定积分的应用一十一

1、275第十章定积分的应用1平面图形的面积1. 求由抛物线y=x2与y=2-x6所围图形的面积.解 两曲线的交点是,所以所围的平面图形的面积为S(2 - x7) - x2dx=8.312. 求由曲线y = lnx与直线x=一，x=10, y=0所围图形的面10积10 1 10解S = J1|ln xdx = h (In x)dx + J In xdx10 101110=(xln xx)+(xln xx)11103.抛物线y2=2x把圆x2y28分成两部分，求这两部分面积解 抛物线y2=2x与圆x2y2=8的交点P(2,2),Q(2,-2),如图10-1 所示,抛物线y2=2x把圆分成s、S2两部

2、分，记它们的面积分 别为A2，则21-y2卫84A=8 -y2dy = 89 10仃cos20dT - = +2兀2兀所以A3=2A26羊9394A2=8二- A =82二=6,33276气2 1.寸3 3277图 10-24.求内摆线x二acos3t, y二asin3t(a 0)所围图形的面积10-2).解所围图形的面积a0s =40ydx =4二y(t)x(t)dt2= 12a J (sin4t -sin6t)dt3旧11-8 .5.求心形线r =a(1 cos)(a 0)所围图形的面积 解所围图形的面积为1,兀2兀22S=2r2(r)d =a2(1 cos)2dr2 j0$011.2 -

3、=oa (1 2c o s co s)dA、y /(如图6.解JJ-QA(2co s co 7)d7102232a.2求三叶形曲线r =asin3“a 0)所围图形的面积.如图 10-3 所示，所求的面积为1亡S =6 二a2n6a2sin23mr2 02787.求由曲线,|- a b解 曲线与x轴交点（a,0）,与 y 轴交点为（O,b）,y =所以，所求面积为S：（） AA=2ab：1-t）2tdt =ab.068.求由曲线x二t-t3,y =1-t4所围图形的面积.解 当-1,1时,x=0, y =0.故当t由-1变到 1 时,曲线从原点出 发到原点，构成了一个封闭曲线围成的平面图形，故

4、11CS =4 y t x t dt二斗1 t41 3t2dt二11-t4-3t23t6dt卫.4359.求二曲线 r =si 与r3 co所围公共部分的面积解如图 10-4 所示，解方程组/V b；bx !/a丿y=1（a,b 0）与坐标轴所围图形的面积.=a4S10-3279r =s in日j =V3cos9所围公共部分的面积31:sin r2d二IT百1cos23-02i ,3 cosJd v23TT321 cos2f -2d=23280-sin2二IL 2JI0 LRJI324410.求两椭圆2X2a2-y2=1(a 0,b 0)所围公共a部分的面积解如图 10-5 所示图形关于两坐标

5、轴对称，故只须求第一象限的 图形面积.在第一象限内，解得交点为（ab/ a2b2,ab/、：a2b2）又根据对称性，所求面积S =8S1,其中abarcsin=ab0(b、：1_务_x)dxb2 22221 a bta勺COS2tdto-2abbarcs in-2a2b2abbarcsi n -vab22 a2bab2ab 1 a2b2a2b22 a2b2所以,S = 4aba ar csiba b22812由平行截面面积求体积1.如图 10-6 所示，直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试求截得楔形体的体积解 如图 10-6 所示建立直角坐标系，则椭圆柱面的方程为，斜面的方程为2.求下列平

6、面曲线绕轴旋转所围成立体的体积(1)y =sinx，0Lx_;绕x轴；(2)x = a(t -sin t)，y = a(1 -cost)(a 0)，0 t -2二，绕x轴;r =a(1 cosE(a 0),绕极轴；10-61002X16用平面X =t截这个立体，得一长方形，其边长t-100，2，所以从而A(x) =4x；1100S1D-5-X2dx妙10032282已知球半径为 r,验证高为 h 的球缺体积V =yh2r - h汀I 3丿:_球缺体积可看作是曲线y =：r2- x2,r - h - x - r绕x轴2Xa2-占=1,绕y轴.b2.H 2兀兀7二osin xdx = o (1 -

7、 cos2x)dx1x-一s i 2x2 |L 2(2)V=兀 a2(1 cost)2d a(t sint)Tt 2JI0 _ 2= a22二3(1 cost) dt-02二23(1一3 cost 3 cos t -cos t) dt(3)r =a(1 +co 出)(aAO)是心脏线，而；x=a(1+cos)cos,ony =a(1 +c o 0) s i 0是心脏线极轴之上部分的参数方程，故2-TL2JT2V = j3吟dx - 2兀y dx10TT=a3* (sin3v 2sin3JCOS Jsin3vcos2r)(1 2cosv)dv8 a.3_原方程可写成x =a_1-y2/b2,所以

