（整理版）第十三章导数

1、第十三章 导数二 导数的应用【考点阐述】利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值【考试要求】3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件导数在极值点两侧异号；会求一些实际问题一般指单峰函数的最大值和最小值【考题分类】一选择题共2题1.江西卷理12如图，一个正五角星薄片其对称轴与水面垂直匀速地升出水面,记时刻五角星露出水面局部的图形面积为()，那么导函数的图像大致为 a bcd【答案】a【解析】此题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除c；总面积一直保持

2、增加，没有负的改变量，排除b；考察a、d的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择a。2.山东卷文8某生产厂家的年利润：万元与年产量：万件的函数关系式为，那么使该生产厂家获得最大年利润的年产量为a13万件 (b)11万件 (c) 9万件 (d)7万件【答案】c【解析】令导数，解得；令导数，解得，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，所以在处取极大值，也是最大值，应选c。 二解答题共35题1.安徽卷理17设为实数，函数。 ()求的单调区间与极值；()求证：当且时，。2.安徽卷文20设函数，求函数的单调区间与极值。.【解题指导】1对函数求导，对

3、导函数用辅助角公式变形，利用导数等于0得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.【思维总结】对于函数解答题，一般情况下都是利用导数来研究单调性或极值，利用导数为0得可能的极值点，通过列表得每个区间导数的正负判断函数的单调性，进而得出极值点.3.北京卷理18函数()=in(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。解：i当时， 由于所以曲线处的切线方程为。即ii当时，因此在区间上，；在区间上，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，得;因此，在区间和上，；在区间上，；即函数 的单调递增区间为和，单调递

4、减区间为；当时，.的递增区间为当时，由，得；因此，在区间和上，在区间上，；即函数 的单调递增区间为和，单调递减区间为。4.北京卷文18设定函数，且方程的两个根分别为1，4。当a=3且曲线过原点时，求的解析式；假设在无极值点，求a的取值范围。5.福建卷理20函数，其图象记为曲线。求函数的单调区间；证明：假设对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成封闭图形的面积分别记为s1，s2，那么为定值；对于一般的三次函数，请给出类似于【解析】i由得=，当和时，；当时，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。ii曲线c与其在点处的切线方程为得，即，

5、解得，进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和，又，所以因此有。记函数的图象为曲线，类似于ii的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线c与其在点处的切线交于另一点，线段证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似iii的计算可得，故。6.福建卷文22函数的图像在点p(0,f(0)处的切线方程为.求实数a，b的值；设是上的增函数. 求实数m的最大值； 当m取最大值时，是否存在点q，使得过点q的直线能与曲线围成两个封闭图形，那么这两个封闭图形的面积总相等？假设存在，求出点q的坐标；假设不存在，说明理由.7.广东卷文21曲线，点是曲线上的点n=1,

6、2,.1试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；2假设原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试求试点的坐标；3设与为两个给定的不同的正整数，与是满足2中条件的点的坐标，证明：8.湖北卷理17为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元。该建筑物每年的能源消消耗用c：万元与隔热层厚度x：cm满足关系：cx=假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元。设fx为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和。求k的值及f(x)的表达式。隔热层修建多厚时，总费用f(x)到达最小，并求最小值。9.湖

7、北卷理21函数f(x)=ax+c(a0)的图象在点1,f(1)处的切线方程为y=x-1.()用a表示出b,c;()假设f(x)x在1,上恒成立，求a的取值范围；()证明：1+(n+1)+)(n1).10.湖北卷文21设函数，其中a0，曲线在点p0，处的切线方程为y=1确定b、c的值设曲线在点及处的切线都过点0,2证明：当时，假设过点0,2可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围。11.湖南卷理21数列中，a1=a，a n+1是函数的极小值点当a=0时，求通项； 是否存在a，使数列是等比数列？假设存在，求a的取值范围；假设不存在，请说明理由。【解析】易知令 (1)故在2312湖南卷文21函数其中a

8、<0,且a-1.讨论函数的单调性；设函数e是自然数的底数。是否存在a，使在a,-a上为减函数？假设存在，求a的取值范围；假设不存在，请说明理由。13.江苏卷20设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，那么称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数求证：函数具有性质求函数的单调区间(2)函数具有性质，给定，且，假设|<|,求的取值范围解析 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等根底知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。总分值16分。1(i)时，恒成立，函数具有性质；(ii)方法一设，与的

