抛物线的简单几何性质ppt课件

1、高中数学2.3.22.3.2抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质高中数学课标要求课标要求素养达成素养达成1.1.了解抛物线的范围、对称性、顶了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质点、焦点、准线等几何性质, ,并能并能应用性质解决一些简单的抛物线问应用性质解决一些简单的抛物线问题题. .2.2.理解直线与抛物线的位置关系理解直线与抛物线的位置关系. .通过对抛物线的简单几何性质的通过对抛物线的简单几何性质的学习学习, ,提高学生观察、类比、分提高学生观察、类比、分析和计算等能力析和计算等能力. .高中数学新知探求新知探求课堂探求课堂探求高中数学新知探求新知探求 素养养成素养养成

2、知识点一知识点一问题问题1:1:类比椭圆、双曲线的几何性质类比椭圆、双曲线的几何性质, ,他以为可以讨论抛物线哪些几何性质他以为可以讨论抛物线哪些几何性质? ?答案答案: :可以讨论抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质可以讨论抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质. .问题问题2:2:与椭圆、双曲线相比较与椭圆、双曲线相比较, ,抛物线的几何性质有哪些不同抛物线的几何性质有哪些不同? ?答案答案: :抛物线只需一条对称轴、一个顶点抛物线只需一条对称轴、一个顶点, ,它没有对称中心它没有对称中心, ,抛物线的离心率抛物线的离心率是常数是常数1.1.抛物线的几何性质抛物线的几

3、何性质高中数学梳理梳理标准标准方程方程y y2 2=2px=2px(p0)(p0)y y2 2=-2px=-2px(p0)(p0)x x2 2=2py=2py(p0)(p0)x x2 2=-2py=-2py(p0)(p0)p p的几何意义的几何意义: :焦点焦点F F到准线到准线l l的距离的距离图形图形顶点顶点O O . .对称轴对称轴 . . . .焦点焦点F F . .F F . .F F . .F F . .(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p(0,0) (0,0) y=0 y=0 x=0 x=0 高中数学离心率离心率e=e= . .准线准线方程方程 . . . .范围范围

4、x0,yx0,yR Rx0,yx0,yR Ry0,xy0,xR Ry0,xy0,xR R开口开口方向方向向右向右向左向左向上向上向下向下焦半径焦半径( (其中其中P(xP(x0 0, ,y y0 0)|PF|=|PF|= . . |PF|=|PF|= . . |PF|=|PF|= . . |PF|=|PF|= . .1 1 2px 2px 2py 2py 02px 02px02py 02py高中数学知识点二知识点二梳理知梳理知ABAB是抛物线是抛物线y2=2px(p0)y2=2px(p0)的焦点弦的焦点弦, ,且且A(x1,y1),B(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2),点点F

5、F是是抛物线的焦点抛物线的焦点( (如图如图),),那么有那么有: :抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦高中数学梳理设直线方程为梳理设直线方程为y=kx+b,y=kx+b,抛物线方程为抛物线方程为y2=2px(p0),y2=2px(p0),两方程联立并消两方程联立并消去去y y得得k2x2+2(kb-p)x+b2=0.k2x2+2(kb-p)x+b2=0.(1)(1)当当k=0k=0时时, ,直线与抛物线的对称轴平行直线与抛物线的对称轴平行(b=0(b=0时重合时重合),),直线与抛物线有一直线与抛物线有一个交点个交点; ;(2)(2)当当k0k0时时, ,假设假设0,0,直线与抛物线有两个不同的交

6、点直线与抛物线有两个不同的交点; ;假设假设=0,=0,直线直线与抛物线相切与抛物线相切, ,有一个公共点有一个公共点; ;假设假设0,0)y2=2px(p0)上上, ,求这个三角形的边长求这个三角形的边长. .高中数学高中数学方法技巧方法技巧 假设等腰三角形的顶点是抛物线的顶点假设等腰三角形的顶点是抛物线的顶点, ,另外两个顶点在抛另外两个顶点在抛物线上物线上, ,那么这两个顶点关于抛物线的对称轴对称那么这两个顶点关于抛物线的对称轴对称. .高中数学即时训练即时训练1:1:等腰等腰RtRtABOABO内接于抛物线内接于抛物线y2=2px(p0),Oy2=2px(p0),O为抛物线的顶为抛物线

7、的顶点点,OAOB,OAOB,那么那么ABOABO的面积是的面积是( () )(A)8p2(A)8p2(B)4p2(B)4p2(C)2p2(C)2p2(D)p2(D)p2高中数学题型二题型二 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系【例【例2 2】 知直线知直线l:y=k(x+1)l:y=k(x+1)与抛物线与抛物线C:y2=4x.C:y2=4x.问问:k:k为何值时为何值时, ,直线直线l l与抛物线与抛物线C C有两个交点、一个交点、无交点有两个交点、一个交点、无交点? ?高中数学高中数学方法技巧方法技巧 探求直线和抛物线的位置关系时探求直线和抛物线的位置关系时, ,由于消元后所得的方

8、程中含由于消元后所得的方程中含参数参数, ,因此要留意分二次项系数为因此要留意分二次项系数为0 0和不为和不为0 0两种情况讨论两种情况讨论, ,然后再对判别式然后再对判别式进展讨论进展讨论. .高中数学题型三题型三 抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦【例【例3 3】 (2021 (2021包头高二检测包头高二检测) )知抛物线知抛物线C:y2=4x,FC:y2=4x,F是抛物线是抛物线C C的焦点的焦点, ,过点过点F F的直线的直线l l与与C C相交于相交于A,BA,B两点两点,O,O为坐标原点为坐标原点. .(1)(1)假设假设l l的斜率为的斜率为1,1,求以求以ABAB为直径的圆的方程为

