定积分应用历年真题集锦

1、定积分的应用（一）平面图形的面积1.1.求曲线y二x2 3与直线y = x 2所围成的平面图形的面积. .（19901990 年）229【解答】S = )(x 2) - x dx = 2 2.已知曲线y=a._x,a.0与y = nE在点(x0,y0)处有公共切线如图,（1 1）求a的值与切点坐标；（2 2）两曲线与x轴所围成的平面图形的面积 S.(1994S.(1994 年) )【解答】在该点既相交又相切（纵坐标相等；斜率相等）a x0=4 n気x0=y0a11(1)(1)由题意知|尸i,得耳二丄 J.J.(ajx)：仝=(l nJx)2jx2収井解得a二L,1=1n忑即有a，切点为（e,1

2、）;,x012 .（2 2）选取y作为积分变量，则有S = J （e2y-e2y2）dy=e-. .o6 23.3. 在曲线y = x2,x_0上某点 A A 作一切线，使之与曲线以及x轴所围 成的平面图形的面积为 丄，试求（1 1）切点坐标；（2 2）过切点 A A 的切线12方程. .（19881988 年）【解答】切点坐标为（1 1, 1 1）,切线方程为y = 2x-1.4.4. 设曲线 J :y = 1 - x2,0空x乞1与两坐标轴所围成的平面区域被曲 线L2: ax2分为面积相等的两部分，其中a为大于零的常数，试确 定常数a2 2Sz（1 - ）= a =33（1 +a4列出F(

3、x) = -xJ f (x)dx, ,并验证它所满足的罗尔定理的条件；的值. .（19911991 年）1【解答】S=严（1-x2-ax2）dx,S = J0（1-x2）dx = S1P1P 则有5.5. 设曲线y=ex 0，试在曲线上找一点使过该点的切线与两坐标 轴所围成的平面区域面积最大，并求出该面积 . .(19921992 年)【解答】设切点为P(a,e)，则过该点的切线斜率为e，切线方程为y e =-e (xa)； 切线与两坐标轴分别交于(0,(1 a)和(1a,0)；从而求得sJ(1a)15e=S(a)，求得驻点为 1 1, 1 1 (舍去). .2所求点为(1,e)，面积为2eJ

4、.6.6. 设 y y = =f (X)是0,1上的任一非负连续函数，(1)(1)证明存在一(0,1)使得在0,上以f()为高的矩形面积等于,1上以y二f(x)为曲边的曲边梯形的面积； 若y二f (x)在(0,1)内可导且(x x 厂2f(x), ,证明是唯一的. .X X(19981998 年数一 6 6 分) )难度 0.28,0.28,区分度 0.43(11)0.43(11)【考查知识点】x(本题核心) ) 证明F (x)的单调性，从而证明满足F (x)=0=0 的 的唯一性. .11提示: :要证巴f C)=花f (x)dx, ,设 F(x)F(x) = = - -x xf fxf f

5、 (x)dx(x)dx以微分中值定理作为解题主要理论依据的题在考研中经常出现，本题也属此类, ,但以积分形式出现，有新意. .(1)(1)根据题目描述的几何意义，列出欲求的应满足的式子; ;1f ( ) f (x)dx7.7.设曲线极坐标方程为亍二eaa 0)，则该曲线上相应于二从 0 0 变到2二的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 丄一1). .4a(20032003 年数学二填空)【分析】在极坐标系下，由曲线r =r(r)，直线 v - 及 v -所围成的 平面图形的面积为1/栄，于是有A(e)2 =-2e2%”22 o2 o8 8位于曲线y二xe(0乞x： ：)下方，x轴上方的无界图形的

6、面积是 1.1. ( 20022002 年数学二填空)【分析】这是无穷区间上的广义积分的几何应用题，所求面积用广义 积分表示为. .0 0，xedx；本题难度值为 0.800.80，区分度为 0.450.45，属于 第 V V 类试题. .9.(20019.(2001 年数学二) )设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x,y)(x . 0)到 坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L过点1(2,0). .(1)(1)求曲线L的方程；(2)(2)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴 所围图形的面积最小. .【分析】第一问显然是解微分方程的定解问题，其中关键是列出

