一元二次的四种解法资料讲解

1、一元二次方程的四种解法精品文档一元二次方程的解法( 1 )一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件:(1)(2)(3)2、一元二次方程的一般形式:二、典型例题例 1：判断下列方程是否为一元二次方程： x2 x 1 x2 1 x2 2x 3y 0 x2 3 (x 1)(x 4) ax2 bx c 0 mx2 0(是不为零常数)例 2：一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.22(1)x2 10x 900 0(2)5x2 10x 2.2 022(3)2 x2 15 0(4)x2 3x 0(5) (x 2)2 3(6) (x 3)(x 3) 0例3：当m 时，

2、关于 x的方程(m+2) x|m|+3mx+1=0是一元二次方程。三、 课堂练习1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是()211A.3(x 1)2 2(x 1) B. 22 0xy222C.ax bx c 0 D.x 2x x 12、用换元法解方程(x 2 x) 2 (x 2 x) 6 时，如果设x2 x y，那么原方程可变形为()A、 y y 6 0 B 、 y y 6 0C、 y2 y 6 0D 、 y2 y 6 03、已知两数的积是12, 这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x的一元二次方程x2 (k 1)x 6 0的一个根是2，求 k 的值四、课后练习1.

3、 将方程 3x(x 1)5( x 2) 化成一元二次方程的一般形式，得；其中二次项系数是；一次项系数是；常数项是.2. 方程 (k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k就满足的条件是.3. 已知m是方程x2-x-2=0 的一个根，则代数式m2-m=4. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩2形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm，设金色纸边的宽为xcm ，则 x 满足的方程是()(A) x2 130x 14000 (B)x265x35002(C)x2 130x 14000(D)x265x350025关于x的方程 (m 3)x nx m 0，

4、在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？2)- 直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x2=a(a 0)或 (x h)2= k(k 0)的一元二次方程的解法 直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x m)2 n( n 0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解。(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯)【复习回顾】1. 方程 (k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k就满足的条件是.2. 若(a+1) x2+(x-1) 2=0二次项的系数为-2, 则 a=二、典型例题例 1：解下列方程：( 1)

5、 x2 2( 2) 4x2 1 0例 2、解下列方程： 222 (x 1)22 (x 1)2 4 0 12(3 x)2 3 0推荐例3：用直接开平方法解下列方程122222( 1) 3x 115 0 ( 2)x 34 2x 1 ( 3) x2 2ax a2 b 04三、 课堂练习1. 若方程（ x-4） 2=m-6可用直接开平方法解，则 m的取值范围是（）A m> 6 B m o C m 6 D m=62. 方程（ 1-x） 2=2的根是（）A.-1 、 3 B.1 、 -3 C.1-2、 1+ 2 D. 2-1 、2 +13. 方程 （3x 1） 2= 5 的解是。4. 用直接开平方法

6、解下列方程：（1）4x 2=9；（2）（ x+2） 2=16（3）（2x-1） 2=3;（4）3（2x+1）2=12四、课后练习1、 4 的平方根是，方程x2 4 的解是 .2、方程x 1 2 1 的根是 ，方程 4 x 1 2 1 的根是 3、当x取 时，代数式x2 5的值是2；若x281 0，则 x.4、关于x的方程 3x2 k 1 0若能用直接开平方法来解，则k的取值范围是（）A、 k> 1 B 、 k< 1 C 、 k 1 D 、 k 15、解下列方程：（ 1） 2x2 1 0（ 2）5x 2 4 639( 3)x 5 x 57( 4) 2 6 x 2 128 02222(

7、 5) 0.5y2 2 0( 6) x 14 x 236、已知一个等腰三角形的两边是方程4 (x 10)2 0的两根，求等腰三角形的面积(3) - 配方法一、考点、热点回顾1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为(x h) 2= k ( n 0)形式的过程，进一步理解配方法的意义；2、填空：( 1)x2+6x+=(x+)2；(2)x 2-2x+=(x- )2；(3)x2-5x+=(x- )2；(4)x 2+x+=(x+ )2；(5)x 2+px+=(x+ )2；3、将方程x2+2x-3=0 化为 (x+h) 2=k的形式为；小结 1：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、把常数项移到方程右边；

