（整理版）第一部分集合知识点

1、第一局部 集合知识点一集合的含义1 集合的中元素的三个特性：元素确定性 元素的互异性 元素的无序性2.集合的表示： 集合的表示方法1） 列举法：a,b,c2） 描述法： xÎr| x-3>2 ,x| x-3>23） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） venn图:3集合的分类：有限集 无限集 空集 4常见集合表示r实数集 q有理数集 n自然数集 z整数集 n*正整数集 c复数集二集合间的根本关系1.“包含关系子集注意：有两种可能1a是b的一局部，；2a与b是同一集合。反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba2“相等关系：a=b (55，且

2、55，那么5=5)实例：设 a=x|x2-1=0 b=-1,1 “元素相同那么两集合相等 任何一个集合是它本身的子集。aÍa真子集:如果aÍb,且a¹ b那就说集合a是集合b的真子集，记作ab或ba如果 aÍb, bÍc ,那么 aÍc 如果aÍb 同时 bÍa 那么a=b3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集 定 义由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a

3、,b的交集记作ab，即ab=x|xa，且xb由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，叫做a,b的并集记作：ab，即ab =x|xa，或xb)设s是一个集合，a是s的一个子集，由s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做s中子集a的补集，记作，csa=韦恩图示sa性 质aa=a a=ab=ba aba abbaa=a a=aab=ba ababb(cua) (cub)= cu (ab)(cua) (cub)= cu(ab)a (cua)=u a (cua)= 第二局部 函数知识点 一.函数.1、映射1映射：设a、b是两个集合，如果按照某种映射法那么f，对于集合a中的任一个元素，在集合b中都有

4、唯一的元素和它对应，那么这样的对应包括集合a、b以及a到b的对应法那么f叫做集合a到集合b的映射，记作f：ab。象与原象p36注意:对映射定义的理解。判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 定义域对应法那么值域(注意区间表示方法)两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1、以下各对函数中，相同的是 a、 b、 c、 d、fx=x，2、给出以下四个图形，其中能表示从集合m到集合n的函数关系的有 a、 0个 b、 1个 c、 2个 d、3个xxxx1211122211112222yyyy3oooo3函数 ，假设，那么= 二、函数的解析式与定义域1、求

5、函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些根本函数通过四那么运算结合而成的.那么，它的定义域是使各局部都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u 相同函数的判断方法：表达式相同与表示自变量和函数值的字母无关；定义域一致 (两点必须同时具备)练习.函数 的定义域.2求函数定义域的两个难点问题（1） 2 练习.设，那么的定义域为_变式练习：，求的定义域。三、函数的值域1求函数值域的方法

6、直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且r的分式；别离常数：适合分子分母皆为一次式x有范围限制时要画图；单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数1直接法2 3换元法4. 法 5. 6. (别离常数法) 7. (单调性)8.， (结合分子/分母有理化的数学方法)9(图象法)10(对号函数) 11. (几何意义)四函

7、数的奇偶性1定义:设y=f(x)，xa，如果对于任意a，都有，那么称y=f(x)为偶函数。如果对于任意a，都有，那么称y=f(x)为奇函数。2函数的奇偶性也可以通过下面方法证明： 奇函数 偶函数3.性质：y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,假设函数f(x)的定义域关于原点对称，那么f(0)=0奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域d1 ，d2，d1d2要关于原点对称4奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系1 函数是定义

8、在上的偶函数. 当时，那么当时， 2 定义域为的函数是奇函数。求的值；假设对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；3 在1，1上有定义，且满足证明：在1，1上为奇函数；4 假设奇函数满足，那么_五、函数的单调性1证明函数单调性的方法：. 定义法： 任取x1，x2d，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形通常是因式分解和配方； 定号即判断差f(x1)f(x2)的正负； 下结论指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性用导数证明： 假设在某个区间a内有导数， 那么在a内为增函数； 在a内为减函数。2求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法：在公共定义域上的单调性：假设

9、f与g的单调性相同，那么为增函数； 假设f与g的单调性相反，那么为减函数。 注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。3一些有用的结论： a.奇函数在其对称区间上的单调性相同； b.偶函数在其对称区间上的单调性相反；增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。在上单调递增；在上是单调递减。4 设是定义在m上的函数，假设f(x)与g(x)的单调性相反，那么在m上是减函数；假设f(x)与g(x)的单调性相同，那么在m上是增函数。同增异减1判断函数的单调性。2例 函数对任意的，都有，并且当时， 求证：在上是增函数； 假设，解不等式 3函数的单调增区间是_4

10、(高考真题)是上的减函数，那么的取值范围是 a b cd 5函数的单调性通常也可以以以下形式表达： 单调递增 单调递减六函数的周期性：1定义假设是周期函数，t是它的一个周期。说明：nt也是的周期推广假设，那么是周期函数，是它的一个周期对照记忆说明：说明：2假设；那么周期是21 定义在r上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),那么,f(6)的值为(a)1 (b) 0 (c) 1 (d)22 定义在r上的偶函数，满足，在区间-2,0上单调递减，设，那么的大小顺序为_3 f (x)是定义在实数集上的函数，且那么f ()= .4 是(-)上的奇函数，当01时，f(x)=x，那么f(7.5)=_5

