陈爱军深入浅出通信原理

1、很多原理一旦上升为理论，常常伴随着繁杂的数学推导，很简单的本质反而被一大堆公式淹没，通信原理因此让很多人望而却步非常复杂的公式背后很可能隐藏了简单的道理真正学好通信原理，关键是要透过公式看本质。信号与系统、数字信号处理中很多复杂的公式其本质都是很简单的，我们可以通过图、动画等方式更好、更透彻地理解这些公式和原理，而不是仅仅局限于会套用这些公式（我大学毕业时就是这个水平，相信很多人和我一样）这个帖子面向的主要是非通信专业和通信专业在大学没真正学明白的人（我就是这样的人，不是我不想学明白，大学里老师讲的太抽象了，很难理解），大部分人对 希尔伯特空间”没有什么概念，所以虽然你能用上述理论将傅立叶级数

2、讲得很简单，但大部分人无法理解和接受。，深入浅出通信原理”就是希望用尽可能少的公式推导和大量的图片，让大家真正理解通信原理。虽然这样有时候会显得啰嗦，但对大部分读者来讲是只有好处没有坏处的。以复傅立叶系数为例，很多人都只是会套公式计算，真正理解其含义的人不多。对于经常出现的“负频率”，真正理解的人就更少了。复傅立叶级数展开式共亡）二二C/网，可以将雉）理解成由一系列旋转向量合成的信号，各旋转向量的初始位置（严格来讲是t=o时刻所在的位置）就是复傅立叶系数4 .回出三维频谱图如下图所示工连载1:从多项式乘法讲起连载2 :卷积的表达式连载3： 利用 matlab 计算卷积连载4：将信号表示成多项式

3、的形式连载5：著名的欧拉公式连载6：利用卷积计算两个信号的乘积连载7：信号的傅立叶级数展开连载8：时域信号相乘相当于频域卷积连载9：用余弦信号合成方波信号连载10： 傅立叶级数展开的定义连载11 ： 如何把信号展开成复指数信号之和？连载12： 复傅立叶系数连载13： 实信号频谱的共轭对称性连载14： 复指数信号的物理意义旋转向量连载15： 余弦信号的三维频谱图连载16： 正弦信号的三维频谱图连载17： 两个旋转向量合成余弦信号的动画连载18： 周期信号的三维频谱图连载19： 复数乘法的几何意义连载20： 用成对的旋转向量合成实信号连载21 ： 利用李萨育图形认识复信号连载22： 实信号和复信号

4、的波形对比连载23： 利用欧拉公式理解虚数连载24： IQ 信号是不是复信号？连载25: IQ解调原理连载26:用复数运算实现正交解调连载27:为什么要对信号进行调制？连载28: IQ调制为什么被称为正交调制？连载29:三角函数的正交性连载30: OFDME交频分复用连载31 : OFDMB调连载32: CDM冲的正交码连载33: CDMA勺最基本原理连载34:什么是PSK调制？连载35:如何用IQ调制实现QPS侬制？连载36: QPS侬制信号的时域波形连载37: QPS侬制的星座图连载38: QPSK勺映射关系可以随意定吗？连载39:如何使用IQ调制实现8PSK?连载1 :从多项式乘法说起多

5、项式乘法相信我们每个人都会做：(jc +1)(/ + 2x + 5) = (x3 + 2x3 + 5x)+ (x2 + 2工 + 5) = d + 3x2 + 7x + 5不知道大家想过没有：相乘的两个多项式系数和结果多项式系数之间是什么关系？.上面结果多项式式中d的系数L f的系数3,工的系数7常数项5*通过先逐项相乘再合并同类项的方法得到的，要得到结果多项式中的某个系数，需要两步操作才行， 有没有办法一步操作就可以得到一个系数呢？F面的计算方法就可以做到:k 4- 15±2迎+ 4£=> 4x + 15 + 2乂 +:?2，+ 3 = 3 /=> 31x +

6、 15 + 2x +Q5x+ 2x = 7x7sx + 15 4- 2x -F x25l= 5这种计算方法总结起来就是：x的升募排列反褶：一般多项式都是按 x的降募排列，这里将其中一个多项式的各项按平移：将按x的升募排列的多项式每次向右平移一个项。相乘：垂直对齐的项分别相乘。求和：相乘的各结果相加。反褶、平移、相乘、求和-这就是通信原理中最常用的一个概念“ 卷积”的计算过程。连载2:卷积的表达式多项式瓦+1的系数武1) a(0)= 1 Ip多项式1 +2/+ 5的系数bb"0)=12 5卜二者相乘所得的多项式二十3/ +7x + 5的系数c(3) c(2) c(l) c(O»