8、2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；3、利用直接开平方法解之。小结2：当一元二次方程二次项系数不为1 时，用配方法解方程的步骤：二次项系数化为1；移项；直接开平方法求解二、典型例题 例 : 将下列各进行配方：收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 x* 2 10x ( x )2 x2 6x ( x x +b x (x _)例 : 解下列方程：22) x2 3x 1 02（ 1） x2 4x 3 0推荐例3：用配方法解下列关于x的方程：21) x 110 x 1 9 02) x2 6ax 9a2 4b2 0例 4：例1 解方程：2x2 5x 2 03x2 4x 1 0

9、例5、一个小球垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离h（ m）与抛出后小球运动的时间t（s） 有如下关系：h 24t 5t 2。经过多少秒后，小球离上抛点的高度是16m？推荐例6：求证：对任意实数x，代数式x24x 4.5的值恒大于零。三、 课堂练习1. 完成下列配方过程：1)x2+8x+=(x+)2)x2-x+=(x-)3)x2+4=(x+)4)x2-+9 =( x-42. 若 x2-mx+ 49 =(x+ 7 ) 2，则 255A. 7B.-755m的值为()C.145D. -1453. 用配方法解下列方程：(1)x 2-6x-16=0 ；(2)x2+3x-2=0；4. 已知直角三角形的三边

10、(3)x 2+2 3 x-4=0；(4)xa、b、c，且两直角边2- 2x- 2 =0.33a、 b 满足等式(a2+b2) 2-2(a2+b2)-15=0 ，求斜边c 的值。5. 用配方法解方程2y2- 5 y=1 时，方程的两边都应加上(A. 5 B.25 C.45 D. 56. a 2+b2+2a-4b+5=(a+ ) 2+(b-)27. 用配方法解下列方程：(1)2x 2+1=3x；(2)3y2-y-2=0 ；(3)3x 2-4x+1=0；(4)2x2=3-7x.8. 若 4x2-(4m-1)x+m2+1 是一个完全平方式，求m.四、课后练习1、用配方法解下列方程：（ 1） x2 6x

11、 16 0（ 2） x2 3x 2 02211（ 3） x 7 6x（ 4） x x45221、把方程x 3x p 0 配方，得到x m .2（ 1）求常数p 与 m 的值；（2）求此方程的解。3、用配方法解方程x2 px q 0（ p2 4q 0）4、用配方法解下列方程：( 1) x2 15 10x(3)4 2 12 2 1 02(5)3x 2x 3 021(2) 3x2 12x03(4) 2x2 7x 2 0,2(6) 2x2 4x 5 02、你能用配方法求：当为何值时，代数式3x2 6x 5有最大值？（ 4） - 公式法一、考点、热点回顾1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0（

12、a 0） 形式为， b2-4ac= .2、方程x2+x-1=0 的根是。3、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac=，所以方程的根的情况是.4、一元二次方程x2-4x+4=0 的根的情况是（）A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D.不能确定总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0)的根的情况可由来判断：2当b -4ac >0 时，当b2-4ac=0 时，当b2-4ac <0 时，二、典型例题例1：解下列方程：22 (1)x2 3x 2 0;(2)2x2 7x 4变式： 1、解方程：(1)2x(x 1) 3;(2)x2 1 x( 2 5 x).例

13、2：解下列方程：(1)x2 x 1 0;(2)x2 2 3x 3 0;(3)2x2 2x 1 0.例 3：不解方程，判别下列方程根的情况.( 1) 2x2+3x+4=0；( 2) 2x2-5=6x；( 3) 4x(x-1)-3=0 ；( 4) x2+5=2 5 x.题变： 1、试说明关于x 的方程x2+(2k+1)x+k-1=0 必定有两个不相等的实数根.2推荐例4：当k为何值时，关于x的方程 kx( 2k 1) x k 3 = 0 有两个不相等的实数根？题变： 1、已知一元二次方程(m-2) 2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求的取值范围.三、随堂练习1. 把方程 (2x-

