（整理版）新课标数学40个考点总动员考点34离散型随机变量的均值

1、【高考再现】热点一、频率分布直方图的绘制与应用1高考辽宁理电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷.()根据条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷与性别有关?()将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷人数为x.假设每次抽取的结果是相互独立的,求x的分布列,期望和方差.附:【解析】 (i)由频率公布直方图可知,在抽取

2、的100人中,“体育迷有25人,从而2×2列联表如下: 由2×2列联表中数据代入公式计算,得: 因为3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷与性别有关. (ii)由频率公布直方图知抽到“体育迷的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷的概率为,由题意, ,从而x的分布列为: 2高考广东理(概率统计)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、.()求图中的值;()从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.3高考安徽理甲、乙两人在一次射击比赛中各射

3、靶5次,两人成绩的条形统计图如下图,那么a甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 b甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 c甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 d甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解析】选 甲的成绩的方差为,乙的成绩的方差为【方法总结】频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布，从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分布根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时，一般是采取组中值乘以各组的频率的方法热点二、茎叶图的应用1高考陕西理从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如下图),设甲乙两组数据的平均数分别为,中位数分别为,

4、那么 a , b, c, d,热点三、离散型随机变量的均值与方差1高考上海理设,. 随机变量取值、的概率均为0.2,随机变量取值、的概率也为0.2. 假设记、分别为、的方差,那么a>.b=.c<.d与的大小关系与、的取值有关.解析2高考天津理现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.()求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率: ()求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: ()用分别表示这4个人中去参加

5、甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望. (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为. (2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数不事件,那么,由于与互斥,故 所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为. 3高考浙江理箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的时机均等)3个球,记随机变量x为取出3球所得分数之和.()求x的分布列;()求x的数学期望e(x).【解析】4高考重庆理(本小题总分值13分,()小问5分,()小问8分.),乙每次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响.()

6、 求甲获胜的概率;() 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望综上知,有分布列123从而,(次)5高考四川理某居民小区有两个相互独立的平安防范系统(简称系统)和,系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和.()假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为,求的值;()设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量,求的概率分布列及数学期望.解析(1)设:“至少有一个系统不发生故障为事件c,那么 1-p(c)=1-p= ,解得p=4 分 所以,随机变量的概率分布列为:0123 p 故随机变量x的数学期望为: e=0 .6高考陕西理某银行柜台设有一个效劳窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独

7、立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求的分布列及数学期望.【解析】:设表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得的分布列如下:12345(1)表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务,那么事件a对应三种情形: 第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟. 所以 7高考山东

8、理先在甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为,命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.()求该射手恰好命中一次得的概率;()求该射手的总得分的分布列及数学期望.【解析】:(); () , x012345pex=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.8高考江西理如图,从a1(1,0,0),a2(2,0,0),b1(0,2,0),b2(0,2,0),c1(0,0,1),c2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这

9、3个点及原点o两两相连构成一个“立体,记该“立体的体积为随机变量v(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体的体积v=0).(1)求v=0的概率;(2)求v的分布列及数学期望.【解析】 (1)从6个点中随机地选取3个点共有种选法,选取的3个点与原点o在同一个平面上的选法有种,因此v=0的概率 (2)v的所有可能值为,因此v的分布列为v0p由v的分布列可得: ev=9高考江苏设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,.(1)求概率;(2)求的分布列,并求其数学期望.10高考湖南理某超市为了解顾客的购物量

10、及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)302510结算时间(分钟/人)123这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.()确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间x的分布列与数学期望;()假设某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率.(注:将频率视为概率)【解析】(1)由,得所以 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本

11、,将频率视为概率得 的分布为 x123px的数学期望为 . 11高考湖北理根据以往的经验,某工程施工期间的降水量x(:mm)对工期的影响如下表:降水量x工期延误天数02610历年气象资料说明,该工程施工期间降水量x小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:()工期延误天数的均值与方差; ()在降水量x至少是的条件下,工期延误不超过6天的概率. 所以的分布列为:02610 12高考大纲理(注意:在试题卷上作答无效)乒乓球比赛规那么规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每

12、次发球,发球方得1分的概率为,各次发球的胜负结果相互独立,.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(2)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望. ()由题意. ; 13高考安徽理某招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,假设调用的是类型试题,那么使用后该试题回库,并增补一道类试题和一道类型试题入库,此次调题工作结束;假设调用的是道试题,其中有道类型试题和道类型试题,以表示两次调题工作完成后,试题库中类试题的数量.()求的概率;()设,求的分布列和均值(数学期望).【方法总结】正确求出分布列是求均值和方差的前提，有时善于使用公式，可简化计算。【考点剖

