（整理版）用向量方法解决平行与垂直问题优化训练

1、 用向量方法解决平行与垂直问题 优化训练1设直线l1的方向向量为a(2,1，2)，直线l2的方向向量为b(2,2，m)，假设l1l2，那么m()a1b2c3 d3解析：选d.l1l2ab2×21×2(2)×m0.m3.2假设平面与的法向量分别是a(1,0，2)，b(1,0,2)，那么平面与平面的关系是()a平行 b垂直c相交但不垂直 d无法判断解析：选a.ab，ab.3平面，的法向量分别为m(1,2，2)，n(2，4，k)，假设，那么k等于_解析：由知，m·n0.282k0解得k5.答案：54三棱锥p­abc中，pa平面abc，abac，paa

2、cab，n为ab上一点，ab4an，m，s分别为pb，bc的中点证明：cmsn.证明：设pa1，以a为原点，ab，ac，ap所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图那么p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，m(1,0，)，n(，0,0)，s(1，0)(1，1，)，(，0)，因为·00，所以cmsn.一、选择题1设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，假设a·b0，那么()al blcl dl或(l)a·b0，所以ab，应选d.2平面的法向量是(2,3，1)，平面的法向量是(4，2)，假设，那么的值是()a b6c6 d.解析：选b.，的法

3、向量与的法向量也互相平行.6.3在菱形abcd中，假设是平面abcd的法向量，那么以下等式中可能不成立的是()a.·0 b.·0c.·0 d.·0解析：选c.pa平面abcd，bdpa.又acbd，pcbd.应选项b正确，选项a和d显然成立应选c.4直线l1的方向向量a(2,4，x)，直线l2的方向向量b(2，y,2)，假设|a|6，且ab，那么xy的值是()a3或1 b3或1c3 d1解析：选a.|a| 6，x±4，又ab，a·b2×24y2x0，y1x，当x4时，y3，当x4时，y1，xy1或3.5平面上的两个向量a(2

4、,3,1)，b(5,6,4)，那么平面的一个法向量为()a(1，1,1) b(2，1,1)c(2,1,1) d(1,1，1)a与b不平行，设平面的法向量为n(x，y，z)，那么令z1，得x2，y1，n(2,1,1)6平面内的三点a(0,0,1)、b(0,1,0)、c(1,0,0)，平面的一个法向量为n(1，1，1)，且与不重合，那么()a bc与相交但不垂直 d以上都不对解析：选a.(0,1，1)，(1,0，1)，n·(1，1，1)·(0,1，1)1×0(1)×1(1)×(1)0，n·(1，1，1)·(1,0，1)1

5、5;10(1)·(1)0，n，n.n也为的一个法向量又与不重合，.二、填空题7假设(，r)，那么直线ab与平面cde的位置关系是_解析：(，r)，那么与、共面ab平面cde或ab平面cde.答案：ab平面cde或ab平面cde8在正方体abcd­a1b1c1d1中，e，f分别是bb1，dc的中点，那么与平面a1d1f的关系为_解析：设正方体的棱长为1，建立如下图的空间直角坐标系，那么a(1,0,0)，e(1,1，)，d1(0,0,1)，f(0，0)，a1(1,0,1)(0,1，).(0，1)，(1,0,0)·(0,1，)·(0，1)0，·0，.

6、又a1d1d1fd1，平面a1d1f，是平面a1d1f的法向量答案：平面a1d1f假设u，v分别是平面，的法向量，那么uv；假设u，v分别是平面，的法向量，那么u·v0；假设u是平面的法向量且向量a与共面，那么u·a0；假设两个平面的法向量不垂直，那么这两个平面一定不垂直解析：中，有可能重合；正确；中，u，a，ua.u·a0，正确；正确答案：三、解答题10如图，在长方体oaeb­o1a1e1b1中，oa3，ob4，oo12，点p在棱aa1上，且ap2pa1，点s在棱bb1上，且sb12bs，点q、r分别是o1b1、ae的中点，求证：pqrs.证明：如下图

7、，建立空间直角坐标系，那么a(3,0,0)，b(0,4,0)，o1(0,0,2)，a1(3,0,2)，b1(0,4,2)，e(3,4,0)ap2pa1，2，即(0,0,2)(0,0，)，p点坐标为(3,0，)同理可得q(0,2,2)，r(3,2,0)，s(0,4，)(3,2，)，又rpq，pqrs.11如下图，在棱长为a的正方体abcd­a1b1c1d1中，以d为坐标原点，da，dc，dd1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，过b作bmac1于m，求点m的坐标解：设点m(x，y，z)，由图可知，a(a,0,0)，b(a，a,0)，c1(0，a，a)，那么(a，a，a)，(xa，y，

8、z)，(xa，ya，z)，因为bmac1，所以·0，即a(xa)a(ya)az0，xyz0.又因为，所以(r)，即xaa，ya，za，xaa，ya，za，由得xa，y，z，所以m.12在四棱锥p­abcd中，底面abcd是正方形，侧棱pd垂直于底面abcd，pddc，e是pc的中点，作efpb于点f.证明：(1)pa平面edb；(2)pb平面efd.证明：建立如下图的空间直角坐标系d是坐标原点，设dca.(1)连结ac交bd于g，连结eg，依题意得d(0，0,0)，a(a,0,0)，p(0,0，a)，e(0，)因为底面abcd是正方形，所以g是此正方形的中心，故点g的坐标为(，0)，