归纳与猜想（试题部分）ppt课件

1、第八章 专题拓展8.1归纳与猜测中考数学中考数学 (河北公用河北公用)一、数字类一、数字类好题精练1.(2021石家庄长安质检石家庄长安质检,12)甲、乙两同窗均从同一本书的第一页开场甲、乙两同窗均从同一本书的第一页开场,按照顺序逐页依次在按照顺序逐页依次在每页上写一个数每页上写一个数.甲同窗在第甲同窗在第1页写页写1,第第2页写页写3,第第3页写页写5,第一页写的数均比前一页写的第一页写的数均比前一页写的数多数多2;乙同窗在第乙同窗在第1页写页写1,第第2页写页写6,第第3页写页写11,每一页写的数均比前一页写的数多每一页写的数均比前一页写的数多5.假设假设甲同窗在某一页写的数为甲同窗在某一

2、页写的数为49,那么乙同窗在这一页写的数为那么乙同窗在这一页写的数为()A.116B.120C.121D.126答案答案C甲同窗每一页写的数均比前一页写的数多甲同窗每一页写的数均比前一页写的数多2,那么第那么第x页写的数为页写的数为(2x-1),令令2x-1=49,解解得得x=25.阐明甲同窗在第阐明甲同窗在第25页写的数为页写的数为49.乙同窗每一页写的数均比前一页写的数多乙同窗每一页写的数均比前一页写的数多5,那么第那么第n页页写的数为写的数为(5n-4),故乙同窗在第故乙同窗在第25页写的数为页写的数为525-4=121,应选应选C.2.(2021江苏扬州江苏扬州,7,3分分)在一列数在

3、一列数:a1,a2,a3,an中中,a1=3,a2=7,从第三个数开场从第三个数开场,每一个数都等于它每一个数都等于它前两个数之积的个位数字前两个数之积的个位数字,那么这一列数中的第那么这一列数中的第2017个数是个数是()A.1B.3C.7D.9答案答案B依题意得依题意得a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,a8=7,故周期为故周期为6,20176=3361,所以所以a2017=a1=3.应选应选B.3.(2021安徽安徽,13,5分分)按一定规律陈列的一列数按一定规律陈列的一列数:21,22,23,25,28,213,假设假设x、y、z表示这列数中的连表示这列数中的连续三个数续

4、三个数,猜测猜测x、y、z满足的关系式是满足的关系式是.答案答案xy=z(只需关系式对前六项是成立的即可只需关系式对前六项是成立的即可)解析解析2122=23,2223=25,2325=28,2528=213,x、y、z满足的关系式是满足的关系式是xy=z.二、算式类二、算式类(2021(2021云南云南,16,6,16,6分分) )察看以下各个等式的规律察看以下各个等式的规律: :第一个等式第一个等式: :=1,=1,第二个等式第二个等式: :=2,=2,第三个等式第三个等式: :=3,=3,请用上述等式反映出的规律处理以下问题请用上述等式反映出的规律处理以下问题: :(1)(1)直接写出第

5、四个等式直接写出第四个等式; ;(2)(2)猜测第猜测第n n个等式个等式( (用含用含n n的代数式表示的代数式表示),),并证明他猜测的等式是正确的并证明他猜测的等式是正确的. .222112223212224312解析解析(1)第四个等式为第四个等式为=4.(2)第第n个等式为个等式为=n.证明证明:左边左边=n,所以左边所以左边=右边右边,所以等式成立所以等式成立.22541222(1)12nn222112nnn 22n三、图形陈列类三、图形陈列类(2021(2021重庆重庆,10,4,10,4分分) )以下图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的以下图形都是由同样大小的小圆圈按一

6、定规律所组成的, ,其中其中第个图形第个图形中一共有中一共有4 4个小圆圈个小圆圈, ,第个图形中一共有第个图形中一共有1010个小圆圈个小圆圈, ,第个图形中一共有第个图形中一共有1919个个小圆圈小圆圈,按此规律陈列下去按此规律陈列下去, ,第个图形中小圆圈的个数为第个图形中小圆圈的个数为( () )A.64A.64 B.77B.77 C.80C.80 D.85D.85答案答案D经过察看经过察看,第个图形中小圆圈的个数为第个图形中小圆圈的个数为+12=4,第个图形中小圆圈的个第个图形中小圆圈的个数为数为+22=10,第个图形中小圆圈的个数为第个图形中小圆圈的个数为+32=19,第个图形中小