8、I 42dy a b.3V = J欣2dy =2 J兀a21-b2yb22.283| 213r_.2h ,；=/xx 1=砧丨r一一i.13山I 3丿4.求曲线x = acost,y=asin t所围平面图形(图 10-7)绕x轴 旋转所得立体的体积.a亠5.导出曲边梯形0空y空f(x),a空x岂b绕y轴旋转所得立体的体 积公式为bV=2二xf(x)dx.a证明用元素法和柱壳法证明本题.所谓柱壳法，就是把旋转体看 成是以y轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的(图 10-8),以此柱壳的体积作为体积元素.当 dx 很小时，此小柱壳的高可看作不变，即为圆 柱薄壳.旋转而得到的，所以体积为2 ,JI

9、r _h “ r _h r二二hr -hr2Vy dx =(r2-x2)dx解Vy2dx_af02633r=二a sin td(acos t)二-3a n323=a.105sin71 cos2tdtny尸血284在区间x, x dx上的柱壳体积，即体积元素dV =2x dx f(x) =2:xf(x)dx,于是旋转体体积bbV = dV =2二xf (x)dx.aa6.求0岂y ms in x,0岂x乞二所示平面图形绕y轴旋转所得立体的 体积.解曲线可分成两部分x = arcs in y,0 _ y _1x-二-arcsin y, 0 _ y _1用y二t截这个立体，其截面面积为A(t)二二(

10、専一ar csit# -( arcsti)n r:3-2二2arcst n即面积函数为A( y) _二3_2二2arcsin y,故1V =(二3-2二2arcsi ny)dy=2二2.-03平面曲线的弧长与曲率1.求下列曲线的弧长：3 (1)y =x2,0 _x _4;(2)x. y=1;33(3)x =acos t, y = asin t(a 0),0_t_2二；(4)x =a(cost t si nt), y=a(si nttcost)(a 0),0_t_2二；3日厲(5)r =asin (a 0),0上二上3二;3(6)r =a(a 0),0 0), 由于r(0)=2a.rl卫=asi

11、n v =0, r * = aCOS T卄=a.故它在 v -0 处的曲率为(2a f _2a(_a)3K-(2a23/24a曲率半径为R=14=a,K 3曲率圆的圆心在x轴上，半径为4a,方程为3(2af 2162x _y a.39*6.证明抛物线y =ax2 bx c在顶点处的曲率为最大 证 在点(x, y)处抛物线y二ax2bx c的曲率半径为1(1+y2)3/2(4a2x2+4abx + b2+1)3R(x)=一 =- - -=-k |y2|a|令f(x) =4a2x24a bx b21则f (x) =8a2x 4ab, f (x) =8a2故当xb时，f(-卫)=0, f (-) =

12、8a20,2a2a2a抛物线的顶点，故在此点抛物线y=ax2bx c的曲率为最大*7.求曲线y=ex上曲率最大的点 解由于yy”=ex,故曲率这时f(x)取得最小值，所以R(x)也最小,而点b2a4ac -b24a正是291xK= (1 A21dK _ex(1 _2e2x)(1 e2x)2dxInQ所以，x =-是稳定点，且当X :：-In、2时,k (x) 0;当2x -1 n 2时，k (x)：0，故k(x)在 x =-In -.2取得极大值,从而曲线 在点ln J2,处曲率最大.2I4旋转曲面的面积1.求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积:(1)(2)(4)解(1)根据旋转体侧面

13、积公式，得旋转曲面的面积为S = 2二sin x . 1 - cos2xdx =2二.2 ln(. 2 1). 0(2)旋转曲面的面积为S =2二y x2y2dt1 02：-:-二2二 a(1 -cost)：a2(1 -cost)2a2sin2tdt(3)因为x =a，-byb.所以旋转曲面的面积为(1 e2x)3y =sin x,0 _ x_ :,绕x轴；x =a(t -sint), y =a(1 -cost)(a 0),0t込2二,绕x轴;2 2 与,绕y轴；a bx2+(y a)2=r2(r a),绕x轴.292fbx(y)J1 +x&y)dy _b爭：b(二 b 时，2S =4

14、二ab =4二a，b 时，b时,S =2册a + b2arcs in-囂b2- a2b(4)此旋转体的表面可看作是由两个半圆一r _ x _r+：22y = a . r x22y = a _ . rx绕x轴旋转所得旋转曲面的面积S=2f (a+lr2_x2fl +dxJ: rx+ 2 i (a -1 r - x ).1J2X .22dxr - xr=4二a-4：rdx2 2 X-r2=4- ar.-p-x=4二ra arcsin -r2.设平面光滑曲线由极坐标方程r二r(),a _ _：a,卩-0,二！_0给出，试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式解因为x =r( 日Cos日y = r