13、析】一明确要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.了解两点分布和超几何分布的意义，并能进行简单的应用.三规律总结根底梳理1频率分布直方图(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征(2)作频率分布直方图的步骤求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)决定组距与组数将数据分组列频率分布表画频率分布直方图(3)在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示各小长方形的面积总和等于1.4样本方差与标准差设样本的元素为x1，x2，xn，样本的平

14、均数为，(1)样本方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2(2)样本标准差：s .两个异同(1)众数、中位数与平均数的异同众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质. 众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的局部数据有关当一组数据中有不少数据屡次重复出现时，其众数往往更能反映问题某些数据的变动对中位数可能没有影响中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势【根底练习】1. (教材习题改编)

15、设随机变量x的分布列如下：x1234pp 那么p为 () a. b. c. d.【解析】：由p1，p.【答案】b2经典习题抛掷2颗骰子，所得点数之和记为x，那么x4表示的随机试验结果是 ()a2颗都是4点b1颗是1点，另一颗是3点c2颗都是2点d1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点【解析】：x4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点【答案】： d4经典习题设随机变量x等可能取值1,2,3，n，如果p(x<4)，那么n_.【解析】：×30.3，n10.【答案】：106. (人教a版教材习题改编)某工厂生产滚珠，从某批产品中随机抽取8粒，量得直径分别为(：m

16、m)：14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9，那么估计该厂生产的滚珠直径的平均数为()a14.8 mm b14.9 mm c15.0 mm d15.1 mm7(人教a版教材习题改编)10名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12，那么这一天10名工人生产的零件的中位数是()a14 b16 c15 d17【解析】15.【答案】c8经典习题某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速，并将受到处分，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，那么从图

17、中可以看出被处分的汽车大约有()a30辆 b40辆 c60辆 d80辆【名校模拟】一根底扎实1. (北京市西城区高三下学期二模试卷理)右图是，两组各名同学体重：数据的茎叶图设，两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么 注：标准差，其中为的平均数a，b，c，d，2. (山西省高考考前适应性训练理)某班举行了一次“心有灵犀率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，那么这两个同学各猜1次，得分之和x：分的数学期望为 a0.9 b0.8 c3. (高考仿真试题理)甲、乙、丙三人分别独立地解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人全做错的概率是，乙做对这道题的概率大于丙做对这道题的概率。

18、设三人中做对这道题的人数为，那么随机变量的数学期望 【解析】由题：，所以的可能取值有0、1、2、3，【答案】4. 宁波四中 第一学期期末考试理某随机变量的概率分布列如右表，其中，随机变量的方差，5(北京市西城区高三下学期二模试卷理)本小题总分值13分甲、乙两人参加某种选拔测试在备选的道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的道题规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试，答对一题加分，答错一题不答视为答错减分，至少得分才能入选求乙得分的分布列和数学期望；求甲、乙两人中至少有一人入选的概率 由甲、乙至少答对题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件.那么 ， 故甲乙两人至少有一人入选

19、的概率 6(河北唐山市高三第三次模拟理)本小题总分值12分金融机构对本市内随机抽取的20家微小企业的产业结构调整及生产经营情况进行评估，根据得分将企业评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级，金融机构将根据等级对企业提供相应额度的资金支持。1在答题卡上作出频率分布直方图，并由此估计该市微小企业所获资金支持的均值；2从上述20家企业中随机抽抽取2家，设这2家企业获得资金支持的总额为x千万元，求x 的分布列和均值ex。【解析】：频率分布直方图如下：05060708090得分估计企业所获资金支持的均值为0×1×3×6×2.2千万元4分x的可能值为0，1，2，3，

20、4，6，7，9，12p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3)，p(x4)，p(x6)，p(x7)，p(x9)，p(x12)8分x的分布列为x0123467912p10分e(x)(012)×(167)×2×(39)×4×4.4千万元7(河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三理) (本小题总分值12分某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的卡片各2张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用x表示取出的3张卡片上的最大数字. (i)求取出的3张卡片上的数字互不相

21、同的概率；(ii)求随机变量x的分布列及数学期望；(iii)假设孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率.随机变量的分布列为：x2345p从而.8分从盒子里任取3张卡片，按卡片上最大数字的9倍计分，所以要计分超过30分，随机变量的取值应为4或5，10分故所求概率为.12分8湖北钟祥一中高三五月适应性考试理本小题总分值12分盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1分 . 现从盒内任取3个球求取出的3个球中至少有一个红球的概率；求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；设为取出的3个球中