9、符号相同。当时，故此时在区间上递增；当时，对于，有，所以此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，而，对于，总有，故此时在区间上递增；方法二当时，对于， 所以，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 当时，故此时在区间 上递减；同理得：在区间上递增。综上所述，当时，在区间上递增； 当时，在上递减；在上递增。(2)方法一由题意，得：又对任意的都有>0，所以对任意的都有，在上递增。又。当时，且， 综合以上讨论，得：所求的取值范围是0，1。方法二由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立。所以，当时，从而在区间上单调递增。当时，有，得，同理可得，所以由的单调性

10、知、，从而有|<|，符合题设。当时，于是由及的单调性知，所以|，与题设不符。当时，同理可得，进而得|，与题设不符。因此综合、得所求的的取值范围是0，1。14.江西卷理19设函数1当时，求的单调区间；2假设在上的最大值为，求的值考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 【解析】对函数求导得：，定义域为0，2单调性的处理，通过导数的零点进行穿线判别符号完成。当a=1时，令当为增区间；当为减函数。区间上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比拟得到，确定待定量a的值。当有最大值，那么必不为减函数，且>0，为单调递增区间。最大值在右端点取到。15.江西卷文17设函数.1假

11、设的两个极值点为，且，求实数的值；2是否存在实数，使得是上的单调函数？假设存在,求出的值；假设不存在，说明理由.考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识【解析】1由有，从而，所以；2由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.值范围。17.辽宁卷文21函数.讨论函数的单调性；设，证明：对任意，。解：() f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在0, 单调增加，在，+单调减少.()不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在0，+单调减

12、少.所以等价于4x14x2 , 即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,那么+4.于是0.从而g(x)在0，+单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+) ，.18.全国卷理20函数.假设，求的取值范围；证明： .,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.【解析】 ， ,题设等价于.令，那么当，；当时，是的最大值点， 综上，的取值范围是.()有知，即.当时，；当时， 所以19.全国卷文21函数i当时，求的

13、极值;ii假设在上是增函数，求的取值范围解：当时，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值. 所以是的极小值.20.全国新卷理21设函数。假设，求的单调区间；假设当时，求的取值范围解：1时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加ii由i知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.21.全国新卷文21设函数假设a=，求的单调区间；假设当0时0，求a的取值范围解：时，。当时;当时，;当时，。故在，单调增加，在-1，0单调减少。令，那么。假设，那么当时，为减函数，而，从而当x0时0，即0.假设，那么当时，为减函数，而，从而

14、当时0，即0. 综合得的取值范围为22.全国卷理22设函数证明：当时，；设当时，求a的取值范围【参考答案】【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握根底知识、根本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.23.全国卷文21函数fx=x-3ax+3x+1。设a=2，求fx的单调期间；设fx在区间2,3中至少有一个极值点，求a的取值范围。【分析】此题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、

15、极值及函数与方程的知识。1求出函数的导数，由导数大于0，可求得增区间，由导数小于0，可求得减区间。2求出函数的导数，在2，3内有极值，即为在2，3内有一个零点，即可根据，即可求出a的取值范围。【解析】式无解，式的解为， 因此的取值范围是.24.山东卷理22函数 当a时，讨论f(x)的单调性： 设g(x)=x2-2bx+4.当a=时，假设对任意x10，2，存在x2，使，求实数b的取值范围。【解析】()原函数的定义域为0，+，因为 =，所以当时，令得，所以此时函数在1，+上是增函数；在0，1上是减函数；当时，所以此时函数在0，+是减函数；当时，令=得，解得舍去，此时函数在1，+上是增函数；在0，1

16、上是减函数；当时，令=得，解得，此时函数在1，上是增函数；在0，1和+上是减函数；当时，令=得，解得，此时函数在1上是增函数；在0，和+上是减函数；当时，由于，令=得，可解得0，此时函数在0，1上是增函数；在1，+上是减函数。当时，在0，1上是减函数，在1，2上是增函数，所以对任意，有，又存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。1直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；2利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或别离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。标准答案本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等

17、价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。解：因为，所以 ，令 ， 当时，恒成立，此时，函数 在上单调递减； 当， 时，此时，函数单调递减； 时，此时，函数 单调递增； 时，此时，函数单调递减； 当时，由于， ，,此时，函数 单调递减； 时，此时，函数单调递增.综上所述：因为a=，由知，=1，=3，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在0，2上的最小值为。由于“对任意，存在，使等价于“在上的最小值不大于在0,2上的最小值*又=，所以当时，因为，此时与*矛盾当时，因为，同样与*矛盾当时，因为，解不等式8-4b，可得综上，b的取值范围是。25.山东卷文21函数i当时，求曲线在点

