（整理版）第6讲　双曲线

1、第6讲双曲线分层a级根底达标演练(时间：30分钟总分值：55分)一、选择题(每题5分，共20分)1(·广州二模)双曲线x2my21的虚轴长是实轴长的2倍，那么实数m的值是 ()a4 b. c d4解析把双曲线的方程化为x21，可见双曲线的实轴长为2，虚轴长为2 .据题意有：2 2×2，m.答案c2(·湖南)双曲线c：1的焦距为10，点p(2,1)在c的渐近线上，那么c的方程为()a.1 b.1c.1 d.1解析不妨设a>0，b>0，c.据题意，2c10，c5.双曲线的渐近线方程为y±x，且p(2,1)在c的渐近线上，1.由解得b25，a220

2、，故正确选项为a.答案a3双曲线x21的左顶点为a1，右焦点为f2，p为双曲线右支上一点，那么·的最小值为 ()a2 b c1 d0解析设点p(x，y)，其中xa1(1,0)，f2(2,0)，那么有x21，y23(x21)，·(1x，y)·(2x，y)(x1)(x2)y2x23(x21)x24x2x542，其中x1.因此，当x1时，·取得最小值2，选a.答案a4双曲线m：1和双曲线n：1，其中b>a>0，且双曲线m与n的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，那么双曲线m的离心率为()a. b.c. d.解析由得x2.依题意得c2，1，即

3、1，e43e210，e2；又e2>1，因此e22，所以e，即双曲线m的离心率为，选a.答案a二、填空题(每题5分，共10分)5(·南京二模)双曲线y21的一条渐近线方程为x2y0，那么该双曲线的离心率为_解析双曲线y21的渐近线方程为x±ay0.由题意，ab1，c，e.答案6(·青岛一模)双曲线1的渐近线方程为y±x，那么它的离心率为_解析依题意，得e 2.答案2三、解答题(共25分)7(12分)求适合以下条件的双曲线方程(1)焦点在y轴上，且过点(3，4)，.(2)双曲线的渐近线方程为2x±3y0，且双曲线经过点p(，2)解(1)设所求

4、双曲线方程为my2nx21(m0，n0)，那么因为点(3，4)，在双曲线上，所以点的坐标满足方程，由此得解方程组得故所求双曲线方程为1.(2)由双曲线的渐近线方程y±x，可设双曲线方程为(0)双曲线过点p(，2)，故所求双曲线方程为y2x21.8(13分)中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点f1，f2，且|f1f2|2，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；(2)假设p为这两曲线的一个交点，求cosf1pf2的值解(1)由：c，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，那么解得a7，m3.b6，n2.椭圆方

5、程为1，双曲线方程为1.(2)不妨设f1，f2分别为左、右焦点，p是第一象限的一个交点，那么|pf1|pf2|14，|pf1|pf2|6，所以|pf1|10，|pf2|4.又|f1f2|2，cosf1pf2.分层b级创新能力提升1.(·浙江)如图，中心均为原点o的双曲线与椭圆有公共焦点，m，n是双曲线的两顶点假设m，o，n将椭圆长轴四等分，那么双曲线与椭圆的离心率的比值是 ()a3 b2 c. d.解析设双曲线的方程为1，椭圆的方程为1，由于m，o，n将椭圆长轴四等分，所以a22a1，又e1，e2，所以2.答案b2(·北京西城模拟)过双曲线1(a>0，b>0)的

6、左焦点f(c,0)(c>0)作圆x2y2的切线，切点为e，延长fe交双曲线右支于点p，假设2，那么双曲线的离心率为()a. b. c. d.解析设双曲线的右焦点为a，那么，故2，即oeap.所以e是pf的中点，所以ap2oe2×a.所以pf3a.在rtapf中，a2(3a)2(2c)2，即10a24c2，所以e2，即离心率为e ，选c.答案c3(·临沂联考)点f是双曲线1(a>0，b>0)的左焦点，点e是该双曲线的右顶点，过点f且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点，假设abe是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e的取值范围为_解析由题意知，abe为等腰三

7、角形假设abe是锐角三角形，那么只需要aeb为锐角根据对称性，只要aef<即可直线ab的方程为xc，代入双曲线方程得y2，取点a，那么|af|，|ef|ac，只要|af|<|ef|就能使aef<，即<ac，即b2<a2ac，即c2ac2a2<0，即e2e2<0，即1<ee>1，故1<e<2.答案(1,2)4(·湖北)如图，双曲线1(a，b0)的两顶点为a1，a2，虚轴两端点为b1，b2，两焦点为f1，f2.假设以a1a2为直径的圆内切于菱形f1b1f2b2，切点分别为a，b，c，d.那么(1)双曲线的离心率e_；(2)

8、菱形f1b1f2b2的面积s1与矩形abcd的面积s2的比值_.解析(1)由题意可得a bc，a43a2c2c40，e43e210，e2，e.(2)设sin ，cos ，e2.答案(1)(2)5(·合肥联考)双曲线的中心在原点，焦点f1，f2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线方程；(2)假设点m(3，m)在双曲线上，求证：·0；(3)求f1mf2的面积(1)解e，设双曲线方程为x2y2.又双曲线过(4，)点，16106，双曲线方程为x2y26.(2)证明法一由(1)知ab，c2，f1(2，0)，f2(2，0)，kmf1，kmf2，kmf1·kmf2

9、，又点(3，m)在双曲线上，m23，kmf1·kmf21，mf1mf2，·0.法二(32，m)，(23，m)，·(32)(32)m23m2.m在双曲线上，9m26，m23，·0.(3)解在f1mf2中，|f1f2|4，且|m|，sf1mf2·|f1f2|·|m|×4×6.6给出双曲线x21.(1)求以a(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)假设过点a(2,1)的直线l与所给双曲线交于p1，p2两点，求线段p1p2的中点p的轨迹方程；(3)过点b(1,1)能否作直线m，使得m与双曲线交于两点q1，q2，且b是q1q2的中点？这样的直线m假设存在，求出它的方程；假设不存在，说明理由解(1)设弦的两端点为p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，那么两式相减得到2(x1x2)(x1x2)(y1y2)·(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直线斜率k4.故求得直线方程为4xy70.(2)设p(x，y)，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，按照(1)的解