（整理版）数列通项公式的若干求法及转化思想

1、数列通项公式的假设干求法及转化思想求通项公式是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。现举数例。一 观察法数列前假设干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。例1 ：数列 写出此数列的一个通项公式。例2：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：14，44，444，4444，234二 公式法1当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。例1： 数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qr且q1)的等比数列，假设函数f (x)

2、 = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，求数列 a n 和 b n 的通项公式；2数列的前n项和求通项时，通常用公式。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二，即分段式；另一种是“合二为一即a1和an合为一个表达式。例1、数列的前n项和为： 求数列的通项公式。三 由递推式求数列通项对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。称辅助数列法。例题：数列中，写出数列的前5项。课本习题。变式1：数列中，。求变式2：数列中，。求变式3

3、：数列中，。求变式4：数列中，。求变式5：数列中，。求变式3：数列中，。求变式6：数列中，。求变式7：数列中，。求变式8：数列中，。求类型：一阶递归由等差，等比演化而来的“差型，“商型递推关系等差数列：由此推广成差型递推关系：累加：= ，于是只要可以求和就行。类型1 递推公式为解法：把原递推公式转化为，特殊情形：.差后等差数列 差后等比数列利用累加法求解。例1满足，且，求例2满足，且，求例3满足，且，求例4. 数列满足，求。等比数列：由此推广成商型递推关系：累乘：类型2递推公式为解法：1把原递推公式转化为，利用累乘法求解。例1满足，且，求例2满足，且，求例41. 数列满足，求。例题1。数列满足

4、：求证： 是偶数 由和确定的递推数列的通项可如下求得：2由递推式有依次向前代入，得 ，简记为。这就是叠代法的根本模式。例3，求。解： 。1、数列an满足，求an的通项公式类型3 递推公式为其中p，q均为常数，。解法：把原递推公式转化为：其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例1. 数列中，求。类型4 递推公式为其中p，q均为常数，。解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列其中，得：再应用类型3的方法解决。例1. 数列中，求。例2. 数列中，求。类型5。型的利用转化为型，或型即混合型的转化为纯粹型的例题1 数列的前n项和sn满足 ()写出数列的前3项(

5、)求数列的通项公式;分析：-由得-由得，得-由得，得-用代得 -：即- -例题2。数列的前n项和记为sn，证明：数列是等比数列；全国卷二理科19题方法1 整理得 所以 故是以2为公比 的等比数列.方法2：事实上，我们也可以转化为，为一个商型的递推关系，由=1是正数组成的数列，前n项和为，对所有的n，与2的等差中项等于与2的等比中项1写出的前三项；2求的通项。 2在数列中，求3数列an的前n和满足求此数列的通项公式。4 数列前n项和。1求与的关系；2求通项公式。5北京卷)数列的前n项和为sn，且，求： 的值及数列的通项公式；的值. 由递推数列公式求数列通项公式的解题方法是数学中针对性较强的一种数

6、学解题方法，它从一个侧面表达数学的研究方法，表达了新课程标准理念，是培养学生思维深刻性的极好的范例。注意一题多解；例1：数列满足，求数列的通项公式； 解法1：构造法，是以为首项，2为公比的等比数列，即解法2：构造法 、两式相减得是以为首项，2为公比的等比数列，即解法3：阶差法由， 可得：以上n式相加得即解法五：迭代法由， 可得：即总之，以上方法融会贯穿可以解决关于递推数列公式求数列通项公式变形问题，从而提高学生的数学解题能力，把握数学学习方法。同式题：.数列，那么 当然，还有一些转化的方法和技巧，如根本的式的变换，象因式分解，取倒数、对数等还是要求掌握的。四、转化为常见类型求解：1倒数变换法：

7、形如 为常数，且的递推公式，可令。那么可转化为型；例1：数列中，且，求数列的通项公式.2对数变换法：例：数列满足，求。当然，转化方法不是一成不变的，但其本质是构造、转化为上述常见形式数列问题求解。如比例变换；例1、设数列满足以下条件，求。可化为，再取对数例2、设数列满足以下条件，试求各通项：123解：1令那么，此题用除递推式两边，再进行变量代换，就可转化为“型，可得2递推式两边同除以，得，就可转化为“型，当然，也可以在递推式两边同除以，得，那么可转化为“型，所以得3递推式两边同取对数，得令，那么，已转化为“型，由累乘相消法可得一般掌握以下转化思想即可；尤其对分式型递推关系。1、利用倒数转化为：

