，其位序应与相同，应选a.5(·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式的形式，对于给定的

5、两个函数：s(x)axax，c(x)axax，其中a>0，且a1，下面正确的运算公式是()s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)；s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)；2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)；2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)a b c d答案b解析经验证易知错误依题意，注意到2s(xy)2(axyaxy)，s(x)c(y)c(x)s(y)2(axyaxy)，因此有2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)；同理有2s(xy)s(x)c(y)c(x)s(y)综上所述，选b.6(文)定义某种新运算“：sab的运算原理为如图的程序框图所示，那么式子

6、5436()a2 b1 c3 d4答案b解析由题意知545×(41)25,366×(31)24，所以54361.(理)假设定义在区间d上的函数f(x)，对于d上的任意n个值x1、x2、xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)nf，那么称f(x)为d上的凹函数，现f(x)tanx在上是凹函数，那么在锐角三角形abc中，tanatanbtanc的最小值是()a3 b. c3 d.答案c解析根据f(x)tanx在上是凹函数，再结合凹函数定义得，tanatanbtanc3tan3tan3.故所求的最小值为3.7设f(x)定义如表，数列xn满足x15，xn1f(xn)，那么x的值为

7、_.x123456f(x)451263答案1解析由条件知x15，x2f(x1)f(5)6，x3f(x2)f(6)3，x4f(x3)f(3)1，x5f(x4)f(1)4，x6f(x5)f(4)2，x7f(x6)f(2)5x1，可知xn是周期为6的周期数列，xx41.8(文)(·陕西文，12)观察以下不等式1<，1<，1<，照此规律，第五个不等式为_答案1<解析此题考查了归纳的思想方法观察可以发现，第n(n2)个不等式左端有n1项，分子为1，分母依次为12,22,32，(n1)2；右端分母为n1，分子成等差数列，因此第n个不等式为1<，所以第五个不等式为：1

8、<.点评在用归纳法归纳一般性结论的时候，要养成检验意识(理)(·台州模拟)观察以下等式：(1xx2)11xx2，(1xx2)212x3x22x3x4，(1xx2)313x6x27x36x43x5x6，(1xx2)414x10x216x319x416x510x64x7x8，由以上等式推测：对于nn*，假设(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n，那么a2_.答案n(n1)解析由给出等式观察可知，x2的系数依次为1,3,6,10,15，a2n(n1)9(文)如图数表满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)表中递推关系类似杨辉三角下一行除首尾两数外，每一个数都是肩上两数之和记第n

9、(n>1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行数据关系，可以得到递推关系：f(n)_，并可解得通项f(n)_.答案f(n)f(n1)n1；f(n)解析观察图表知f(n)等于f(n1)与其相邻数n1的和递推关系为f(n)f(n1)n1，f(n)f(n1)n1，即f(2)f(1)1，f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(n)f(n1)n1，相加得f(n).(理)观察以下等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101280cos811

10、20cos6ncos4pcos21.可以推测，mnp_.答案962解析由题易知：m29512，p5×1050m12801120np11，mnp162.n400，mnp962.10：a>0，b>0，ab1.求证：2.证明要证2，只需证ab24，又ab1，故只需证1，只需证(a)(b)1，只需证ab.a>0，b>0,1ab2，ab，故原不等式成立.能力拓展提升11.(文)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cosx)sinx，由归纳推理可得：假设定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，那么g(x)()af(x) bf(x) cg

11、(x) dg(x)答案d解析观察所给例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，f(x)f(x)，f(x)为偶函数，g(x)f (x)，g(x)g(x)，选d.(理)甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按以下方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，那么把a1乘以2后再加上12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，那么把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2.对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3.当a3>a1时，甲获胜，否那么乙获胜假设甲获胜的概率为，那么a1的取值范围是()a12,24b(12,

12、24)c(，12)(24，)d(，1224，)答案d解析因为甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，出现的可能情形有4种：(正，正)、(正，反)、(反，正)、(反，反)，所以每次操作后，得到两种新数的概率是一样的故由题意得即4a136，a118，a136，a118出现的时机是均等的，由于当a3>a1时甲胜，且甲胜的概率为，故在上面四个表达式中，有3个大于a1，a118>a1，a136>a1，故在其余二数中有且仅有一个大于a1，由4a136>a1得a1>12，由a118>a1得，a1<24，故当12<a1<24时，四个数全大于a1，当a112或a124

13、时，有且仅有3个大于a1，应选d.12(·深圳调研)在实数集r中，我们定义的大小关系“>为全体实数排了一个“序，类似地，我们在复数集c上也可以定义一个称为“序的关系，记为“定义如下：对于任意两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1、b1、a2、b2r，i为虚数)，当且仅当“a1>a2”或“a1a2且b1>b2时，z1z2”a1i0b假设z1z2，z2z3，那么z1z3c假设z1z2，那么对于任意zc，z1zz2zd对于复数z0，假设z1 z2，那么z·z1z·z2答案d解析对于a，注意到110×i，i01×i,000

