（整理版）第1课时直线的方向向量和平面的法向量

1、第1课时 直线的方向向量和平面的法向量一、选择题1假设平面、的法向量分别为a，b(1，2,6)，那么()ab与相交但不垂直c d或与重合答案d解析b2a，ba，或与重合2直线l1、l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(2，3,2)，那么()al1l2 bl1与l2相交，但不垂直cl1l2 d不能确定答案c解析a·b0，ab，l1l2.3在如下图的坐标系中，abcda1b1c1d1为正方体，给出以下结论：直线dd1的一个方向向量为(0,0,1)直线bc1的一个方向向量为(0,1,1)平面abb1a1的一个法向量为(0,1,0)平面b1cd的一个法向量为(1,1,1)其中正确的个数为

2、()a1个b2个c3个d4个答案c解析dd1aa1，(0,0,1)；bc1ad1，(0,1,1)，直线ad平面abb1a1，(0,1,0)；c1点坐标为(1,1,1)，与平面b1cd不垂直，错4空间四边形abcd中，acbd，顺次连结各边中点p、q、r、s，如图，所得图形是()a长方形b正方形c梯形d菱形答案d解析.同理，四边形pqrs为平行四边形，又，|，即psbd，又|，pqac，acbd，pspq，四边形abcd为菱形5假设直线l1、l2的方向向量分别为a(1,2，2)，b(3，6,6)，那么()al1l2 bl1l2cl1、l2相交但不垂直 d不能确定答案d解析a(1,2，2)，b(3

3、，6,6)，b3a，l1l2或l1与l2重合，应选d.6假设a(1,2,3)是平面的一个法向量，那么以下向量中能作为平面的法向量的是()a(0,1,2) b(3,6,9)c(1，2,3) d(3,6,8)答案b解析 因为(3,6,9)3(1,2,3)3a，即向量(3,6,9)与a平行，故(3,6,9)能作为平面的法向量7如果一条直线l与平面内的两条直线垂直，那么l与的位置关系是()a平行b垂直cl d不确定答案d解析直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，应选d.8平面的一条斜线和这个平面所成的角的范围是()a0°<<180° b0°90

4、76;c0°<90° d0°<<90°答案d解析由斜线和平面所成的角定义知选d.二、填空题9如果三点a(1,5，2)，b(2,4,2)，c(a,3，b2)在同一直线上，那么a_，b_.答案3210平面的法向量u(x,1，2)，平面的法向量v，那么xy_.答案解析，uv，xy.11平面经过三点a(1,2,3)，b(2,0，1)，c(3，2，0)，那么平面的一个法向量是_(写出一个即可)答案形如(2k，k,0)(k0)的都可以解析因为a(1,2,3)，b(2,0，1)，c(3，2,0)，所以(1，2，4)，(2，4，3)设平面的法向量是n(

5、x，y，z)，依题意，应有n·0且n·0，即解得z0且x2y.令y1，那么x2，所以平面的一个法向量是n(2,1,0)(答案不唯一)12空间直角坐标系oxyz中的点a(1,1,1)，平面过点a并且与直线oa垂直，动点p(x，y，z)是平面内的任一点，那么点p的坐标满足的条件为_答案xyz3解析由题意知，oa，直线oa的方向向量(1,1,1)，因为p，(1,1,1)·(x1，y1，z1)0，xyz3.三、解答题13如下图，矩形abcd，pa平面abcd，m、n分别是ab、pc的中点，pda为，能否确定，使直线mn是直线ab与pc的公垂线？假设能确定，求出的值；假设不

6、能确定，说明理由解析以点a为原点建立空间直角坐标系axyz，设|ad|2a，|ab|2b，pda，那么a(0,0,0)、b(0,2b,0)、c(2a,2b,0)、d(2a,0,0)、p(0,0,2atan)、m(0，b,0)、n(a，b，atan)(0,2b,0)，(2a,2b,2atan)，(a,0，atan)·(0,2b,0)·(a,0，atan)0，即abmn.假设mnpc，即·(a,0，atan)·(2a,2b,2atan)2a22a2tan20，那么tan21，而是锐角，tan1，45°.即当45°时，直线mn是直线ab与p

7、c的公垂线14在底面为正方形的四棱锥pabcd中，e是pc中点，求证：pa平面edb.证明设a，b，c，那么(bc)，(ab)，ac，22，与、共面，、不共线，pa平面bde.pa平面bde.15a(1,2,4)，b(2,3,5)，以的方向为正向，如图在直线ab上建立一条数轴，m、n为轴上的两点，且分别满足条件：(1)ammb21，(2)annbm和点n的坐标解析由(1)由得2，即2()，.设m(x，y，z)，那么(x，y，z)(2,3,5)(1,2,4)，所以x1，y×3，z×5，因此点m的坐标为(1，)(2)因为annb3，所以3，即3(),23，设n(x，y，z)，那么(x，y，z)(2,3,5)(1,2,4)，所以x3，y1，z2，因此点n的坐标为(，)16如图， 正四棱柱abcda1b1c1d1中，底面边长为2，侧棱长为4，e，f分别是棱ab、bc的中点，efbdg.求证：平面b1ef平面bdd1b1.解析以d为原点，da、dc、dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：d(0,0,0)，b1(2，2，4)，e(2，0)，f(，2，0)，(0，4)，(，0)设平面b1ef的一个法向量为n(x，y，z)