7、圆圈的个第个图形中小圆圈的个数为数为+42=31,以此类推以此类推,第第个图形中小圆圈的个数为个图形中小圆圈的个数为+n2,当当n=7时时,+72=85,故第个图形中小圆圈的个数为故第个图形中小圆圈的个数为85.应选应选D.(1 2) 22(1 3) 32(1 4) 42(1 5) 52(2)(1)2nn(72) (7 1)2四、数形结合类四、数形结合类1.(2021河南河南,8,3分分)如下图如下图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,半径均为半径均为1个单位长度的半圆个单位长度的半圆O1,O2,O3,组组成一条平滑的曲线成一条平滑的曲线.点点P从原点从原点O出发出发,沿这条曲线向右运动沿

8、这条曲线向右运动,速度为每秒速度为每秒个单位长度个单位长度,那么第那么第2015秒时秒时,点点P的坐标是的坐标是()A.(2014,0)B.(2015,-1)C.(2015,1)D.(2016,0)2答案答案B半圆的半径半圆的半径r=1,一个半圆的弧长一个半圆的弧长=,又又每两个半圆为一个循环每两个半圆为一个循环,一个循环一个循环内点内点P运动的路程为运动的路程为2.2=5033,点点P位于第位于第504个循环的第二个半圆弧的个循环的第二个半圆弧的中点位置中点位置(即第即第1008个半圆弧的中点个半圆弧的中点),此时点此时点P的横坐标为的横坐标为5034+3=2015,纵坐标为纵坐标为-1,第

9、第2015秒时秒时,点点P(2015,-1).应选应选B.2 01522.(2021石家庄质检石家庄质检,19)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,假设干个半径为假设干个半径为1个单位长度个单位长度,圆心角是圆心角是60的扇的扇形按图中的方式摆放形按图中的方式摆放,动点动点K从原点从原点O出发出发,沿着沿着“半径半径OA半径半径CD半径半径DE运动运动,假设点假设点K在线段上运动的速度为每秒在线段上运动的速度为每秒1个单位长度个单位长度,在弧线上运动的速度为每秒在弧线上运动的速度为每秒个单位长个单位长度度,设第设第n秒运动到点秒运动到点Kn(n为自然数为自然数),那么那么K3的坐标为的

10、坐标为,K2018的坐标是的坐标是.ABBC3答案答案;(1009,0)33,22解析由题意得解析由题意得的长的长=,所以点所以点K在每个圆弧上运动的时间为在每个圆弧上运动的时间为=1秒秒.当当n=3时时,点点K运动到点运动到点C,过点过点C作作CMx轴轴,衔接衔接BC,易得易得BC=1,BCM=30,BM=BCsin30=,CM=BCcos30=,K3的坐标为的坐标为,K2的坐标即点的坐标即点B的坐标为的坐标为(1,0),K4的坐标即点的坐标即点D的坐的坐标为标为(2,0),K6的坐标即点的坐标即点F的坐标为的坐标为(3,0),以此类推以此类推,点点K2018的坐标为的坐标为(1009,0)

11、.AB601180333123233,223.(2021河北河北,19,4分分)如图如图,知知AOB=7,一条光线从点一条光线从点A发出后射向发出后射向OB边边.假设光线与假设光线与OB边垂边垂直直,那么光线沿原路前往到点那么光线沿原路前往到点A,此时此时A=90-7=83.当当A83时时,光线射到光线射到OB边上的点边上的点A1后后,经经OB反射到线段反射到线段AO上的点上的点A2,易知易知1=2.假设假设A1A2AO,光线又会沿光线又会沿A2A1A原路前往到点原路前往到点A,此时此时A=.假设光线从点假设光线从点A发出后发出后,经假设干次反射能沿原路前往到点经假设干次反射能沿原路前往到点A