7、;l 3 7 5)利用上面的计算方法，我们很容易得到:c(0)=a(0)b(0)c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)c(2)=a(0)b(2)+a(1)b(1)+a(2)b(0)c(3)=a(0)b(3)+a(1)b(2)+a(2)b(1)+a(3)b(0)其中：a(3)=a(2)=b(3)=0在上面的基础上推广一下：假定两个多项式白系数分别为a(n) , n=0n1和b(n) , n=0n2 ,这两个多项式相乘所得的多项式系数为c(n),则:c(0)=a(0)b(0)c(1)=a(0)b(1)+a(1)b(0)c(2)=a(0)b(2)+a(1)b(1)+a(2)b(0)c(3)=a

8、(0)b(3)+a(1)b(2)+a(2)b(1)+a(3)b(0)c(4)=a(0)b(4)+a(1)b(3)+a(2)b(2)+a(3)b(1)+a(4)b(0)以此类推可以得到：= 2 值-k)."二 0 z 1 + m2) 比司上面这个式子就是 a(n)和b(n)的卷积表达式。通常我们把a(n)和b(n)的卷积记为：a(n)*b(n)，其中的*表示卷积运算符。连载3:利用matlab计算卷积表面上看，卷积的计算公式很复杂，计算过程也很麻烦(反褶，平移，相乘，求和)，实际上使用Matlab很容易计算。以上面的a(n) = 1 1 , b(n) = 1 2 5的卷积计算为例：&g

9、t; > a = 1 1;> > b = 1 2 5;> > c = conv(a,b);>> cc =1 3 7 5后面很多地方的讲解都会用到matlab,没用过matlab的同学，请到网上下载个matlab 7.0,安装后，将上面前4行内容拷贝到命令窗口中执行，即可得到上面的执行结果。为了更好地理解卷积(多项式相乘，相当于系数卷积)，我们用 matlab画一下高中学过的杨辉三角。杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1其中每一横行

10、都表示(a+b)An (此处n=1, 2, 3, 4, 5, 6, ?想开式中的系数。杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1 组成的， 而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。>> x=1 1;y=1 1;>> yy =1 1>> y=conv(x,y)y =1 2 1>> y=conv(x,y)y =1 3 3 1>> y=conv(x,y)y =1 4 6 4 1>> y=conv(x,y)y =1 5 10 10 5 1>> y=conv(x,y)y =1 6 15 20 15 6 1连载 4：将

11、信号表示成多项式的形式多项式乘法给了我们启发：如果信号可以分解为类似多项式的这种形式：叼1 + &工+曲，同时满足工羽=/(月外)，则两个信号相乘的结果就可以通过卷积计算 出来.注；之所以强调/=75%),是因为频谱分析时通常关心各频率成分的大小(任何一个同期信号者5可以表示为多个频率分量之和：直流分量，基波分量(角频率% = 2班)， 2次谐波分量(角频率为2稣),3次谐波分量(角频率为34)，等等)，所以我们希望多 项式中的各项是冏处的函数勺“存不存在满足这个条件的 x呢？前人早就给出了答案，那就是：x = /(4) = cos /t + j siii ,我们可以简单验算一下：&q

12、uot;x2 =(eos/t +=cosa at-sin2 j2sin 卬 cos %-cosiaf + J$ii】2期= /Q%)x3 = (cos2/£ + j sin 2 )(cos+./ sin a)=cos 20rcos一 sin 2g/51d i2V + j(sin cqs2/£ + cos / tsin 2 /力=cos30f+ jsin3 婚=/G 叫)附：前面推导过程中用到的几个三角公式：sincl+B)= sinocosP + cosctsinp+'cos (ct+ p) = cosotc口那一 sinotsin1令B = %可得一sin2a,=