7、微分 方程Vy xy; ;第二问是最值问题，关键是写出图形面积的表达 式. .本题得分率较低，一个主要的错误是对截距的理解，写成了y -xy, , 这样往下就不好做了 . .本题难度值为 0.35,0.35,区分度为 0.55,0.55,属于 V V 类. .e x兰010.10. 设F(x)= I ，S S 表示夹在x轴与曲线y = F(x)之间的面积，e , x a 0对于任意的t0,0,S(t)表示矩形-t xt, F(t)的面积. .求 S(t)S(t)二 S S - - S(t)S(t)的表达式与最小值.(2004.(2004 年数学四) )【分析】画出 S,S,Si(t)的图形，然

8、后建立它们的表达式：矩形面积S(t) = 2tet，计算 S=1S=1 要用到无穷积分，建立S(t) = S-S(t)的 表达式；(这就考察了考生能否把一个实际问题转化为数学问题的综合能力) 最后应用函数导数与函数极值的关系定理求出S S 的最小值. .(在计算过程中考察了考生对无穷积分敛散性的概念是否理解及计 算无穷积分的能力，同时也考察了考生是否会求函数的最小值. .)【解答】(I)(I) , ,3(t) =2ted= S(t) =1-2te2,t(0,：)1(II)(II)S(t) 2(1-2t)e竺t石是唯一驻点0 t ,S(t)：0;t ,S(t) 0可知，t二-，S(t)为极小值。

9、或2 2 2S”(t) =8(1-t)e s sC.。二訳円-1为极小值也是最小值. .2 e2 e11.11. 已知抛物线y = px2 qx(其中p：0,q 0)在第一象限内与直线x y =5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.S.问p和q为何值时，S S 达到最大值？求出此最大值. .(20012001 年数学三)【分析】这是一道综合了微分与积分等概念的题目 . .利用定积分求出 S S的面积S(p,q)，再利用抛物线与直线相切的条件，确定p和q的关 系，从而将求 S(p,q)S(p,q)的极值化为一元函数极值问题. .本题难度值为 0.540.54，区分度为 0.550.

10、55，属于第 V V 类试题. .【解答】依题意知，抛物线如图所示，求得它与x轴的交点横坐标q为捲=0, x2=-q二面积S = ip( px2qx)dxp0因直线与抛物线相切，故它们有唯一公共点. .由方程组 得px2(q T)x - 5 = 0，其判别式必等于零，因而有 p 二需(1 q)2. .33从而得到讯)=誥厂S(q)=型叫解得驻点q=3当0：q：3时，S(q) 0;当q 3时，S (q)：0.于是当q=3时，S(q)取得极大值，即最大值. .此时p4，从而最大值为S煜(二) 平面曲线的弧长1.1.设位于第一象限的曲线y二f(x)过点(丄)，其上任一点P(x,y)处的2 2法线与y

11、轴的交点为 Q,Q,且线段 PQPQ 被x轴平分. .(1)(1)求曲线y =f(x)的方程; ;(2)(2)已知曲线y=sinx在0,二上的弧长为l,试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.(2003(2003 年数学二) )【分析】本题是微分方程与定积分几何应用题，涉及内容有曲线的法 线, ,一阶微分方程求解，定积分几何应用等. .根据已知条件求出曲线y =f (x)的方程以及用定积分表示曲线y =si nx在0,二上的弧长都是基 本要求. .但由于y = f(x)是椭圆位于第一象限的部分，其弧长以及3q6p2.x十y = 5,2丄 川=px + qx,23( q 1)y =sinx在0,二上

12、的弧长l都是算不出来的，故需通过定积分的换元法找到I与S之间的关系. .主要错误是没有弄明白第二问的题意, ,不写出I = 2；lrS莓dx的表兀 _ _2J sin2二dr找出与I的关系，当然就无从下手0了. .【解答】(1 1)曲线y = f (x)在点P(x, y)处的法线方程为1丫-y=(X-X)，其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. .令 X=0,X=0,则yxx xx x丫二y，故 Q Q 点的坐标为(0,(0,y y ).).由题设知 y y y y o o，yy yy y即2ydy xdx 7,积分得x22y2= C(C C 为任意常数). .曲线过点(空,)，因此可得 C=

13、1,C=1,故曲线的方程为x22y1. .2 2(2(2)曲线y =sin x在0,二上的弧长为 I I = = 2 22coscos2xdxxdx ；1 - _二x1 - sin在.20- 1 2作变量代换八，则汗石补-边皿 2.2. (2(2 001001 年数学二) )设讹)是抛物线yx上任一点M(x,y) (x_1)处的曲率半径，S=s(x)是该抛物线上介于点 A(1,1)A(1,1)与 M M 之间的弧长, ,计算/-( )2的值.(.(在直角坐标系下曲率公式为 k=k=) )ds ds(1+y2)?达式, ,便试图从曲线y = sinx的参数方程为/x =COST,y冷曲,2.2.

