湖南省高三数学新高考解析几何题型与方法专题分析

1、学习必备欢迎下载解析几何问题的题型与方法考试要求 ：（ 1）能根据已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线与圆的方程，并能利用直线和圆的方程来研究有关的问题 .(2)了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.（ 3）掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念。能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程并画出方程所表示的曲线。(4) 掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质。了解圆锥曲线的一此实际应用。(5) 了解用坐标法及向量法研究几何问题的思想，掌握利用方程研究曲线性质的方法高考解析几何试题一般占35分左右，命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空

2、题考查直线、圆、圆锥曲线的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，曲线与方程的关系和轨迹，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法 ，这一点值得注意。教学过程：一、基础训练：1若过原点的直线与圆x2+ y2+ 4x +3=0 相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ C）A y3xB y3xC y3 xD y3 x332椭圆 x2y 21 ( a>b>0) 离心率为3, 则双曲线 x 2y2 1的离心率为（ B）a 2b 22a 2b2A 5B 5C 2D 542343若动点 (,y)抛物线 y

3、=4x2上的一点到焦点的距离为，则点的纵坐标是xM( B )1715M71B .C.D . 0A .168164已知定点 A、 B 且|AB|=4 ，动点 P满足 |PA| |PB|=3 ，则 |PA| 的最小值是（ C）A. 1B. 3C. 7D.5222x 225. 若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是 (215 ,0), 则椭圆的标准方程是y801206已知直线 yx 1与椭圆 mx2ny21 (mn0) 相交于 A, B 两点，若弦 AB 中点的横坐标为1，则双曲线3x2y21的两条渐近线夹角的正切值是4m2n23二、例题分析：例 1、已知双曲线x 2y 21的离心率 e23，

4、过 A(a,0), B(0,b) 的直线到原点的距离是3.a 2b232（ 1）求双曲线的方程；（ 2）已知直线 ykx5(k0)交双曲线于不同的点C， D且 C，D都在以 B为圆心的圆上，求k 的值 .1 的距离 dabab3解：（ 1） c23,原点到直线 AB： xya 2b 2c2. .a3abb1, a3 .故所求双曲线方程为x 2y 21 .33k 2 ) x2（ 2）把 ykx5 代入 x 23y 23 中消去 y，整理得 (130kx780 .设 C( x1 , y1), D ( x2 , y2 ), CD的中点是 E (x0 , y0 ) ，则学习必备欢迎下载x 1x 215

5、 k5x 0213 k 2 y 0kx 0 51 3 k 2 ,k BEy 011 .x 0kx0ky0k0,即15 k5 kk0 , 又 k0 ,k27故所求±7 .13 k 213 k 2k=说明： 为了求出 k 的值 ,需要通过消元 ,想法设法建构k 的方程 . 直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用0 来处理但有时用0 来判断圆锥曲线相交问题是不可靠的解决这类问题：方法1，由“ 0”与直观图形相结合；方法2，由“ 0”与根与系数关系相结合。例 2、直线 l 过抛物线 y 22 px( p0) 的焦点，且与抛物线相交于A(x1 , y1 )和 B( x2 , y2

6、) 两点 .（ 1）求证： 4x1 x2p 2 ;（ 2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线 l不是 CD的垂直平分线 .解 :（ 1）易求得抛物线的焦点F(P,0).2P2若 l x 轴，则 l的方程为xP.,显然 x1x242P 2P 2若 l 不垂直于 x 轴，可设y k( xP, 代入抛物线方程整理得x2P (12P) x.)k 240, 则 x1 x2p2 .24综上可知4x1 x2（ 2）设 C ( c2,c), D( d2d ，则 CD的垂直平分线 l的方程为cdcdc2d2, d)且c( x)y22 p4 p2 p2 p假设 l 过 F，则 0cdcd ( pc2d

7、2) 整理得22 p24 p(cd )(2 p 2c 2d 2 )0p02 p 2c2d 20 ，cd0.这时 l的方程为y=0，从而 l与抛物线 y 22 px 只相交于原点 .而 l与抛物线有两个不同的交点，因此 l与 l不重合， l 不是 CD的垂直平分线 .说明： 此题是课本题的深化，课本是高考试题的生长点，复习要重视课本。解本题时，不要忽略对 l x 轴这一特殊情形的讨论。例 3、已知过动点（a， 0）且斜率为 1 的直线l与抛物线22(0) 交于不同的两点、 MyppxA B（）若 | AB |2 p,求 a 的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交AB于点 Q，交 x 轴于点 N