15、v sin v2 2b )y dyS =2沏a +b2in& 一b2 a是293294x2i) -y2(扪=r2(扪r2所以S=2二r(d)si n r2(r) r2(力dx* a13试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积(1) 心形线r =a(1 cosv)(a0)；(2) 双纽线r2=2a2cos2v(a 0).解(1)把所给曲线化成以 二为参量的参量方程，x =a(1 cos COS Ty =a(1COST) sin v.据对称性和参量方程曲线旋转体表面积公式，S =2二y(r). x2(r) y2(力dr* 0=2二qa(1 co s)si n 2a322a.5(2)曲

16、线的参数方程为：x = ,2a2cos2v cosy = 2a2cos2r sin亠由曲线的对称性S=2 2叮42a2co昶si n=8 a2Jsin如-8(12)a2.5定积分在物理中的某些应用1.有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长为 10 米和 6 米, 高为20 米计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力2a2del是295解 建立如图 10-9 所示坐标系，过A(20,3),B(0,5)两点直线方程296y -5 x -0 x，即y5.3 -520 -010在微小区间x,x dx上的压力元素dP nx2y dx=2x(5血)dx.2020 xP = o dP = j 2x(5

17、 )dx=1466.7(吨)=1466.7X9.8=14374(kN).2.边长为a和b的矩形薄板，与液面成a（0 : a：90）角斜沉于 液体中，设 a b,长边平行于液面，上沿位于深 h 处,液体的比重为-.试 求薄板每侧所受的静压力解 建立如图 10-10 所示坐标系，设M为液平面，矩形薄板 ABCD 与液面成：角，短边AD所在直线与液面的交点 O 为坐标原点 O.OA 方向为x轴正向.由题设知：AB = a 在液体深 h 处与液面平行所以sin ，即OA，而OD =OA bhb.OAsi n。si na由于薄板沉于液体中，故它每面所受的压力大小相等，方向相反，现观察薄板上的小薄片所受压

18、力的压力元素.在AD上任一坐标为x的点x处与液面的距离为 xF .则 xF 二 xsin，压力元素为所以图 10-9是297dP =vxsin _：: adx= avsin _：: xdx .所以298旳1Ps（T-avsinj xdx abv（2h bsin :）.sin a23.直径为 6 米的一球浸入水中，其球心在水平面下10 米处，求球面上所受的静压力解 取x轴和y轴如图 10-11 所示，当:x很小时，球面从x到x的一层F上各点的压强等于水的比重1（吨/米2）乘以深度，而F上各点压强x（吨/米2）.F的面积、2二、32-（x -10）2.：x（米2）所以在AF上所受的压力P x 2-

19、 .32-（x -10）2 .：x（吨）从而dP =2 二 x 32-（x-10）2dx,于是P =2二7 x 32-（x -10）2dx =90二2（吨）=1108.35（kN）.即球面上所受的压力为90二2（吨）=1108.35（ kN ）.4.设在坐标轴的原点有一质量为m的质点,在区间a, a l 1 （a 0）上有一质量为M的均匀细杆试求质点与细杆之间的万有引 力解 建立如图 10-12 所示坐标系，WxHio-iiDr299则dfkM2dx所以第二个细杆对x , x dx 1的引力dx(x-x)2df2 c 2lkM dxc 2l+ df = f +dx(x -x)2E10-12取x

20、为积分变量，则x a, a l1.在la, a l上取区间X,x dx 1则这所以5.设有两条各长为 I 的均匀细杆在同一直线上，中间离开距离c, 每根细杆的质量为M.试求它们之间的万有引力.（提示:在第 4 题的基 础上再作一次积分.）解 建立如图10-13 所示坐标系，在两个均匀细杆上分别取x , x dx J和x,x dx两小段，设其质量都集中在点 x 和x上.8110-13一小段的细杆看作一质点，其质量为M dx.l从而df二. M k m dxl2xkmM4dx.xa ldfaa 1kmM 12dxal xkm Ma l1 , km Mdx=x a(a l)kMdxMdx(x-x2l