13、 2sinacosa:-cos2a= cos2cf令0 = 2%可得sin3a,= sinotjcos2a+ cosasm2o>cos3(x= cosctcos2at- smcts m2 (jl-连载5:著名的欧拉公式对于工二cos%±十/31冲"欧拉给出了一个更简洁的表达形式2x = cos 豌t + jsin-e叱'-这就是著名的欧拉公式。对于欧拉公式，大家知道结论就可以了，想知道怎么得来的同学请参考下面的证明欧拉公式的证明（利用泰勒级数展开）：2341 =l + z + + 2!3!4!=1+ / + (2 +2!（户尸斗。以斗。工）'+ 031

14、111-1=1十j% - 2!x2 x41+ 3!4!45 百X X X?, 1- J3!4!£ /X.2!4!6!6!J- 5!6!7!357XXX=cos 工 4- j sin 工式申用到了，246XXXCOS H=1+72!4!6!357.XXXsmx = x1b -+'3!5!7!连载6:利用卷积计算两个信号的乘积下面我们举个具体的例子来体会一下“如果信号可以分解为类似多项式的这种形式：吁2 +平十 % ,同时满足/=/（*%）,则两个信号相乘的结果就可以通过卷积计算假定有如下两个信号和虱加，f(t) = (cos 2ot + 5cosoi + 6) + j(siii

15、2at + 5 siii at)(t) - (3 cos at + 2) + j3siii 3 力按照一般的方法计算这两个信号相乘:+/(t) = (cos2*r + 5 cos at + 6) + j(siii5 sin 必)(3 cos at + 2) + j3 sin 同会涉及一系列的三角函数公式，计算过程非常麻烦。 具体的计算过程这里就不列了，大家可以试一下，看看有多麻烦。如果我们把信号时和区都表示成的形式：叱/(t) = (cosli + 5 cos*t + 6) + y(siii2rf+ 5 sin 底尸产" + 5电芦 + 6 =龌)"+ 5(电加)+ 6g(

16、t) = (3cos*i + 2) + j3 sill At - 3(/")4 2 :令工= /",则；小/C) = / +5x4-6g(t) = 3x 十 2 d7(f) = f (t)g(t)=(工上 + 5工 + 6)(3x + 2) = 3x3 +171+ 28x +12 * '注；结果中的系数可以通过卷积计算出来；"5,6 * 3,2 = 3, 17, 2& 12卜再将工二/代回去；了=- %二曲十17E门前十25 +1 2，连载7：信号的傅立叶级数展开上面这种把信号表示成形式类似于多项式的方法，本质上就是傅里叶级数展开，多项式中各项的系

17、数实际就是傅里叶系数：-K»立 =-cc其中Q就是傅里叶系数0 口/。)= /加+依,前+6 Vg(t) =3/依 + 2 y(t) = 3它力描 +17级口源 4-28 + 12*以频率为横轴，傅里叶系数为纵轴，画出的图就是频谱图。 ''2w角频率幅度* 2H 17前面我们已经知道:3, 17, 28, 12 = 1, 5, 6 * 3, 2 因此很容易得出:时域相乘，相当于频域卷积从上面的描述我们可以得知：为了获得两个信号哨和则在时域相乘的结果y(tK(t)gQ 我们可以先分析这两个信号的频谱耳口和应口卜再对这两个信号的频谱微卷积，得到乘枳信 号的频谱yn=fn，

18、可，将各频谱分量y何乘以对应的E冲血再相加就可以得到时域的乘积信 号y(t)=Zyn苏*取 * *j时域频域44106 今M鼠t)g呼y(t)=f(t)g(t)一y止则，1卜上面这段话，简单说就是“时域信号相乘，相当于领域做卷积:注意；当我们说频城的时候，我们说的只是频谱，也就是*户皿前的系数，不包括名内欣本身.普药.谱分量乘以卅位的浮.再相加十眨程至时域的信号。连载9:用余弦信号合成方波信号前面为了利用卷积，我们将信号表示成了多项式的形式，用多个复指数信号合成我们所需的信号为了更好地理解多个复指数信号合成所需信号，我们先来看一下用多个余弦信号合成方波信号的过程。直流分量叠加一个 cos(x)

19、余弦分量：y=0.5+0.637.*cos(x);再叠力口一个 cos(3x)余弦分量：y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.*cos(3*x);再叠力口一个 cos(5x)余弦分量：y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.*cos(3*x)+0.127.*cos(5*x);周期函数醺，周期为T,展成M立吐级数为1裂/二+ E 回£0£上3” + b克sink与力*2 Sg = gT2 *r/aak = /(t)cos0td?r (k = 0, 1, 2t T * -r/22/r m t= | /(t)siiikc/dt (k=l, 2, )T *