8、，试求 RtMNQ 的面积解：（）直线 l 的方程为： yxa ，将y xa代入 y 22 px ， 得 x22(a p) xa20 设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，4( ap)24a 2则x1x22( ax1 x2a2 .又 y1x1 a, y2x20,p),a ，|AB|( x1x2 ) 2( y1y2 ) 22( x1x2 ) 24x1 x2 8 p( p2a) 0 |AB|2 p, 8 p( p2a) 0 ， 08 p( p2a)2 p pap（）设解得24Q( x3 , y3 ) ，由中点坐标公式，得x1x2ap ，y

9、3y1y2 ( x1a) ( x2a)p x3222|QM |2( a p a) 2( p 0)22 p 2 学习必备欢迎下载又MNQ 为等腰直角三角形，SMNQ1|QM |2p2 说2明： 弦长求法是圆锥曲线的典型问题，设圆锥曲线Cf(x ， y)=0 与直线 l y=kx+b 相交于 A(x1 ， y1)、B(x 2， y2)两点，则弦长 |AB| 为：(2) 若弦 AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|例 4、已知圆 ( x+4) 2+y2=25 的圆心为M1，圆 ( x4) 2+y2=1 的圆心为M2，一动圆与这两个圆都外切.（ 1）求动圆圆心P 的轨

10、迹方程；（ 2）若过点 M2 的直线与（ 1）中所求轨迹有两个交点A、 B，求 |AM1| · |BM1| 的取值范围 .解：（ 1） |PM1|-5=|PM 2|-1， |PM1| - |PM 2|=4c=4， a=2， b2=12，动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、 M2 为焦点的双曲线的右支。故所求轨迹方程为x 2y2=1（ x 2）。412（ 2）当过 M 的直线倾斜角不等于时，设其斜率为k，22直线方程为 y=k(x-4) ， 与双曲线3x2-y 2-12=0 联立，消去 y 化简得 (3-k2)x 2+8k2x-16k 2-12=0又设 A(x 1， y1) ， B(x2，

11、 y2) ， x1>0，x2>0x 1x28 k 20k 23由解得 k 2>3。16 k212x 1 x02k2364 k 416 (3 k 2 )( 4 k 23) 0由双曲线左准线方程x=-1且 e=2，有 |AM1| · |BM1|=e|x 1+1| · e|x 2 +1|=4x1x2+(x 1+x2)+116k 2128k 2+1)=100+3362-3>0 ， |AM1| × |BM1|>100=4(3+ kk2k23k 2 3又当直线倾斜角等于时， A(4 ， y1) ， B(4 ， y2) ， |AM1|=|BM 1|

12、=e(4+1)=10|AM | · |BM |=1002故 |AM | ·|BM | 100。1111说明 ：与圆锥曲线有关问题的解决要灵活运用圆锥曲线的定义和几何性质例 5、 已知中心在原点的双曲线 C的右焦点为 (2,0) ，右顶点为 ( 3,0) 。(1) 求双曲线 C的方程；(2)若直线 l ： ykx2与双曲线 C恒有两个不同的交点 A 和 B，且 OA OB2 ( 其中 O为原点 ) ，求 k的取值范围。x2y21(a0, b0).解：（）设双曲线方程为2b2a故双曲线 C 的方程为 x2由已知得 a3,c2,再由 a 2b222 ,得 b21.y 21.3（）

13、将 ykx2代入 x2y 21得(13k 2 )x 26 2kx90.3由直线 l 与双曲线交于不同的两点得13k 20,(62k) 236(13k 2 )36(1k2 ) 0.即 k 21 且 k 21. 设 A( xA , yA ), B( xB , yB ) ，则3学习必备欢迎下载xA xB6 2k2, xA xB92 ,由OA OB2得 x A xByA yB2,13k13k(k2而 xA xByA yBxA xB(kxA2)( kxB2)1)xA xB2k(xAxB ) 2(k21)962k23k 273k 22k3k 23k 2.111于是 3k272,即 3k 290, 解此不等

