（整理版）第五章平面向量2

1、第五章 平面向量四 解斜三角形【考点阐述】正弦定理余弦定理斜三角形解法【考试要求】7掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形【考题分类】一选择题共8题1.北京卷文7某班设计了一个八边形的班徽如图，它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为a； bc； d【答案】a .2.湖北卷理3在中，a=15,b=10,a=60°，那么=a b c d 【答案】c【解析】由正弦定理得，解得，又因为，所以，故，所以,应选c。3.湖南卷理6文7在abc中，角a，b，c所对的边长分别为a,b,c，假设c=120°，,那么a、a>b b、a

2、<b c、a=b d、a与b的大小关系不能确定,属中档题。4. 江西卷理7是等腰直角斜边上的三等分点，那么abc d【答案】d【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定ab=6,ac=bc=,由余弦定理ce=cf=,再由余弦定理得，解得解法2：坐标化。约定ab=6,ac=bc=,f(1,0),e(-1,0),c0,3利用向量的夹角公式得，解得。5.辽宁卷理8文8平面上o,a,b三点不共线，设，那么oab的面积等于 (a) (b) (c) (d) 6.上海卷理18某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，那么此人能 【答】 a不能作出这样的三角形 b作出一个锐角三角形

3、c作出一个直角三角形 d作出一个钝角三角形解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知由余弦定理得，所以角a为钝角，选d7.上海卷文18假设的三个内角满足，那么a一定是锐角三角形. b一定是直角三角形.c一定是钝角三角形. (d)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由及正弦定理得a:b:c=5:11:13 由余弦定理得，所以角c为钝角，选c8天津卷理7在abc中，内角a,b,c的对边分别是a,b,c，假设，那么a=a b c d【答案】a【解析】由sinc=2sinb结合正弦定理得：，所以由于余弦定理得：，所以a=30°，选a。二填空题共7题1.北京卷理10文10在abc中

4、，假设b = 1，c =，那么a = 。【答案】1。解析：，因此，故2.广东卷理11a,b,c分别是abc的三个内角a,b,c所对的边，假设a=1,b=, a+c=2b,那么sinc= .【答案】1解：由a+c=2b及a+ b+ c=180°知，b =60°由正弦定理知，即由知，那么，.3. 广东卷文13a，b，c分别是abc的三个内角a，b，c所对的边，假设a=1，b=，a+c=2b，那么sina= . 4江苏卷13在锐角三角形abc，a、b、c的对边分别为a、b、c，那么_【答案】4，考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。方法一考虑条件和

5、所求结论对于角a、b和边a、b具有轮换性。当a=b或a=b时满足题意，此时有：，= 4。方法二，由正弦定理，得：上式=5 全国新卷理16在abc中，d为边bc上一点，bd=dc，adb=120°，ad=2，假设adc的面积为，那么bac=_【答案】 解析：设，那么，由条件有，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以6 全国新卷文16在abc中，d为bc边上一点，,.假设,那么bd=_【答案】 解析：设，在和中分别用余弦定理可解得7 山东卷理15文15在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，假设a=，b=2，sinb+cosb=，那么角a的大小为_.【答案】【解析】由得，即

6、，因为，所以，又因为，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。三解答题共17题1.安徽卷理16设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且。 ()求角的值；()假设，求其中。2.安徽卷文16的面积是30，内角所对边长分别为，。 ()求；()假设，求的值。.【解题指导】1根据同角三角函数关系，由得的值，再根据面积公式得；直接求数量积.由余弦定理，代入条件，及求a的值.解：由，得.又，.，.【规律总结】根据此题所给的条件及所要求的结论可知，需求的值，考虑的面积是30，所以先求的值，然后根据三角形面积公式得的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.3.福建卷理19某港

7、口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过小时与轮船相遇。假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？假设小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时，试设计航行方案即确定航行方向和航行速度的大小，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由1得而小艇的最高航行速度只能到达30海里/小时，故轮船与小艇不可能在a、c包含c的任意位置相遇，设，od=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小

8、值为，于是当取得最小值，且最小值为。此时，在中，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。4.福建卷文21某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的o北偏西30°且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.i假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行速度的大小应为多少？i为保证小艇在30分钟内含30分钟能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；5.江苏卷17某兴趣小组测量电视塔

9、ae的高度h(m，如示意图，垂直放置的标杆bc高度h=4m，仰角abe=，ade=该小组已经测得一组、的值，tan=1.24,tan=1.20,请据此算出h的值该小组分析假设干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离dm，使与之差较大，可以提高测量精确度，假设电视塔实际高度为125m，问d为多少时，-最大解析 此题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。1，同理：，。 adab=db，故得，解得：。因此，算出的电视塔的高度h是124m。2由题设知，得，当且仅当时，取等号故当时，最大。因为，那么，所以当时，-最大。故所求的是m。6.辽宁卷理17在abc中，a, b, c分别为内角

10、a, b, c的对边，且求a的大小；求的最大值.故当b=30°时，sinb+sinc取得最大值1。 12分7.辽宁卷文17在中，分别为内角的对边，且求的大小；假设，是判断的形状。解：由，根据正弦定理得即由余弦定理得故 由得又，得因为，故所以是等腰的钝角三角形。8.全国卷理17文18的内角，及其对边，满足，求内角9. 全国卷理17文17中，为边上的一点，求【分析】此题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的根底知识。由与的差求出，根据同角关系及差角公式求出的正弦，在三角形abd中，由正弦定理可求得ad。【解析】由 由得， 从而 . 由正弦定理得 , 所以 .10.陕西卷理17如图

11、，a，b是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于a点北偏东45°，b点北偏西60°的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60°且与b点相距海里的c点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达d点需要多长时间？解 由题意知ab=海里， dab=90°60°=30°， dab=90°45°=45°，adb=180°45°+30°=105°，在adb中，有正弦定理得11.陕西卷文17在abc中，b=45°,

12、d是bc边上的一点， ad=10,ac=14,dc=6，求ab的长.解在adc中，ad=10,ac=14,dc=6,由余弦定理得cos=,adc=120°, adb=60°在abd中，ad=10, b=45°, adb=60°，由正弦定理得,ab=.12.四川卷理19 iiabc的面积，且，求.解析：13.天津卷文17在abc中，。证明b=c：假设=-，求sin的值。【解析】证明：在abc中，由正弦定理及得=，从而b-c=0. 所以b=c.解：由a+b+c=和得a=-2b,故cos2b=-cos-2b=-cosa=.又0<2b<,于是sin2

13、b=. 从而sin4b=2sin2bcos2b=，cos4b=. 所以。14.浙江卷理18)在abc中,角a、b、c所对的边分别为a,b,c， (i)求sinc的值；()当a=2， 2sina=sinc时，求b及c的长解析：此题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等根底知识，同事考查运算求解能力。解：因为cos2c=1-2sin2c=，及0c所以sinc=.解：当a=2，2sina=sinc时，由正弦定理，得c=4由cos2c=2cos2c-1=，j及0c得cosc=±由余弦定理c2=a2+b2-2abcosc，得b2±b-12=0解得 b=或2所以 b= b= c=4 或 c=415.浙江卷文18在abc中，角a，b，c所对的边分别为a,b,c,设s为abc的面积，满足。求角c的大小；求的最大值。解析此题主要余弦定理、三角形面积公式、三角变换等根底知识，同时考查三角运算求解能力。 ()解：由题意可知absinc=,2abcosc.所以tanc=.因为0&