20、 -r / 2傅立叶级数展开的定义告诉我们：口周期函数Rt）可以分解为：直流分量CaQ ; 2 ）,余弦分量（与c小左3），正弦分量（4疝】以由Q,其中与，然都可以通过上面的公式计算出来（至于与、线的计算公式是如何得来的，暂时不需要考虑），简单的周期函数直接就可以看出来，例如f （t） = cos %九 % = 0 , / = 1, b=。山f （才）=Siltl= 0 , G = 0 , b = 1 u连载11:如何把信号展开成复指数信号之和?前面我们已经把信号展开成了直流分量、余弦分量和正弦分量之和，可是如何把信号展开成复指数信号之和呢？很容易想到前面介绍过的,把£尔与85版和s

21、in底联系起来的欧拉公式:泮 =cosAJt 4- j sill at从这个公式可以推出：一cos at 二（ejar + 日一）/ 2sta£fcr= （* -虐一阿）二-（/就-尸” 2/2将上述公式代入前面的傅立叶级数展开式中,我们就可以得到一个很简洁的复指数形式的傅立叶展开式。建议大家动手推导推导，这样可以加深印象cos上知 + bk sir成处亡）二"+Ld呼+包5印）-也（/卬-。*）221=T +%-也）产, + g +也）”四二争+生向-泡11+：£ k+也-=-也）,如 +Z 9% + j晨）/由r / 上=iL2 上=-1!_/即；川+8效）=

22、£心/板其中：”方=02%=、a-也）上= 1,2,/JHF= 1,2,%从原理上讲，只要我们能够得到队和线，我们就能够计算得出7 0连载12:复傅立叶系数+8这个式子就是复揖数形式的傅立叶级数展开式：/(o= z 上一8其中染就是复傅立叶系数。"以周期信号f 0) = cos知和/0) = sin阳为例，我们初步认识一下复傅里叶系数。/()= cos 应t : 实傅立叶系数：。0 = 0 , % = 1,仇=0 小复傅立叶系数： 根据心画出频谱如下：d幅度0. 5相位f(t尸COS 3 t的频谱/（t）= sili 豌 t ； 实博立叶系数；曲=0, ，=0,年=1 一复

23、傅立叶系数；Ct = J.句=一工一 22根据.画出频谱如下：幅度A0,51角频率-304J相位JIn /2 7 知频率 -s()仆一五/2t的频谱连载13:实信号频谱的共腕对称性根据前面Q的表达式和正余弦信号的频谱图，你有没有发现k为负的部分和k为正的部分是什么关系？答案只有2个字：共扼。，k= 1, 2, 3,d-k = -l, -2, -3,以-k替代k代入q表达式中最下面那行，得：“1 z7、ck = -(ak+jbk) 因为：V1/人,%=54-也)“* 1ck = -(k + jbk)p所以。=靖(4的共扼)这个结论告诉我们：对于实信号1/Q) = + V (czi cosh&qu

24、ot; + bk siiM铀t),将其展开 2 k=i4<o为指数形式的博立叶辘时，热)=£%产,k为正值情况下的凄与k为负值情况下的i="<o凄是互为共扼的：模相等，相位相反。为了更好地理解上面的飞频谱，这里复习一下复数的模和相位的定义假定复数C=G +乃（其中胃和3都是实数）的模为r,相佳为，一连载13:实信号频谱的共腕对称性根据前面外的表达式和正余弦信号的频谱图，你有没有发现k为负的部分和k为正的部 分是什么关系？答案只有2个字，共扼,卡k = 1, 2, 3,/-k = -l, -2, -3,以上替代k代入q表达式中最下面那行，得；，1, 小。二不做+

25、J母）¥因为；央工 一%工；（臃一曲）第二;（外+ J瓦卜所以j二崎（q的共扼）/这个结论告诉我们工对于实信号I/Q）=血+工（% COS上冲十瓦疝1方豌t）,将其展开Jt=l为指数形式的傅立叶级数时，/（0=工c比/珈二k为正值情况下的4与k为负值情况下的i=-cc力是互为共扼的i模相等，相位相反口一连载15:余弦信号的三维频谱图我们来回顾一下周期信号/（力=COS"才的复傅立叶系数:/中+/呼它的频谱我们在前面己画过:幅度0, 5角频率机位希班率-Jr /2f(t>=cost> t 的频谱结合/S的物理意义,我们可以将幅度一频谱医和相位一频谱图画在同一张三维