14、12故s二2，sin:-cos d =【分析】曲率半径T(x)与弧长S = s(x)都是 x x 的函数，所以求d与ds监即是参数方程求导. .ds【解答】由y1,y$2仮4反J(4x 1)2；2抛物线上AM的弧长为d-本题得分率只有 40%40%究其原因是不少考生没有弄清题意, ,不知道求 什么; ;其次, ,虽然给出曲率的一般公式( (目的是减少考生背公式的数量) )但仍然有不少考生不知道曲率半径为曲率的倒数，从而无从下手解本题难度为 0.51,0.51,区分度为 0.57,0.57,属于 V V 类试题. .3 3.设曲线 L L 的极坐标方程为r=r(R,M(r,R为 L L 上任意一

15、点，M0(2,0)为 L L 上一定点. .若极径OM,OM与曲线 L L 所围的曲边扇形面积等于 L L 上M0,M两点间弧长值的一半，求曲线方程. .(19971997 年数学二)所以抛物线在点M(x,y)处的曲率半径论)十(1 y2)2由参数方程求导公式得Hx；dxds2dsdx从而3写_(匚)2=9.9.ds2 ds(三) 旋转体的体积1 1.平面图形 A A 由x2y2x及y=x所确定，求 A A 绕x=2旋转一周的旋转体体积.(1993.(1993 年数学二,9,9 分) ) 2 2. 求由曲线y=3x21与x轴所围成的封闭图形绕y=3旋转一周的旋转体体积.(1994.(1994

16、年数学二,9,9 分) )(四)综合题目1 1 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y = ln x及x轴围成 平面图形 D,D,求 D D 的面积 A;A;求 D D 绕x二e旋转一周所得旋转体的体积V.(2003V.(2003 年数学一) )【分析】本题考察切线方程的求法；平面图形的面积；旋转体的体积 等基础知识，比较容易. .【解答】设切点为(x0,ln x0)，切线斜率为y二丄，Xo切线方程为y =ln Xo-丄(x -Xo). .Xo以(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)代入得xo二e. .于是切点为(e,1)，切线方程为x二ey. .(1)面积A= J0(ey-e

17、y)dy = *-1.115(2)体积V (e -ey)2dy-奏(e -ey)2dy =(5e2T2e 3)006【典型错误】本题第一问的解答情况很好，绝大多数考生都能够得到正确的面积值 只有少数考生将面积写成A = o(ey-e)dy；第二问的考试结果比预想的要差，从解答情况上看，旋转轴不是坐标 轴并不是出错的主要原因，错误多数是因为用错了体积公式，如将公、 、1、1式写成V (ey -ey)2dy，或V(e - ey) - (e - ey)2dy这说明有些考生仍然只是死记公式， 并不了解公式的来历，从而也没有真正理解公式中各部分的意义. .2.2. 求曲线 y y = = x x2 2-

18、2x-2x，与直线 x x = = 1,x1,x = = 3 3 以及x轴所围成的平面图形 面积为 S,S,并求该平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体体积V.(1997V.(1997 年数学四)s=2;)s=2;x_x3.3. (2004(2004 年数学二) )曲线y = 与直线x = O,x=t(tO)及y = 0围成2一曲线梯形，该曲线梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t), , 侧面积为S(t), ,在x=t处的底面积为F(t).(l).(l)求皱的值；(11)(11)计算极V(t)可求誥及计算问琵(丨)S(t)二02二y.、1 y2dx=2二 (S(t)F(t)【分析】 分别写

19、出旋转体的体积, ,侧面积以及底面积，不必积分，便x_xe e2)dx, ,2也=2.=2.V(t)x- -(I(IF(t)lim叫limt r：F(t)tX X2二(-)2dxS 2d+e2二(丁 )2=1 1 .x丄一xte十e2V (t)(- ) dx二2考查知识点求解旋转体的体积，侧面积, ,底面积即定积分在几何上 的应用部分内容，主要错误是有一些考生对旋转体体积 ，侧面积的公 式的来龙去脉不了解，死记硬背，因而常常会出现错误. .设直线y二ax与抛物线y二X2所围成的平面图形面积为Si, ,它们与直线x=1所围成的平面图形面积为S，且a1, ( 1 1)试求a的值使S1S2达到最小值；(2 2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得 旋转体的体积. .(？)3.3.有一平底容器，其内侧壁是由曲线x-：(y) (y_0)绕 y y