12、,那么锐角那么锐角A的最小值的最小值=.答案答案76;6解析由题图可知解析由题图可知1=2=90-O=83,AA1A2=180-1-2=14,A=90-AA1A2=90-14=76.设光线从点设光线从点A发出后发出后,经经n次反射能沿原路前往到点次反射能沿原路前往到点A,记光线自记光线自A(A0)发出后与边的交点依次为发出后与边的交点依次为A1,A2,A3,An,即即An-1AnO=90,那么那么AnAn-1An-2=14,An-3An-2An-1=28,An-4An-3An-2=42,依次依次为为14的的n倍倍(n=1,2,3,),21=180-14n,即即1=90-7n,A=1-7=83-

13、7n,当当n=11时时,A最小最小,为为6.24.(2021河北河北,22,9分分)如图如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第从下到上的第1个至第个至第4个台阶个台阶上依次标着上依次标着-5,-2,1,9,且恣意相邻四个台阶上数的和都相等且恣意相邻四个台阶上数的和都相等.尝试尝试(1)求前求前4个台阶上数的和是多少个台阶上数的和是多少;(2)求第求第5个台阶上的数个台阶上的数x是多少是多少.运用求从下到上前运用求从下到上前31个台阶上数的和个台阶上数的和.发现试用含发现试用含k(k为正整数为正整数)的式子表示出数的式子表示出数“1所在的台阶数所在的台阶

14、数.解析解析尝试尝试(1)-5-2+1+9=3.(2)由题意由题意,得得-5-2+1+9=-2+1+9+x,解得解得x=-5.运用与运用与(2)同理同理,得第得第6个到第个到第8个台阶上的数依次是个台阶上的数依次是-2,1,9,可见台阶上的数从下到上按可见台阶上的数从下到上按-5,-2,1,9四个数依次循环陈列四个数依次循环陈列.31=74+3,前前31个台阶上数的和为个台阶上数的和为73+(-5-2+1)=15.发现发现4k-1.思绪分析思绪分析尝试尝试:(1)直接列式直接列式,计算算式的值即可计算算式的值即可;(2)根据恣意相邻四个台阶上数的和相等列根据恣意相邻四个台阶上数的和相等列出方程

15、出方程,得解得解.运用运用:同同(2)的方法求出第的方法求出第6,7,8个台阶上的数个台阶上的数,发现规律为台阶上的数从下到上每发现规律为台阶上的数从下到上每四个一循环四个一循环,进而求出从下到上前进而求出从下到上前31个台阶上数的和个台阶上数的和.发现发现:根据台阶上的数每四个一循环根据台阶上的数每四个一循环,可可知数知数“1所在的台阶数间隔为所在的台阶数间隔为4,即可求解即可求解.方法指点方法指点对于数字对于数字(或图形或图形)循环变换类规律题循环变换类规律题,求经过求经过N次变换后对应的数字次变换后对应的数字(或图形或图形)的解的解题步骤题步骤:1.经过察看这组数字经过察看这组数字(或图

16、形或图形),得到该组数字得到该组数字(或图形或图形)经过一个循环变换需求的次数经过一个循环变换需求的次数,记为记为n;2.用用N除以除以n,当能整除时当能整除时,第第N次变换后对应的数字次变换后对应的数字(或图形或图形)就是一个循环变换中最后一就是一个循环变换中最后一次变换后对应的数字次变换后对应的数字(或图形或图形);当商当商b余余m(0mn)时时,第第N次变换后对应的数字次变换后对应的数字(或图形或图形)就是一就是一个循环变换中第个循环变换中第m次变换后对应的数字次变换后对应的数字(或图形或图形).五、阅读了解类五、阅读了解类(2021(2021河北河北,20,3,20,3分分) )如图如

17、图, ,点点O,AO,A在数轴上表示的数分别是在数轴上表示的数分别是0,0.1.0,0.1.将线段将线段OAOA分成分成100100等份等份, ,其分点由左向右依次为其分点由左向右依次为M1,M2,M99;M1,M2,M99;再将线段再将线段OM1OM1分成分成100100等份等份, ,其分点由左向右依次为其分点由左向右依次为N1,N2,N99;N1,N2,N99;继续将线段继续将线段ON1ON1分成分成100100等份等份, ,其分点由左向右依次为其分点由左向右依次为P1,P2,P99.P1,P2,P99.那么点那么点P37P37所表示的数用科学记数法表示为所表示的数用科学记数法表示为 .