14、式得1k 23.3k213k213由、得1k 21.故 k 的取值范围为 (1,3)( 3 ,1).333说明 ：向量数量积的坐标表示，构建起向量与解析几何的密切关系，使向量与解析几何融为一体。例 6、已知椭圆 x2y 21(ab0) 的长、短轴端点分别为A、 B，从此椭圆上一点M向 x 轴作垂线，恰好通过a 2b2椭圆的左焦点F1，向量 AB 与 OM 是共线向量。（ 1）求椭圆的离心率e；（ 2）设 Q是椭圆上任意一点，F1 、 F2 分别是左、右焦点，求F1QF 2的取值范围；解：（ 1） F1 (c,0), 则 xMc, yMb 2， kOMb2。aac kABb , OM 与 AB

15、是共线向量，b 2b ， b=c, 故 e2。aaca2FQ1r1 , F2Q r2 , F1 QF2,（ 2）设r1r22a, F1F22c,r12r224c2(r1r2 )22r1 r24c2a2a210cos2r1 r22r1r21r1r2r1r2)2(2当且仅当 r1r2 时， cos =0， 0, 。2说明 ：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题。例 7、 已知 M： x

16、2( y2)21,Q是 x 轴上的动点， QA， QB分别切 M于 A， B 两点。（1）如果 | AB |42，求直线 MQ的方程；3（ 2）求动弦AB的中点 P 的轨迹方程 .解:（1）由|AB|4 2，可得|MP|MA|2(| AB|)212(2 2)21,由射影定理，得|MB |23233|MP | |MQ |,得|MQ| 3,在 Rt MOQ中，|OQ| |MQ|2 |MO|232225 ， 故a或a5，5所以直线 MQ方程是2x5 y250或 2x5 y25 0;（ 2）连接 MB， MQ，设 P(x, y), Q (a,0), 由点 M， P， Q在一直线上，得2y 2 , (*

17、)由射影定理得 | MB |2 | MP | | MQ |,ax即 x 2( y 2) 2a 24 1, (*) 把（ * ）及（ * ）消去 a，学习必备欢迎下载并注意到 y2 ，可得 x2( y7) 21 ( y 2).416说明： 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在；求轨迹方程时，要注意检验结论的纯粹性与完备性。例 8、点 A、B 分别是椭圆 x 2y 21长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，3620PAPF 。（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）设 M是椭圆长轴AB上的一点， M到直线 AP 的距离等于 | MB | ，求椭圆上的点到点

18、M的距离 d 的最小值。解 : （ 1）由已知可得点 A( 6,0),F(0,4)设点 P( x , y), 则 AP =（ x +6,y ） ,FP =（ x 4,y ）, 由已知可得x2y213620y2( x6)( x4)0则 2 x2+9 x 18=0,x =3 或 x = 6.由于 y >0, 只能 x = 3, 于是 y = 5 3 .222点 P 的坐标是 (3,53)22(2)直线 AP的方程是 x 3 y +6=0.设点 M( m ,0),m 6.于是m 6则 M到直线 AP 的距离是2= m 6 , 又 6 m 6, 解得 m =2.(x, y )Md2椭圆上的点到点

19、有的距离d 2( x 2) 2y2x 4x24 20 5 x24 ( x 9 )215,992由于 6 m 6,当 x = 9 时 ,d 取得最小值152说明： 在解析几何中求最值：一是建立函数关系，利用代数方法求出相应的最值；再是利用圆锥曲线的几何性质或者曲线的参数方程求最值。例 9、在 Rt ABC中， CAB 90°，AB 2，AC2，一曲线 E 过 C点，动点 P在曲线 E 上运动，且保持 | PA | | PB |2的值不变（ 1）建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；（ 2）直线 l ： yxt 与曲线 E交于 M，N两点，求四边形MANB的面积的最大值解: （1）以AB为