14、1)(x+3)=x 2+1 化为ax2 + bx + c = 0 的形式，b2-4ac=，方程的根是.2. 方程 (x-1)(x-3)=2 的根是()A. x 1=1,x 2=3B.x=2 2 3C.x=23D.x=-22 33. 关于 x 的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是5-2，则 m= ，方程的另一个根是.4. 若最简二次根式m27 和 8m 2 是同类二次根式，则的值为()A.9 或 -1B.-1C.1D.95. 用公式法解下列方程：2) x2+2x-4=0；( 1) x2-2x-8=0 ；3) 2x2-3x-2=0 ；4) 3x(3x-2)+1=0.6. 方程 (2x+1)(

15、9x+8)=1 的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定7. 关于 x 的方程x2+2 k x+1=0 有两个不相等的实数根，则k( )A.k> -1 B.k -1 C.k > 1 D.k 08. 要使关于x 的方程kx2-4x+3=0 有实数根，则k 应满足的条件是()A k< 4/3 B.k > 4/3 C.k 4/3 D.k 4/39. 已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m， n 的值可m= ,n=.10. 不解方程，判断下列方程根的情况：1)3x2 x 1 = 3x11. 解下列方程

16、：2) 5( x2 1) = 7x3) 3x2 4 3 x = 4(1)x2 6x 0;(2)x2 12x 27 0(3)2y2 y 5 0;(4)x2 6x 16 01. 用公式法解方程2 x 用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（） 1.2= +4 3x=2 2 , 其中求的b2-4ac 的值是（）A.16 B. 4 C. 32D.642. 用公式法解方程x2=-8x-15 ，其中b2-4ac=，方程的根A.x1.2=12144 122B. x12144 1212144 1212144 48C. x 1.2=D. x 1.2=4. 三角形两边长分别是3 和 5，第三边的长

17、是方程3x2-10x-8=0 的根，则此三角形是三角形 .5. 如果分式x2 x 2 的值为零，那么x= .x1(2) 2 x2+1 =3x6. 用公式法解下列方程：（1） 3y 2-y-2 = 0(3)4x 2-3x-1=x-2(4)3x(x-3)= 2(x-1)(x+1)7. 下列方程中，没有实数根的方程式()A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=08. 方程ax2+bx+c=0(a 0)有实数根，那么总成立的式子是()A.b2-4ac> 0B. b2-4ac < 0C. b 2-4ac 0D. b2-4ac 09. 如果方程9x2-(

18、k+6)x+k+1=0 有两个相等的实数根，那么k= .( 4) - 因式分解法一、考点、热点回顾应用回顾：下列哪些方法能用因式分解法解2(1)x 2 2x 0(2)(x-3)2 (x 3) 02(3)x 1 2(x 1)2 11(4)x 2 9 0小结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：1 . 将方程的右边化为2 . 将方程左边因式分解3 . 把原来的一元二次方程转化为两个一元一次方程.4 . 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根二、典型例题例 1：用因式分解法解方程:2(1) x24x (2) x 3 x(x 3) 0例2：解方程(2x 1)2 x2 01. 如果方程x2-3x+c=0 有一个根为1，那么c= ，该方程的另一根该方程可化为（x-1 ）（ x ）2. 方程x2=x的根为（）A.x=0 B. x 1=0,x2=13. 用因式分解法解下列方程：2（ 1）（x+2） 2=3x+6；（ 3） 5（ 2x-1 ） =（1-2x）（x+3） ；4. 用适当方法解下列方程：（ 1）（3x-1 ） 2=1；（ 3） （2x-1） 2+2（2x-1）=3 ；=0C. x 1=0,x