9、直径的圆的方程; ;高中数学(2)(2)设设|FA|=2|BF|,|FA|=2|BF|,求直线求直线l l的方程的方程. .高中数学方法技巧方法技巧 有关直线与抛物线的弦长问题有关直线与抛物线的弦长问题, ,要留意直线能否过抛物线要留意直线能否过抛物线的焦点的焦点, ,假设过抛物线的焦点假设过抛物线的焦点, ,可直接运用公式可直接运用公式|AB|=x1+x2+p(|AB|=x1+x2+p(焦点在焦点在x x轴轴正半轴正半轴),),假设不过焦点假设不过焦点, ,那么必需用弦长公式那么必需用弦长公式. .高中数学即时训练即时训练2:(20212:(2021河北高二质检河北高二质检) )如下图如下图

10、,O,O为坐标原点为坐标原点, ,过点过点P(2,0),P(2,0),且斜且斜率为率为k k的直线的直线l l交抛物线交抛物线y2=2xy2=2x于于M(x1,y1),N(x2,y2)M(x1,y1),N(x2,y2)两点两点. .(1)(1)求求x1x2x1x2与与y1y2y1y2的值的值; ;高中数学(2)(2)求证求证:OMON.:OMON.高中数学题型四题型四 抛物线中的定点、定值问题抛物线中的定点、定值问题【例【例4 4】(2021(2021长春高二检测长春高二检测) )知动圆过定点知动圆过定点A(4,0),A(4,0),且在且在y y轴上截得弦轴上截得弦MNMN的长为的长为8.8.

11、(1)(1)求动圆圆心的轨迹求动圆圆心的轨迹C C的方程的方程; ;高中数学(2)(2)知点知点B(-1,0),B(-1,0),设不垂直于设不垂直于x x轴的直线轴的直线l l与轨迹与轨迹C C交于不同的两点交于不同的两点P,Q,P,Q,假设假设x x轴是轴是PBQPBQ的角平分线的角平分线, ,证明直线证明直线l l过定点过定点. .高中数学方法技巧方法技巧 (1) (1)圆锥曲线中定点问题的两种解法圆锥曲线中定点问题的两种解法引进参数法引进参数法: :引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量, ,再研讨变再研讨变化的量与参数何时没有关系化的量与参

12、数何时没有关系, ,找到定点找到定点. .特殊到普通法特殊到普通法: :根据动点或动线的特殊情况探求出定点根据动点或动线的特殊情况探求出定点, ,再证明该定点与再证明该定点与变量无关变量无关. .(2)(2)圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题战略圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题战略求代数式为定值求代数式为定值. .依题意设条件依题意设条件, ,得出与代数式参数有关的等式得出与代数式参数有关的等式, ,代入代代入代数式、化简即可得出定值数式、化简即可得出定值. .求点到直线的间隔为定值求点到直线的间隔为定值. .利用点到直线的间隔公式得出间隔的解析式利用点到直线的间隔公式得出间隔的解析式,

13、 ,再利用题设条件化简、变形求得再利用题设条件化简、变形求得. .求某线段长度为定值求某线段长度为定值. .利用长度公式求得解析式利用长度公式求得解析式, ,再根据条件对解析式进再根据条件对解析式进展化简、变形即可求得展化简、变形即可求得. .高中数学【备用例【备用例2 2】 设抛物线设抛物线C:y2=4x,FC:y2=4x,F为为C C的焦点的焦点, ,过过F F的直线的直线l l与与C C相交于相交于A,BA,B两点两点. .(1)(1)设设l l的斜率为的斜率为1,1,求求|AB|AB|的大小的大小; ;高中数学高中数学题型五题型五 易错辨析易错辨析对直线与抛物线的公共点认识不清致误对直

14、线与抛物线的公共点认识不清致误错解错解: :选选A A纠错纠错: :只思索斜率存在的情况只思索斜率存在的情况, ,忽视斜率不存在及直线平行于抛物线对称忽视斜率不存在及直线平行于抛物线对称轴时的两种情形轴时的两种情形. .正解正解: :易知过点易知过点(0,1),(0,1),斜率不存在的直线为斜率不存在的直线为x=0,x=0,满足与抛物线满足与抛物线y2=4xy2=4x只需只需一个公共点一个公共点. .当斜率存在时当斜率存在时, ,设直线方程为设直线方程为y=kx+1,y=kx+1,再与再与y2=4xy2=4x联立整理得联立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,k2x2+(2k-4)x+1=0

15、,当当k=0k=0时时, ,方程是一次方程方程是一次方程, ,有一个解有一个解, ,满足一个交点满足一个交点; ;当当k0k0时时, ,由由=0=0可得可得k k值有一个值有一个, ,即有一个公共点即有一个公共点, ,所以满足题意的直线所以满足题意的直线有有3 3条条. .应选应选C.C.【例【例5 5】 过点过点(0,1)(0,1)且与抛物线且与抛物线y2=4xy2=4x只需一个公共点的直线有只需一个公共点的直线有( () )(A)1(A)1条条(B)2(B)2条条(C)3(C)3条条(D)0(D)0条条高中数学学霸阅历分享区学霸阅历分享区直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题战略直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题战略(1)(1)求线段长度和线段之积求线段长度和线段之积( (和和) )的最值的最值. .可根据直线与抛物线可根据直线与抛物线相交相交, ,根据弦长公式根据弦长公式, ,求出弦长或弦长关于某个量的函数求出弦长或弦长关于某个量的函数, ,然然后利用根本不等式或利用函数的知识后利用根本不等式或利用函数的知识, ,求函数的最值求函数的最值; ;也可利也可利用抛物线的定义转化为两点间的间隔或点到直线的间隔用抛物线的定义转化为两点间的间隔或点到直线的