20、x轴，以中点为原点O建立直角坐标系AB| PA| | PB| |CA| |CB |222( 2)22 2 ，22动点轨迹为椭圆，且a2 ， c1，从而 b 1 方程为x2y 21 2（ 2）将yt代入 x2y21，得3242220设（，）、 （，），xxy1y22tx tMx1N x216t243( 2t22)，0x1x24t ，由得 t 233x1 x22t 223学习必备欢迎下载12226SMANB| AB | y1 y2 | | y1 y2| | x1 x2 |6 2t t 0时，S23大3例 10、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yx2 上异于坐标原点的两不同动点、满足AOBO

21、（如图所示）（）求AOB 得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（）AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由yABxOxx1x23解：（ I ）设 AOB的重心为 G(x,y),A(x1,y ),B(x2,y2), 则（ 1）1y1y2y31 , 即 x1 x2 OA OB kOAkOBy1 y21， (2)又点 A， B 在抛物线上，有y1x12 , y2x22，代入（ 2）化简得 x1 x21 yy1 y21( x12x22 )1( x1x2 )22x1 x2 1(3x) 223x223332333所以重心为 G的轨迹方程为 y3x 21131（II）

22、 SAOB| OA|OB |(x2y2 )(x2y2 )x2 x2x2 y2x2 y2y2 y2221122212122112由（I）得S AOB1x16x26212x16x26212(1)621212222当且仅当 x16x26即 x1x21 时，等号成立。所以AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1。说明： 求轨迹方程是近几年高考的热门问题，直接法、定义法、转移法、参数法（交轨问题）是最常见的方法。例 11、已知方向向量为v(1,3)的直线 l过点（ 0, 23 ）和椭圆 C : x2y21(ab 0) 的焦点，且椭圆 ClC 的右准线上 .a2b 2的中心关于直线的对称点在椭圆（）求椭圆

23、C 的方程；（）是否存在过点E（ 2， 0）的直线 m交椭圆 C 于点 M、 N，满足 OM ON46 cot MON 0（ O为原点） .m的方程；若不存在，请说明理由 .3若存在，求直线（ I ）解：直线解得l : y3x 3 3 ， 过原点垂直 l 的直线方程为 y3 x ， 3 .3x2椭圆中心（ 0， 0）关于直线 l 的对称点在椭圆a 223C 的右准线上，3.c2直线 l 过椭圆焦点，该焦点坐标为（2， 0）.学习必备欢迎下载c 2,a 2 6, b2 2. 故椭圆 C的方程为（ II ）设 M（ x1 , y1 ）， N（ x2 , y2 ） .当直线 m不垂直 x 轴时，直线

24、m : yk( x(3k 21) x212k 2 x12k 26 0,x1x212k 2, x1 x212k 263k 23k 2,11| MN | 1 k2( x1x2 ) 24x1 x21 k2x 2y21. 6 22) 代入，整理得(12k 2) 24 12k 262 6(1k2 ) ,3k 213k213k 21点 O到直线 MN的距离 d| 2k |1k2OM ON46 cotMON , 即 | OM | | ON | cosMON46 cosMON0,33sinMON| OM | |ON |sinMON46 ,S OMN26. | MN | d46,333即 46 | k |k 2

25、14 6(3k21).整理得 k21 ,k3 .3233当直线 m垂直 x 轴时，也满足SOMN6 .3故直线 m的方程为 y3x23 ,33或 y3 x2 3 , 或 x2.33经检验上述直线均满足OMON0 . 所以所求直线方程为y3 x23 ,33或 y3 x2 3 , 或 x2.33说明： 存在性问题是解析几何中常见的问题，一般是以假设存在为条件，进而获得结论。例 12、设 A、 B 是椭圆 3x2y 2上的两点，点N（ 1，3）是线段 AB的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点.（）确定的取值范围，并求直线AB的方程；（）试判断是否存在这样的，使得 A、 B、 C、 D 四点在同一个圆上？并说明理由.（ I ）解法 1：依题意，可设直线AB的方程为 yk ( x1)3, 代入 3x 2y2，整理得(k 23) x 22k(k 3)x (k 3) 20.设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), 则x1 , x2是方程 的两个不同的根，4 (k 23)3(k3)2 0 且 x1x22k( k3) .由N (1,3)是线段 AB的中点，得 x1x21,k (k3)k 23.k