18、.答案答案3.710-6解析将线段解析将线段OA分成分成100等份等份,那么那么OM1=0.001,再将线段再将线段OM1分成分成100等份等份,那么那么ON1=0.00001,再将线段再将线段ON1分成分成100等份等份,那么那么OP1=0.0000001.所以所以OP37=0.000000137=0.0000037,那么点那么点P37所表示的数用科学记数法可表示为所表示的数用科学记数法可表示为3.710-6.0.11000.0011000.000 01100评析科学记数法是将一个数写成评析科学记数法是将一个数写成a10n的方式的方式,其中其中1|a|10,n为整数为整数.六、归纳运用类六、

19、归纳运用类(2021(2021安徽安徽,18,8,18,8分分) )(1)(1)察看以下图形与等式的关系察看以下图形与等式的关系, ,并填空并填空: :(2)(2)察看以下图察看以下图, ,根据根据(1)(1)中结论中结论, ,计算图中黑球的个数计算图中黑球的个数, ,用含有用含有n n的代数式填空的代数式填空: :1+3+5+(2n-1)+(1+3+5+(2n-1)+( )+(2n-1)+5+3+1=)+(2n-1)+5+3+1= . .解析解析(1)由规律可知第一空填由规律可知第一空填42,第二空填第二空填n2.(2)由由(1)可知题图中第可知题图中第(n+1)行的黑点个数为行的黑点个数为

20、2n+1,故第一空填故第一空填2n+1;而而1+3+5+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)2=n2+2n+1,1+3+5+(2n-1)=n2,故第二空填故第二空填2n2+2n+1.一、数字类一、数字类(2021(2021湖南邵阳湖南邵阳,10,3,10,3分分) )如下图如下图, ,以下各三角形中的三个数之间均具有一样的规律以下各三角形中的三个数之间均具有一样的规律, ,根据此规根据此规律律, ,最后一个三角形中最后一个三角形中y y与与n n之间的关系是之间的关系是( () )A.y=2n+1A.y=2n+1 B.y=2n+nB.y=2n+nC.y=2n+1+nC.y=2n+1+n D.

21、y=2n+n+1D.y=2n+n+1教师公用题组教师公用题组答案答案B根据根据3=1+21,6=2+22,11=3+23,总结规律为总结规律为y=n+2n,应选应选B.二、算式类二、算式类1.(2021安徽安徽,18,8分分)察看以下等式察看以下等式:第第1个等式个等式:+=1,第第2个等式个等式:+=1,第第3个等式个等式:+=1,第第4个等式个等式:+=1,第第5个等式个等式:+=1,按照以上规律按照以上规律,处理以下问题处理以下问题:(1)写出第写出第6个等式个等式:;(2)写出他猜测的第写出他猜测的第n个等式个等式:(用含用含n的等式表示的等式表示),并证明并证明.1102110212

22、131213132413241435143515461546解析解析(1)+=1.(2分分)(2)+=1.(4分分)证明证明:左边左边=1=右边右边.(8分分)165716571n11nn1n11nn1(1)(1)(1)nn nnn n 2(1)nnn n(1)(1)n nn n思绪分析思绪分析(1)分析给出的分析给出的5个等式发现个等式发现,等式左边是三个分数的和等式左边是三个分数的和,第第1个分数的分子都是个分数的分子都是1,分分母与等式的序号一样母与等式的序号一样;第第2个分数的分子比等式的序号小个分数的分子比等式的序号小1,而分母比等式的序号大而分母比等式的序号大1;第第3个分数个分数