26、的频谱 图中，这样我们可以把傅立叶系数的含义看得更清楚些：阵由为实轴，蚌由为虚轴，4由为频 率轴，所有初始位置的向量就构成了信号的复傅酬系数。一例：/G)= cos勺/的三维频谱图f(t) = cosgt = Je'卬 + 0-'卬40时刻，两个向量的位置如上图所示，注意这两个向量就是/(t)= cos时/的复傅立十系数。之后，3= /处的向量以角速度逆时针瓣I； 3=-4处的向量以角速度/顺 时针旋转。这两个旋转向量合成的结果正好就是余弦信号，如下图所示。，注意时刻两个向量的位置（初始位置）在实轴上，也就是说的复傅立叶系数是先I乱#连载16:正弦信号的三维频谱图例，ft） =

27、 4方的三维频谱图，小）=sin舔=上以卬-1）=_广如|= _，网+户如 2J222t=0时刻，两个向量的位置如上图所示，注意这两个向量就是/© =工口 1的复傅立叶 系数。之后，出=/处的向量以角速度逆时针瓣出=-%处的向量以角速度/顺 时针旋转“3这两个旋转向量合成的结果正好就是正弦信号，如下图所示。一虚轴注意0时刻两个向量的位置（初始位置）在虚轴上,也就是说/（t）=由"土的复博立叶系数是虚数。，连载17:两个旋转向量合成余弦信号的动画附件动画演示的是：两个旋转方向相反的向量合成余弦信号。这个动画是利用 MATLABm乍并转成.avi文件的。方法没掌握好，动画的生成

28、（转存为avi文件）花了不少于半小时的时间。请matlab高手指点一下。谢谢！横轴是实轴，纵轴是虚轴。连杆代表向量，连杆首尾相连代表向量相加，连杆的末端所经过的轨迹就是合成的信号。初始位置的连杆代表的向量就是信号的复傅立叶系数。Fil6DVi Insert Tools Windrow Help口昌 RA/&O连杆末谴下载地址-KO复指教形式的傅立叶级数展开式；仅）=工鹏恒七二ro可以将埼）理解成由一系列旋转向量合成的信号，初始位置（严格来讲是CU时刻所在的 位置）的各疑向量就是复傅立叶系数H以谢为频率轴，将北画在它二上明处的复平面上，得到三轴谱图，如下图所示,33023G-2*i*03

29、 i*>o组成班）的各旋转向量/其中蓝色的向量就是40时刻的旋转向量，即填）的复傅立叶系数.注意：上面三维频谱图对应的母）是个实信号，其三维须借中正频率部分的向量和负频 率部分的向量共辄对称。“连载19:复数乘法的几何意义对于复揖教形式的傅立叶级数展开式中的：白/卬，不知道大家真正理解没有？，暂且认为有人不清楚，我们一起来分析一下。，事实上，白产卬就是两个复数乘，因为：凄是个复数(也可能是个实数或侬D , *卬=cos左密+ j sin左密也是个复数。"如何理解复数相乘呢？，考虑两个一般的复数：Zl，Z2，假定："4 =8/同=(COSg 4- Jsil】g)u-2

30、=5(c°s 弓 + J sin g) 0下面我们来计算一下Z1和Z2的乘积：NR? = reJr2eJ =怔此)如果觉得不好接受，我们这样来计算：，ZR =(cosg + jsin 4)与(cos g + j sing)= &.(cosg+ Jsing)(cosg + J sing)=G.(cosq cos. - sin.sing) + J (sing cosg + cosg sing)“=.cos(q + 4 ) + / sin(4 + g )=*/(0地)总结一下，就是：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐 角的和。/在复平面上，复数对应向量，上

31、面的描述可以改成：两个向量相乘，积的模等于各向 量模的积，积触角等于各向量的辐角的和。，具体到您产卬：，ck ：就是一个一般的向量。“/啊"初始位置位于实轴上、模为1、旋转角速度为左飞的旋转向量。，这两个向量相乘，得到的是：以展代表的向量为初始位置、模为KI、旋转角速度为上气的旋转向量。如下图所示：展代表的向量记为f,o a 厂i / 1=-1i：> X51O? ） / / / : V J / z+J40时刻，力/9就是向量f （黑色）；打 t时刻，产邓旋转到红色向量位置.,也连载20:用成对的旋转向量合成实信号在上述周期信号的三缎须情图中，沿着式由的反方向看过去, 向里可以合