18、处的切线方程；ii当时，讨论的单调性.【解析】解： 当 因此， 即 曲线 又 所以曲线因为 ， 所以 ， 令 当a=0时，g(x)=-x+1，x0，+，所以 当x(0，1)时，g(x)>0，此时f(x)<0，函数f(x)单调递减当a0时，由f(x)=0，即 ax2-x+1=0, 解得 x1=1,x2=1/a-1 当a=1/2时，x1= x2, g(x)0恒成立，此时f(x)0，函数f(x)在0，+上单调递减; 当0<a<1/2时，1/2-1>1>0x(0，1)时，g(x)>0,此时f(x)<0,函数f(x)单调递减x(1，1/a-1)时，g(x)

19、>0,此时f(x)<o,函数f(x)单调递减x(1/a-1，+)时，g(x)>0，此时f(x)<o，函数f(x)单调递减 当a<0时，由于1/a-1<0,x(0,1)时，g(x)>0,此时f,(x)<0函数f(x)单调递减；x1 ，时，g(x)<0此时函数f,(x)<0单调递增。综上所述：当a 0 时，函数f(x)在0,1上单调递减;函数f(x)在 (1, +) 上单调递增当a=1/2时,函数f(x)在(0, + )上单调递减当0<a<1/2时，函数f(x)在0,1上单调递减；函数 f(x)在1,1/a

20、 -1上单调递增； 函数f(x)在1/a,+ 上单调递减。26.陕西卷理21函数fx=，gx=alnx，ar。假设曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值a的解析式；对2中的a和任意的a>0，b>0，证明： 解 1f(x)=,g(x)=(x>0),由得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为e2,e 切线的斜率为k=f(e2)= ,切线的方程为y-e=(x- e2).当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 < x&

21、lt; 时 h (x)<0，h(x)在0，上递减；当x>时，h (x)>0，h(x)在0，上递增。所以x>是h(x)在0， + 上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以 a=h()= 2a-aln=22当a     0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在0，+递增，无最小值。故 h(x) 的最小值 a的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)327.陕西卷文21函数fx=，gx=alnx，ar。假设曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有

22、相同的切线，求a的值及该切线的方程；设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值a的解析式；对2中的a，证明：当a0，+时， a1.解 1f(x)=,g(x)=(x>0),由得 =alnx，=， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为e2,e 切线的斜率为k=f(e2)= ,切线的方程为y-e=(x- e2).当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在0，上递减；当x>时，h (x)>0，h(x)在0，上递增。所以x>是h(x)在0， + 上的唯一极致点，且是极小值点

23、，从而也是h(x)的最小值点。所以 a=h()= 2a-aln=22当a     0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在0，+递增，无最小值。故 h(x) 的最小值 a的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)3由2知 a=2a(1-ln2a)那么  1a =-2ln2a，令 1a =0 解得 a =1/2当 0<a<1/2时， 1a >0，所以 a 在(0,1/2) 上递增当 a>1/2 时，  1a <

24、0，所以a 在 (1/2, +)上递减。所以a 在(0, +)处取得极大值1/2 =1因为a 在(0, +)上有且只有一个极致点，所以1/2=1也是a的最大值所当a属于 (0, +)时，总有a    130.天津卷理21函数求函数的单调区间和极值；函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，如果，且，证明【解析】解：f令f(x)=0,解得x=1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=证明：由题意可知g(x)=

25、f(2-x),得g(x)=(2-x)令f(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时，2x-2>0,从而(x)>0,从而函数fx在1,+)是增函数。又f(1)=f(x)>f(1)=0,即f(x)>g(x).)证明：1假设2假设根据12得由可知，>,那么=，所以>,从而>.因为，所以，又由可知函数f(x)在区间-，1内事增函数，所以>,即>2.31.天津卷文20函数fx=，其中a>0. 假设a=1，求曲线y=fx在点2，f2处的切线方程；假设在区间上，fx>0恒成立，求a的取值范围.【解析】解：当a=1时，fx=，f2=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=fx在点2，f2处的切线方程为y-3=6x-2，即y=6x-9.解：f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x=.以下分两种情况讨论：假设，当x变化时，f(x)，fx的变化情况如下表：x0f(x)+0-f(x)极大值当等价于，.假设a>2，那么.当x变化时，f(x),fx的变化情况如下表：x0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时