14、15;i,1>0，那么1i,00且1>0，那么i0，因此有1i0，a正确对于b，由z1z2得“a1>a2”或“a1a2且b1>b2”；由z2z3得“a2>a3”或“a2a3且b2>b3”，于是有“a1>a3”或“a1a3且b1>b3”，即有z1z3，选项b正确对于c，设zabi，由z1z2得“a1>a2”或“a1a2且b1>b2”，所以“a1a>a2a或“a1aa2a且b1b>b2b，即有z1zz2z，因此选项c正确对于d，取z12i0，z13，z23i，此时z·z136i，z·z263i，z·

15、;z2z·z1，因此选项d不正确综上所述，选d.13(·蚌埠市质检)2，3，4，假设7，(a、t均为正实数)，那么类比以上等式，可推测a、t的值，at_.答案55解析类比所给等式可知a7，且7ta72·a，即7t773，t48.at55.14(·杭州市质检)设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_答案f(2n)(nn*)解析f(2)f(21)，f(4)f(22)>2，f(8)f(23)>，f(16)f(24)>3，f(2n)(nn*)an为等

16、差数列，且ama，anb(mn，m、nn*)，那么amn；现等比数列bn(nn*)，bma，bnb(mn，m、nn*)，先类比上述结论，得出在等比数列bn中bnm的表达式，再证明你所得出的结论解析等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bnam可以类比等比数列中的，数列中的可以类比等比数列中的，故bmn.证明如下：设bnb1qn1，那么bnmb1qnm1，bma，bnb，b·qn(n1)m(m1)b·q(nm)(nm1)，b1qnm1bmn.16(·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213

17、°cos217°sin13°cos17°；sin215°cos215°sin15°cos15°；sin218°cos212°sin18°cos12°；sin2(18°)cos248°sin(18°)cos48°；sin2(25°)cos255°sin(25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解析

18、(1)选择(2)式，计算如下：sin215°cos215°sin15°cos15°1sin30°1.(2)推广后的三角恒等式为sin2cos2(30°)sincos(30°).证明如下：sin2cos2(30°)sincos(30°)sin2(cos30°cossin30°sin)2sin(cos30°cossin30°sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：(1)同解法一(2)三角恒等式为sin2cos2(30&#

19、176;)sincos(30°).证明如下：sin2cos2(30°)sincos(30°)sin(cos30°cossin30°sin)cos2(cos60°cos2sin60°sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.1设abc的三边长分别为a、b、c，abc的面积为s，内切圆半径为r，那么r；类比这个结论可知：四面体sabc的四个面的面积分别为s1、s2、s3、s4，内切球的半径为r，四面体sabc的体积为v，那么r()a. b.c. d.答案c解析设三棱锥的内切球

20、球心为o，那么由vsabcvoabcvosabvosacvosbc，即vs1rs2rs3rs4r，可得r.2(·陕西文，13)观察以下等式11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_答案567891011121381解析第1个等式有1项，从1开始第2个等式有3项，从2开始第3个等式有5项，从3开始第4个等式有7项，从4开始每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是项数的平方，故由4个等式的变化规律可知，第5个等式有9项，从5开始等式右边不92，故为567891011121381.点评观察各等式特点可得出一般结论：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.3(1

21、)由“假设a，b，cr，那么(ab)ca(bc)类比得到“假设a、b、c为三个平面向量，那么(a·b)·ca·(b·c)(2)在数列an中，a10，an12an2，通过归纳得到猜测an2n2(3)在平面内“三角形的两边之和大于第三边，类比得到在空间中的结论：“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积(4)假设f(x)2cos2x2sinxcosx，那么f1上述四个推理中，得出的结论正确的选项是_答案(2)(3)解析(1)不正确，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，而a与c不一定共线；(2)正确，由

22、an12an2得an122(an2)，an2是首项为a122，公比为2的等比数列，an22n，an2n2；(3)正确，由四面体abcd的任意一个顶点如a，向对面作垂线垂足为o，那么boc，cod，bod分别为abc，acd，abd在平面bcd内的射影，而sabcsacdsabd>sbocscodsbodsbcd；(4)错误，f(x)cos2xsin2x1，fcossin121.4经过圆x2y2r2上一点m(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.类比上述性质，可以得到椭圆1类似的性质为：经过椭圆1上一点p(x0，y0)的切线方程为_答案1解析过圆上一点m(x0，y0)的切线方程是把圆的

23、方程中的x2、y2中的一个x和一个y分别用x0、y0代替，圆和椭圆都是封闭曲线，类比圆上一点的切线方程可以得到，过椭圆上一点p(x0，y0)的切线方程也是把椭圆方程中的x2、y2中的一个x和一个y分别用x0、y0代替，即得到切线方程为1.例如过椭圆y21上一点(1，)的切线方程为y1，即x2y40.5(·温州适应性测试)假设数列an的各项按如下规律排列：，那么a_.答案解析依题意得，将该数列中分子相同的项分成一组，第n组中的数出现的规律是：第n组中的数共有n个，并且每个数的分子均是n1，相应的分母依次由1增大到n.由于1953<<，又195359，因此题中的数列中的第项应位于第63组中的第59个数，那么题中的数列中的第项的分子等于64，相应的分母等于59，即a.6先解答(1)，再根据结构类比解答(2)：(1)a、b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab1>ab.(2)a、b、c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc2>abc.解析(1)ab1(ab)(a1)(b1)>0，ab1>ab.(2)|a|<1，|