21、23006.设有半径为r的半圆形导线，均匀带电，电荷密度为、：，在圆心 处有一单位正电荷试求它们之间作用力的大小解 建立如图 10-14 所示坐标系，相应于小区间*I 上的微rdr kdrdf二k22kM dx11( ).I2c+l -x c+21 -x则第二个细杆对第一细杆引力lf df dx二nkM21)dxc 21-xl22L In(c l - x) In(c 21 - x )丨-In 虫 -oI2c(c十21)l2弧长ds二rd二， 把它看作一个质点力微元，它对圆心处的单位正电荷的作r301rr7.一个半球形（直径为 20 米）的容器内盛满了水试问把水抽尽 需作多少功？解 建立如图 1

22、0-15 所示坐标系，以球心为坐标原点，垂直向下为x轴的正方向，水平向右为y轴的正方向，把容器中的深度为 x 到x Ax 的一层水量T抽出容器所作功为.VW 则AW =x、AT的体积水的比重而.汀的体积：、二（102x2） .：x（米3）.水的比重为 1000（公斤/米3）,所以.W=1000 二 x（102-x2）.：x（公斤米）,dW =1000二x（102_x2）dx（公斤米）10W = 0 1000二X（102-X2）dx =25 二 105（公 斤米）8.长 10 米的铁索下垂于矿井中，已知铁索每米的质量为 8 千克,问将此铁索提出地面需作多少功？其中k为常数.由密度均匀和对称性知由

23、于dfy二dfsin二-:所求作用力分力fx=O,下求fyksinQr图 10-14即引力f的大小为经S10-15所以302解 取x轴正向为铁索的下垂方向，当厶 X 很小时，把 x 到x泳一段铁索提出地面所作的功为W :x 8 x（公斤米），即dW = 8xdx（公斤米）10于是W 8xdx = 4 0 0公斤米）=3920（千焦）.39.一物体在某介质中按x=ct作直线运动，介质的阻力与速度dx的平方成正比计算物体由 X = 0 移至X二a时克服介质阻力所作dt的功解 建立如图 10-16 所示坐标系，由题设条件知物体所受阻力0 x2S10-15f，则在小区间k，x +dx】上物体克服阻力所

24、作的Idt 丿dx 冃功：dW = fdx = k | dx dt 丿3dX22因为，x = ct.所以,3ct,dx = 3ct dt.dt于是dW =k9c2t43ct2dt =27c3kt6dt.1当X =0时,t =0;当 X 二 a 时, -3.2 丿a a,a3所以W dW fdx二c27c3kt6dtJ 0J 0J 072Bka3c3.710.半径为r的球体沉入水中，其比重与水相同试问将球体从中 捞出需作多少功？解建立如图 10-17 所示坐标系，将球从水中取出需作的功，相应于303将l-r,r 1上许多薄片都上提2r的高度时需作功之和在x处厚度为 dx的一小薄片，它由A提升到B

25、时,在水中行程为r x,在水上行程为2r(r x) =rx.由题得知，球的比重与水的比重相同，因此薄片所受浮力与重力合 为零.因此,此薄片在水中由A上升到水面时，提升力为 0,不作功，由水 面再上升到B时,克服重力作功dW = F S二mg(r - x) = (r - x) 1二y2(x)dx g3042 2=(r -x)二 g(r - x )dxr44从而W dW gr.”3* 6 定积分的近似计算2dx兰（将积分区间十1x等分）.解（1） 梯形法0.1 (0.750.9090.8330.7690.7140.6670.625 0.5380.556 0.526)=0.1 (0.75 6.187

26、) =0.6938.(2)抛物线法2dx112020202020201 h u 421x60 IL 221 233922 2438 1.5 4 6.929 2 6.187 1 600.6931 .1.分别用梯形法和抛物线法近似计算2蚁丄3.101x 10 41110+ 卡1210193052.用抛物线法近似计算二目x（分别将积分区间二等分、0 x等分、六等分）.解 n =2 时，n =4 时,3061 48s in二旦si n竺 亘s in竺|83二85二81.8522.n =6 时,二sinx=二彳，12 .二2 212 . 5二12 . 7二dx 14 sinsinsin -0 x 36

27、|-12二5二127二124. 212. 1仁o33、323 33亠亠sin23二211二12二2二二4二5二10-16解由公式：bb -a |J f (x)dx =-騙+y2n+4(y1+y3+y2nJ) +a6n2d +y4 + +y2n得截面面积为：8S.0 0 4(0.50 1.30 2.00 1.20 0.55)5 62(0.85 1.65 1.75 0.85)44(4 5.55 2 5.1)(22.2 10.2)1515=8.64(米2)./2/28517 .3.图 10-18 所示为河道某一截面图，试由测得数据用抛物线法求 截面面积.3074.下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温30824一258+23.0+24.1+25.6+27.3+30.212 2+33.4+35.0+33.8+31.1+2