23、正好是前两个分数的乘积正好是前两个分数的乘积,等式的右边均为等式的右边均为1.据此可写出第据此可写出第6个等式个等式.(2)根据根据(1)中发现的规律中发现的规律可写出第可写出第n个等式个等式,并根据分式的运算进展证明并根据分式的运算进展证明.2.(2021湖南郴州湖南郴州,16,3分分)请察看以下等式的规律请察看以下等式的规律:=,=,=,=,那么那么+=.11 31211313 512113515 712115717 912117911 313 515 7199 101答案答案50101解析原式解析原式=+=.1211312113512115712119910112111111335991

24、01121110150101评析评析此题属阅读了解型规律探求题此题属阅读了解型规律探求题,从所给信息中找出规律是解题关键从所给信息中找出规律是解题关键,属中档题属中档题.三、图形陈列类三、图形陈列类1.(2021重庆重庆A卷卷,10,4分分)以下图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的以下图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第个其中第个图形中一共有图形中一共有3个菱形个菱形,第个图形中一共有第个图形中一共有7个菱形个菱形,第个图形中一共有第个图形中一共有13个菱形个菱形,按按此规律陈列下去此规律陈列下去,第个图形中菱形的个数为第个图形中菱形的个数为()A.73B.81C.91

25、D.109答案答案C第个图形中有第个图形中有12+2个菱形个菱形,第个图形中有第个图形中有22+3个菱形个菱形,第个图形中有第个图形中有32+4个菱形个菱形,第个图形中有第个图形中有92+10个菱形个菱形,92+10=81+10=91,应选应选C.2.(2021山东临沂山东临沂,11,3分分)用大小相等的小正方形按一定规律拼成以下图形用大小相等的小正方形按一定规律拼成以下图形,那么第那么第n个图形中小个图形中小正方形的个数是正方形的个数是()A.2n+1B.n2-1C.n2+2nD.5n-2答案答案C每个图形可分解成一个每个图形可分解成一个nn的大正方形与上方的大正方形与上方n个及右方个及右方

26、n个小正方形个小正方形,即第即第1个图个图形中小正方形的个数为形中小正方形的个数为11+1+1=3;第第2个图形中小正方形的个数为个图形中小正方形的个数为22+2+2=8;第第3个图形中小正方形的个数为个图形中小正方形的个数为33+3+3=15;第第n个图形中小正方形的个数为个图形中小正方形的个数为nn+n+n=n2+2n.应选应选C.3.(2021山东潍坊山东潍坊,17,3分分)如图如图,自左至右自左至右,第第1个图由个图由1个正六边形、个正六边形、6个正方形和个正方形和6个等边三角个等边三角形组成形组成;第第2个图由个图由2个正六边形、个正六边形、11个正方形和个正方形和10个等边三角形组

27、成个等边三角形组成;第第3个图由个图由3个正六边个正六边形、形、16个正方形和个正方形和14个等边三角形组成个等边三角形组成;按照此规律按照此规律,第第n个图中正方形和等边三角形的个图中正方形和等边三角形的个数之和为个数之和为.答案答案9n+3解析由图形及数字规律可知解析由图形及数字规律可知,第第n个图中正方形的个数为个图中正方形的个数为5n+1,等边三角形的个数为等边三角形的个数为4n+2,所所以其和为以其和为5n+1+4n+2=9n+3.思绪分析思绪分析后一个图形与前一个图形相比后一个图形与前一个图形相比,正方形的个数添加了正方形的个数添加了5个个,等边三角形的个数添加等边三角形的个数添加

28、了了4个个,由此得到第由此得到第n个图中正方形与等边三角形的个数与个图中正方形与等边三角形的个数与n之间的关系式之间的关系式.四、数形结合类四、数形结合类1.(2021浙江宁波浙江宁波,10,4分分)如图如图,将将ABC沿着过沿着过AB中点中点D的直线折叠的直线折叠,使点使点A落在落在BC边上的边上的A1处处,称为第称为第1次操作次操作,折痕折痕DE到到BC的间隔记为的间隔记为h1;复原纸片后复原纸片后,再将再将ADE沿着过沿着过AD中点中点D1的直的直线折叠线折叠,使点使点A落在落在DE边上的边上的A2处处,称为第称为第2次操作次操作,折痕折痕D1E1到到BC的间隔记为的间隔记为h2;按上述