32、并为一个向里！/虚轴 AE "，由*加）/2/ Z /ks ： V °Q实轴'f“一 L。- jbJ/2方维处和一酸用处的两个注：图中蓝色的向量即代表复傅立叶系数，即t=0时刻旋转向量所在的位置。注意两点：1、由于初始相位关于实轴对称，旋转角速度相同，旋转方向相反，合并后的旋转向量只在实轴上有分量，在虚轴上没有分量。得到这样的结论是因为：我们分析的信号本身是实信号。2、正负频率对应的复傅立叶系数合并，是向量相加，不是简单的幅度相加。从前面的分析来看，虽然我们通过复傅立叶级数展开将实信号分解为了一系列的旋转向量之和（由此引出了复数， 使得实信号的表达式中出现了复数），

33、但由于逆时针和顺时针旋转的向量成对出现，而且成对出现的旋转向量的初始相位关于实轴对称，旋转的角速度相同，旋转方向相反,所以这些旋转向量合成的结果最终还是一个实信号（只在实轴上有分量，虚轴上的分量相互抵消掉了）。连载21:利用李萨育图形认识复信号通过前面的讲解，我们对实周期信号及其频谱有了一定的认识。很多人会想到这个问题：如何理解复信号？我们来回忆一下物理中学过的李萨育图形：当我们使用互相成谐波频率关系的两个信号分别作为X和Y偏转信号送入示波器时，这两个信号分别在X轴、Y轴方向同时作用于电子束而描绘出稳定的图形，这些稳定的图形就叫“李萨育图形”，如下图所示:第一个图；x = cos(2jffi)

34、,y = sin(2外黄)山电子束在示波器屏幕(复平面)上的运动轨迹;f(t) = cos(2jrjf) + j sin(2r如)=/'寸, 我们已经很熟悉的旋转向量！这实质上就是一个复信号；因为这个信号不只是在实轴(讳由) 上有分量，在虚轴(蚌由)上也有分量I “第二个图：x = cos(2网声),y = sin(4ry?)电子束在示波器屏幕(复平面)上的运动轨迹：f (t) = cos(2-j) + j §in(4k#卜第三个图1x 4。5(24/),尸-siii(6才戈)下电子束在示波器屏幕(复平面)上的运动轨迹；,=co$(2升/) + jsiii(6/r声)。第四个

35、图；x = cos(2"fi),y = sin(87Tjf)，电子束在示波器屏幕(复平面)上的运动轨迹；Jt) = cos(2jt/) + jsin(8jT)*第五个图；x = cosQ网用)，了工+电子束在示波器屏幕(复平面)上的运动轨迹f(t) = cos(27rfi) + j sinflOjr)+,附：画出李萨育图形的matlab程序for f=1 :5 ;t=0:0.001:1000;x= cos (2*pi*t);y= sin (2*pi*f*t);subplot(1,5,f) ；plot(x,y);axis off;end连载22:实信号和复信号的波形对比在下面两弓K图中

36、：x轴(实轴)、y轴(虚轴)所在的平面是复平面，t轴(时间轴)垂直于复平面。上图为实信号f(t)=cos(2犯峨形图。下图为复信号f(t)=cos(2 jtt)+jsin(2的波修图对比这两张图,而复信号在复平面很容易得出：实信号在复平面上投影时只有实轴方向有分量, 上投影时实轴和虚轴方向都有分量。t=0:0.001:10;x=cos(2*pi*t);subplot(2,1,1);plot3(x,t,0*t);set(gca,'YDir','reverse');grid on;x=cos(2*pi*t);y=sin(2*pi*t);subplot(2,1,2);

37、plot3(x,t,y);set(gca,'YDir','reverse');grid on;再看一个复信号，该信号在复平面上的投影就是前面介绍过的李萨育图形中的第2张图。t=0:0.001:10;x=cos(2*pi*t);y=sin(4*pi*t);plot3(x,t,y);set(gca,'YDir','reverse');grid on;连载23:利用欧拉公式理解虚数用到复数的地方都会涉及到虚数“j”。数学中的虚数一般用“ i”表示，而物理中一般用“j”表示，物理中之所以不用“ i”表示虚数，主要是因为物理中经常用“i”表