22、白色球的个数，求的分布列和数学期望.9 (襄阳五中高三年级第一次适应性考试理)此题总分值12分)某科技公司遇到一个技术难题，成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关，同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励，此技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为，被乙小组攻克的概率为，设为“攻关期满时获奖的攻关小组数，求的分布列及e； 设为“攻关期满时的获奖小组数与没有获奖的攻关小组数差的平方，记“函数在定义域内单调递减为事件c，求事件c的概率。10(湖北省武汉市高中毕业生五月供题训练二理)本小题总分值12分甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得o分，比赛进行到有

23、一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为pp>，且各局胜负相互独立，第二局比赛结束时比赛停止的概率为（i） 求p的值.设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望e.二能力拔高 1. 【 浙江省第二次五校联考理】甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局3胜制即先胜3局者获胜假设甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为和，记需要比赛的场次为，那么 【解析】可以取的值有3、4、5；【答案】2. 理科数学试卷 盒中装有个零件，其中个是使用过的，另外个未经使用. 从盒中随机抽取个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为x，那么x的数学期望 e(x)= _3. (

24、北京市朝阳区高三年级第二次综合练习理)本小题总分值13分一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率；记x为取出的3个球中编号的最大值，求x的分布列与数学期望x的取值为2,3,4,5.，. 11分所以x的分布列为x2345px的数学期望. 13分.4. (东城区普通高中示范校高三综合练习二理)本小题总分值13分培训次数123参加人数515201从这40人中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加培训次数恰好相等的概率；2

25、从40人中任选两名学生，用表示这两人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.5(石家庄市高中毕业班第二次模拟考试理) (本小题总分值12分我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，方案在本市试行居民生活用水定额管理即确定一个居民月均用水量标准用水量不超过a的局部按照平价收费，超过a的局部按照议价收费.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(:t)，制作了频率分布直方图(i)由于某种原因频率分布直方图局部数据丧失，请在图中将其补充完整；(ii)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准&

26、那么月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(iii)假设将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样，其中月均用水量不超过ii)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.分布列为012310分12分6(河北省唐山市 度高三年级第二次模拟考试理)本小题总分值12分 某篮球队甲、乙两名队员在本赛零已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下： i比拟这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小； ii以上述数据统计甲、乙两名队员得分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名队员在同一场比赛中得分多少互不影响，预测在本赛季剩余的2场比赛中甲、乙两名队员得分均超过15

27、分次数x的分布列和均值7(中原六校联谊高三第一次联考理)本小题总分值12分某高校在的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。1请求出位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；2为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“xxx笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？王教授的面试，设第4组中被抽取参加“王教授面试的人数为，求的分布列和数学期望【解析】2第组共名

28、学生，现抽取人，因此第组抽取的人数为：人，第组抽取的人数为：人，第组抽取的人数为：人. 7分公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取人，每个人被抽到的概率是相同的. 8分只写“公平二字，不写理由，不给分3的可能取值为 的分布列为：11分 12分8(湖北省武汉市高三下学期4月调研测试理)本小题总分值12分为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示频率分布表中的、位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图如图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30，35)岁的人数；在抽出的100名志

29、愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁的人数为x，求x的分布列及数学期望三提升自我1. 高三教学测试二理)甲、乙两人进行“石头、剪子、布游戏开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手双方同时：假设分出胜负，那么负者给对方一张卡片；假设不分胜负，那么不动卡片规定：当一人拥有6张卡片或“出手次数到达6次时游戏结束设游戏结束时“出手次数为，那么 2. 台州高三调研试卷理【解析】设2对孪生兄弟分别为a1、a2、b1、b2，的可能取值有0，1，2，【答案】3. (北京市东城区- 度第二学期高三综合练习二理)本小题

30、共13分某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元缺乏1小时的局部按1小时计算.甲、乙两人各租一辆自行车，假设甲、乙不超过一小时还车的概率分别为；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过三小时.求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望. 4(长春市高中毕业班第二次调研测试理)本小题总分值12分对某校高一年级学生参加社区效劳次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区效劳的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率5121合计m1求出表中、及图中的值；假设该校高

31、一学生有360人，试估计他们参加社区效劳的次数在区间内的人数；区间的学生发放价值80元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值60元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值40元的学习用品，对参加活动次数在区间的学生发放价值20元的学习用品，在所取样本中，任意取出2人，并设为此二人所获得用品价值之差的绝对值，求的分布列与数学期望. 所以的分布列为：0204060(10分) (12分)5(洛阳示范高中联考高三理)本小题总分值12分某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座。规定：各科到达预先设定的人数时称为满座，否那么称为不满座统计数据说明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：根据上表：1求数学辅导讲座在周一