29、方法不按上述方法不断操作下去断操作下去,经过第经过第2015次操作后得到的折痕次操作后得到的折痕D2014E2014到到BC的间隔记为的间隔记为h2015.假设假设h1=1,那么那么h2015的值为的值为()A.B.C.1-D.2-2 015122 014122 015122 01412答案答案D根据题意得根据题意得DE是是ABC的中位线的中位线,D1E1是是ADE的中位线的中位线,D2E2是是AD1E1的中位线的中位线,h2=1+=2-,h3=1+=2-,h4=1+=2-,h2015=1+=2-.应选应选D.121121221221212212312312122122 014122 0141

30、2评析评析此题为探求规律题此题为探求规律题,主要调查折叠的性质及三角形中位线的性质等主要调查折叠的性质及三角形中位线的性质等.2.(2021山东潍坊山东潍坊,12,3分分)如图如图,知正方形知正方形ABCD,顶点顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).规定规定“把正方形把正方形ABCD先沿先沿x轴翻折轴翻折,再向左平移再向左平移1个单位为一次变换个单位为一次变换,如此这样如此这样,延续经过延续经过2014次变换后次变换后,正方正方形形ABCD的对角线的交点的对角线的交点M的坐标变为的坐标变为()A.(-2012,2)B.(-2012,-2)C.(-2013,-2)D.(-2013,2)答

31、案答案A正方形正方形ABCD中中,点点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1),点点M的坐标为的坐标为(2,2).根据题意得根据题意得,第第1次变换后点次变换后点M的对应点的坐标为的对应点的坐标为(2-1,-2),即即(1,-2),第第2次变换后点次变换后点M的对应点的坐标为的对应点的坐标为(2-2,2),即即(0,2),第第3次变换后点次变换后点M的对应点的坐标为的对应点的坐标为(2-3,-2),即即(-1,-2).第第2014次变换后点次变换后点M的对应点的坐标为的对应点的坐标为(2-2014,2),即即(-2012,2).应选应选A.3.(2021广西南宁广西南宁,18,3分分)如图如图

32、,在数轴上在数轴上,点点A表示表示1,现将点现将点A沿数轴做如下挪动沿数轴做如下挪动:第第1次点次点A向左向左挪动挪动3个单位长度到达点个单位长度到达点A1,第第2次从点次从点A1向右挪动向右挪动6个单位长度到达点个单位长度到达点A2,第第3次从点次从点A2向左移向左移动动9个单位长度到达点个单位长度到达点A3,按照这种挪动规律进展下去按照这种挪动规律进展下去,第第n次挪动到达点次挪动到达点An.假设点假设点An与原与原点的间隔不小于点的间隔不小于20,那么那么n的最小值是的最小值是.答案答案13解析根据题意解析根据题意,写出挪动后各点所表示的数写出挪动后各点所表示的数:A1:-2A2:4A3

33、:-5A4:7A5:-8A6:10A7:-11A8:13A9:-14A10:16A11:-17A12:19A13:-20假设点假设点An与原点的间隔不小于与原点的间隔不小于20,那么那么n的最小值是的最小值是13.五、阅读了解类五、阅读了解类(2021(2021北京北京,12,4,12,4分分) )在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中, ,对于点对于点P(x,y),P(x,y),我们把点我们把点P(-P(-y+1,x+1)y+1,x+1)叫做点叫做点P P的伴的伴随点随点. .知点知点A1A1的伴随点为的伴随点为A2,A2,点点A2A2的伴随点为的伴随点为A3,A3,点点A3A3的伴随点为的伴随点为A4,A4,这样依这样依次得到点次得到点A2,AA2,A3,An,.3,An,.假设点假设点A1A1的坐标为的坐标为(3,1),(3,1),那么点那么点A3A3的坐标为的坐标为 , ,点点A2 014A2 014的坐的坐标为标为 ; ;假设点假设点A1A1的的坐标为坐标为(a,b),(a,b),对于恣意的正整数