38、示电流。如果追溯起来，在高中的时候我们就学过虚数了。具体说来，我们第一次接触虚数应该是在解一元三次方程的时候。已知,9-2/ +工-2 = 0裂求；工小解由：4* - 2工2+ / - 2, = Q +,得工*Jx2 (x - 2) + x - 2 = (x 2)(y +1) = 0 -由：x 2 = 0得二X - 2 (实根)。由；工*+1 = 0, / =-1小得工=±1 (虚根)感觉高中的课本就是为了给/ = "一个解，才定义了虚数 其裁为/口 至于虚 数有什么物理意义就不得而知了0按我们TS的理解；一个数和它自己相乘，应该得到一 个正数才对，例如，2乂2=4, (-

39、1) X (-1) =1.为什么虚数和自己相乘会得-1呢？-虚数刚被提出时，也曾经困扰了很裁学家，被大家认为是“虚稗缈的数”，直至欧 拉发现“欧拉公式”后，人们才对虚数的物理意义有了清晰的认识。一下面我们来看看如何利用欧拉公式理解信心欧拉公式：e" = cos6+j sin6”令 6 = C, 得：= cos + j sin = j222j =意味着：虚数j在复平面上对应了一个单位向量，该单位向量位于瞭上。一逆川也出出90暝COS如何理解虚数的平方，即/ =-1呢？方根据前面讲过的“两个向量相乘,积的模等于各向量模的积，枳的辐用等于各向量的辐角的和，“我们很容易得出；向量与厂产相乘，

40、相当于将向量逆时针*0度据此，实数1逆时针蟀90度（乘以j）得到虚数j QxJ二j），虚数j再逆时针旋转90度（乘以J）就得到了实数/ （Jxj' = / =-1）,如下图所小：+,连载24: IQ信号是不是复信号?我们先来看看什么是1Q信号，IQ信号与1Q调制有关，IQ调制也叫正交调制，其调制原理如下:©潞和Q路分别输入两个数据露% 潞信号与恒£雁士相乘，。恪信号与sin相乘，之后再叠加（通常Q路在叠加时会乘以-1）,输出信号为2 s,it） = a cos-ishi ,这个过程我们称之为IQ调制，也叫正交调制。"席却图以j f逆时针族朴苗剂D切赳实敷1

41、s=*ms wci h输入正交调制器的信号一般被称为IQ信号，经常用复数来表示.吐jb,对应复平面上的 一个点，因此1Q信号通常被大家称为“复信号' 如果再将与邮数据相乘的cos供/和与Q 路数据相乘的sin%t表示为：/邮二cos + ；sin用如这样IQ调制就可以利用复数乘 法来实现：4ajb QQ 取实部 汶(J ) -a cos 3 rj b s i n 3(|i.Rcj(2 4- jb)严;=Re；(2 4-j6)(cosA10t + j sill t)J=Re；(acos At-6siii dwot) + j(icost 4- ami=a cos与1P - b疝】知值得注意

42、的是；在IQ调制过程中出现的信号捻b，cos/hsin 与士以及最终输出的信号式t) = d COSt-isill全部都是实信号，只是在实现过程中我们把相关的信号表示为连载25: IQ解调原理IQ解调原理如下图所示:接收雌到跑后，分为两路，一路乘以COS口t再积分，就可以得到象+,2严2严门.=| (a cos- b sin ct) cos adt2 产w2,=| a cos /t b sin 期 cos 函)康 丁 j - r / a+ co s 2/t) - sin 2 4t fdt2另一路乘以-沏或再积分，就可以得到b: 一2.亍LJ(7m处)出2 产 n.二下| rn(a cosef

43、+ hsinct)sin adt2 产 n. 2二亍I 了式一口sin/tco写却十8dli空t)出2 "门 a .b一 cos2卬）小='f -(sin2ftit) + -(l7皿2" 2、2 b=一" 一 1 DT 2其中 T=2n/M+J注意.上面用到了m2。困cos25ot在-T/2, T区间内积分为0。这是很显然的，如下 图所示，黄色部分面枳（横轴上方的面积取正，青由下方的面积取负）的代数为0*t=-l：0.00l：l;f=l；y=cos(2*pi*2*f*t);subplot(1,2,1);plot(t,y);y=sin(2*pi*2*f*t)