8、1；22、求前假设干项观察项间周期性等练习：1、 求：2、a1=1, an+1= ，求an 3、数列an满足：a10，且，那么 a a 0；b ；c ；d 变式：1、数列an满足：a10，且，sn表示数列an的n前项和那么2、满足，那么数列前26项的和为：b a0b1c8d103、数列an满足：a13，且，an表示数列an的n前项和那么33、江西卷数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；解：将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得ann³11°练习：设数列满足以下条件，试求各通项：12345678类型：=p+q (p、q均为常数

9、)二阶递归=p+q -解出、因此-特殊地 型分析： 是以为首项，公比为的等比数列例1、， ，求 例2：a1=1，a2= =-,求数列的通项公式。-解得：1、-， a2-a1= -= -+-+a2-a1+a1=+1=3-.3-同式题：a1=1, a2=3，an+2=3an+1-2 an ， 求an双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例7. 数列中，；数列中，。当时，求。解：因所以即又因为所以即由<1>、<2>得：例9数列中，且满足求数列的通项公式；设，求；设=，是否存在最大的整数，使得对任意，均有成立？假设存在，求出的值；假设

10、不存在，请说明理由。3、数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有s=4a+2，可由s-s作切入点探索解题的途径解：(1)由s=4a，s=4a+2，两式相减，得s-s=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b s=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2江苏

11、卷设数列、满足：，n=1,2,3,，证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且n=1,2,3,证明：必要性：设数列是公差为的等差数列，那么：=-=0，n=1,2,3,成立；又=6常数n=1,2,3,数列为等差数列。充分性：设数列是公差为的等差数列，且n=1,2,3,， 得：= 从而有得：，由得：n=1,2,3,，由此，不妨设n=1,2,3,，那么常数故从而得：，故常数n=1,2,3,，数列为等差数列。综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且n=1,2,3,。又称派生数列【高考热点】1. 所谓派生数列，是指利用一个或几个数列产生新数列。例如，从一个数列中按一定的规律抽取一局部项构成一个

12、新数列子数列；又如数列的前n项的和数列、或由构成新的数列、或由两个数列、构成新的数列等等。2. 派生数列是综合性的问题，一般可转化为等差数列或等比数列，或用数列中的常用思想方法求解。【课前预习】 1 假设数列是等差数列，那么有数列也为等差数列，类比上述性质，相应的，假设数列是等比数列，且，那么有_ 也是等比数列。2 在等差数列中，公差，那么 b a40 b45 c50 d553 在数列an中，a1=2，那么a5等于 c a12 b14 c20 d224 有限数列，为其前项和，假设定义为的“凯森和如有99项的数列的“凯森和为1000，那么有100项的数列的“凯森和为 b a1001 b991 c

13、999 d9905 公差不为零的等差数列的第、项依次构成等比数列的连续三项，那么此等比数列的公比q是 a b c d604北京定义“等和数列：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。数列是等和数列，且，公和为5，那么的值为_3_，这个数列的前n项和的计算公式为_ .【典型例题】例1 1数列，其中，且数列为等比数列，求常数2设，是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列例2 sn是等差数列an的前n项和.(nn*)（1） 假设数列an单调递增，且a2是a1、a5的等比中项，证明：（2） 设an的首项为a1，公差为d，且，问是否存在正常数c，使对任意自然数n都成立，假设存在，求出c用d表示；假设不存在，说明理由.【本课小结】【课后作业】1 数列a是首项a10，q-1且q0的等比数列，设数列b的通项b=aka nn，数列a、b的前n项和分别为s、t如果tks对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围2 抛物线，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点，又过点作斜率为的直线交抛物线于点，再过作斜率为的直线交抛物线于点，如此继续，一般地，过点作斜率为的直线交抛物线于点，设点（1） 令，求证：数列是等比数列；设数列的前项和为，试比拟与的大小数列的通项及递推关系一、根底题：1. 数列的一个