11、 设是定义在r上的奇函数，且对任意实数x恒满足，当时求证：是周期函数；当时，求的解析式；计算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2.求反函数的步骤：求原函数，的值域b把看作方程，解出；x，y互换的的反函数为，。3、关于反函数的性质1y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称；2y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；3y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，从中求出x，即是f-1(a)；4f-1f(x)=x;5假设点 (a,b)在y=f(x)的图象上，那么 (b,a)在y=f-1(x)的图象上；6y=f(x)的

12、图象与其反函数y=f-1(x)的图象的交点一定在直线y=x上;1设函数的反函数为，且的图像过点，那么的图像必过( )a b c d2：，的反函数为 。3：，求的反函数。4：设 。八一次函数与正比例函数1正比例函数y=kx(k0)的图象是经过两点o(0，0)，a(1，k)的一条直线；一次函数y=kx+b(k0)的图象是经过两点a(0，b)，的一条直线，但在取值时要根据具体情况灵活选取因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要描出两点即可画出一条直线一次函数y=kx+b的图象是恒过(0，b)点且平行于直线y=kx的一条直线，其中k叫直线y=kx+b的斜率，b是直线y=kx+b在y轴上的截距

13、(注意：截距b不是距离，它可以是正数，也可以是负数或零)2一次函数y=kx+b(k0)与正比例函数y=kx(k0)的性质.y=kxk0y=kx+bk0，且b0经过原点0，0与两坐标轴的交点0，b为和b/k，0k0经过一、三象限必过一、三象限k0经过二、四象限必过二、四象限当k0时，y的值随x值的增大而增大；当k0时，y的值随x值的增大而减小。当k0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角最大。图象与系数的联系八二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标，其中a是二次项系数，决定开口方向和大小，b是一次项系数与a决

14、定对称轴的位置，c为常数项是与y轴的截距。2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的的解。一元二次不等式的解集(a>0)二次函数情况一元二次不等式解集y=ax2+bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)图象与解>0=0<0r3与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中4一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根(x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a

15、韦达定理)这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有5待定系数法求二次函数方程二次函数的解析式： 1一般形式：2顶点式：3两根式：轴交与、两点，且经过点，求抛物线解析式。解：抛物线与轴交于、两点设抛物线为 抛物线过点即 ，满足以下条件，求函数解析式。图像过点、图像过点、且对称轴是图像顶点是，且过点图像和轴交于和两点，且过点1、函数在区间上是增函数，那么的范围是 a (b) (c) (d) 2、方程有一根大于1，另一根小于1，那么实根m的取值范围是_3. 抛物线顶点且与轴交

16、于两点、，且.求抛物线的解析式。九函数的图象变换在下面画出图形变化的方法图形作出以下函数的简图：1y=|log|； 2y=|2x-1|；3y=2|x|； 4y=|x2+2x-3|十.函数的零点.方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点3、函数零点的求法： 代数法求方程的实数根； 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零4.函数零点所在区间的判定如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续

17、不断的一条曲线，并且有f(a) ·f(b)，那么，函数y=f(x)在区间a,b内有零点，即存在c a,b，使得f(c)=0，这个 c 也就是方程f(x)=0的根。例.求 解： 因为2.375与精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为十一初等函数1根式定义：假设一个数的次方等于，那么这个数称的次方根。即假设，那么称的次方根，1当为奇数时，次方根记作；2当为偶数时，负数没有次方根，而正数有两个次方根且互为相反数，记作性质：1；2当为奇数时，；3当为偶数时，。2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义规定：1n*； 2； n

18、个3q，4、n* 且性质：1、 q；2、 q；3 q。注上述性质对r、r均适用。3对数的概念定义：如果的b次幂等于n，就是，那么数称以为底n的对数，记作其中称对数的底，n称真数1以10为底的对数称常用对数，记作；2以无理数为底的对数称自然对数，记作；根本性质：1真数n为正数负数和零无对数；2；3；4对数恒等式：。运算性质：如果那么1；2；3r换底公式：1；2。4指数函数与对数函数1指数函数：定义：函数称指数函数，1函数的定义域为r；2函数的值域为；3当时函数为减函数，当时函数为增函数。函数图像：1指数函数的图象都经过点0，1，且图象都在第一、二象限；2指数函数都以轴为渐近线当时，图象向左无限接

19、近轴，当时，图象向右无限接近轴；3对于相同的，函数的图象关于轴对称，函数值的变化特征：2对数函数：定义：函数称对数函数，1函数的定义域为；2函数的值域为r；3当时函数为减函数，当时函数为增函数；4对数函数与指数函数互为反函数函数图像：1对数函数的图象都经过点0，1，且图象都在第一、四象限；2对数函数都以轴为渐近线当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴；3对于相同的，函数的图象关于轴对称。函数值的变化特征：，.，. 5指数函数与对数函数比照1指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a1)互为反函数名称指数函数对数函数一般形式y=ax (a>0且a1)y=logax (a>0 , a1)定义域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )过定点，11，图象指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a1)图象关于y=x对称单调性a> 1,在(-,+ )上为增函数a<1, 在(-,+ )上为减函数a>1,在(0,+ )上为增函数a<1, 在(0,+ )上为减函数值分布y>1 y<1y>0 y<02. 比拟两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同1、 ，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，