44、;subplot(1,2,2);plot(t,y);连载26:用复数运算实现正交解调引入复数运算实现正交调制和解调的原理工升jh-* a+jb调制在前面已生饼过了，这里看一下解调。，接收信号与一卬相乘，再积分，就可以将壮jb解调出来：cos jb sin 件1)(cqs 组 t - j sin 碗 t)dt(a cos2h + j(6sin' 曰 sin 飞亡 cos a)dta r (1 + cos、b，i j ，产时 b山+ J.LmSQ-cos 2 %)-2(aT .bTy+ J TV 2 J 2)+ b注意：对复数进行积分运算就是时实部和虚部分别进行积分运算.回到前面的正交调制

45、解调原理框图，如果我们把调制、信道传输、解调过程看作一个黑箱，那么在发送端送入黑箱的复信号被原封不动地传送到了接收端，表面上我们实现了复信号的发送和接收，实质上在信道上传输的是实信号s(t)=a cos 3 0t b sin w 0t。连载27:为什么要对信号进行调制？无线通信系统是用空间辐射的方式传送信号的，由电磁波理论可以知道：天线尺寸为被 辐射信号波长的十分之一或更大些，信号才能被有效地辐射。“以语音信号为例。人能听见的声音频率范围为2DHz20kHz,假定我们要以无线通信的方式直接发送一个频率为10kHz的单音信号出去。，3 xl08m / s10xl03/s该单音信号的波长为：， =

46、30bn 其中C：为光速，一般认为电磁波在空间的传播速度等于光速。，f:为信号的频率。V如果不经过调制直接在空间发生这个单音信号，需要的天线尺寸至少要几公里！实际上 根本不可能制造这样的天线。/调制过程将信号频谱搬移到任何所需的较高频率范围,这样就很容易以电磁波形式将信 号辐射出去。6x（f）同时，通过调制把不同的信号频谱搬移到不同的频率范围内，也就实现了频分多躇复用 （FDM）。.X连载28: IQ调制为什么被称为正交调制？讲了半天IQ调制，还没说为什么这种调制方法又被称为“正交”调制呢？答案是：因为IQ信号被调制到了一对正交的载波上。前面我们已经看到了，IQ调制用的载波一个是余弦波，另一个

47、是正弦波。为什么说余弦波和正弦波是正交的呢？0。即:这是因为正弦波和余弦波满足如下两个条件:1）正弦波和余弦波的乘积在一个周期内的积分等于|白 cos gt sin dtdt = 0这个是显而易见的，因为:M1 丁门, , sin Z&itdt = 0 *j2 -Tf2 u2）正弦波,余弦波与自身的乘积在一个周期内的积分大于心一,2 fmi /延二亍.，Q+co$2即城2,2型 COSAlf COSCEltat - cos71-v u t-r/isin /sin odt = f T ,sm.2 j 2 产 1 占 ，12T.m atat = | (1 cos2a)at 二 Iv7P *

48、 一 22注：其中仙2口用lcos2ot在-172, T区间内积分为0,我们在连载25中日空讲过了钎正因为正弦波和余弦波满足了正交的2个条件，所以经它们调制的1Q信号到了接收端才 能被分别解调出来。建议大桑吉合刚刚讲的正弦波和余强波之间的正交性再复习一下前面讲 的正交解调，这样理解会更深刻些 连载29:三角函数的正交性田只是正弦函数和余弦函数之间具有正交性，如下的三角函数之间也具备这种正交性口1.余弦函数的正交性卡在余弦函数集合;cos铀t” cos 2cos3/才，中：“0任何一个余弦函数的平方在基凝期内积分大于零、一 r 了 2|却产0£/豌1 cow/gtdt >0 ,基

49、波周期丁 = 2tt./以cos2oV为例，其觎图如下所示：客§2g20§2铀才的波形图如下：在基波周期内求积分就是求下面黄色部分的面积，很显然大于零。裂2）任何两个余弦函数的乘积在基波周期内积分等于零：一 ,2Icos用gtcos力3漆立=0 ,基波周期丁 = 24/铀-J-J72以cos2gt和cosB/jt为例，cos3线t波形图如下所示：coscos 331的波形图如下:在基波周期内求积分就是求下面黄色部分的面积（蚌由下面的面积要取负值），很显然等于零。，)Figure Ro. 1酊|fB区E>1« Edit Yis insert odl 幺 findov 削 Ip 口今。昌 k A Z