（整理版）诸暨市牌头中学高中数学《向量与三角形“四心”》同步练习

1、“四心同步练习一、四心的概念介绍1重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；2垂心高线的交点：高线与对应边垂直；3内心角平分线的交点内切圆的圆心：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；4外心中垂线的交点外接圆的圆心：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合1是的重心.2为的垂心.3设,是三角形的三条边长，o是abc的内心为的内心.4为的外心。例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，那么点的轨迹一定通过的 a外心 b内心 c重心 d垂心例2：03全国理4是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，那么点的轨迹一定通过的 a外心 b内心 c重心 d垂心例3：

2、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，那么点的轨迹一定通过的 a外心 b内心 c重心 d垂心练习题：1、三个顶点及平面内一点，满足，假设实数满足：，那么的值为 a2 b c3 d62、假设的外接圆的圆心为o，半径为1，那么( )a b0 c1 d3、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，假设，那么是的 a外心 b内心 c重心 d垂心 4、非零向量与满足(+)·=0且·= , 那么abc为 ( )a三边均不相等的三角形 b直角三角形 c等腰非等边三角形 d等边三角形5、三个顶点，假设，那么为 a等腰三角形 b等腰直角三角形 c直角三角形 d既非等腰又非直角三

3、角形6、a、b、c是平面上不共线的三点，o是三角形abc的重心，动点p满足,那么点p一定为三角形abc的 a、ab边中线的中点 b、ab边中线的三等分点非重心 c、重心 d、ab边的中点7、abc，p为三角形所在平面上的一点，且点p满足：，那么p点为三角形的 外心 内心 c 重心 d 垂心      8、在abc中，动点p满足：，那么p点轨迹一定通过abc的 外心 内心 c 重心 d 垂心9、的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，那么实数m = 10、点o是所在平面内的一点，满足，那么点o是的 a、三个内角的角平分线的交点b、三条边的垂直平分线的交

4、点c三条中线的交点d三条高的交点11、点o在abc内部，且有，那么oab与obc的面积之比为 12、假设 abc 内接于以o为圆心，1为半径的圆，且 ，那么 的值为 (a) (b) (c) (d) 13、设g为的重心，那么的值= . 14、为的外心，为钝角，是边的中点，那么的值 15、o为abc的外心，假设，且32x25y25，那么 16、o是abc的外心，ab=2，ac=3，x+2y=1()，假设那么 班级： 向量与三角形的“四心一、四心的概念介绍1重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；2垂心高线的交点：高线与对应边垂直；3内心角平分线的交点内切圆的圆心：角平分线上的任意点到角两边的距离

5、相等；4外心中垂线的交点外接圆的圆心：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合1是的重心.2为的垂心.3设,是三角形的三条边长，o是abc的内心为的内心.4为的外心。例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，那么点的轨迹一定通过的 c a外心 b内心 c重心 d垂心例2：03全国理4是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，那么点的轨迹一定通过的 b a外心 b内心 c重心 d垂心例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，那么点的轨迹一定通过的 d a外心 b内心 c重心 d垂心练习题：1、三个顶点及平面内一点，满足，假设实数满足：，那

6、么的值为 c a2 b c3 d62、假设的外接圆的圆心为o，半径为1，那么( d )a b0 c1 d3、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，假设，那么是的 a外心 b内心 c重心 d垂心 d 4、非零向量与满足(+)·=0且·= , 那么abc为 ( d )a三边均不相等的三角形 b直角三角形 c等腰非等边三角形 d等边三角形5、三个顶点，假设，那么为 c a等腰三角形 b等腰直角三角形 c直角三角形 d既非等腰又非直角三角形6、a、b、c是平面上不共线的三点，o是三角形abc的重心，动点p满足,那么点p一定为三角形abc的 b a、ab边中线的中点 b、ab边中线

7、的三等分点非重心 c、重心 d、ab边的中点7、abc，p为三角形所在平面上的一点，且点p满足：，那么p点为三角形的 外心 内心 c 重心 d 垂心    b  8、在abc中，动点p满足：，那么p点轨迹一定通过abc的 a 外心 内心 c 重心 d 垂心9、的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，那么实数m = 1 10、点o是所在平面内的一点，满足，那么点o是的 da、三个内角的角平分线的交点b、三条边的垂直平分线的交点c三条中线的交点d三条高的交点11、点o在abc内部，且有，那么oab与obc的面积之比为 4：1 12、假设 abc 内接于以

8、o为圆心，1为半径的圆，且 ，那么 的值为 a (a) (b) (c) (d) 13、设g为的重心，那么的值= . 14、为的外心，为钝角，是边的中点，那么的值 5 15、o为abc的外心，假设，且32x25y25，那么 10 16、o是abc的外心，ab=2，ac=3，x+2y=1()，假设那么 附件1：律师事务所反盗版维权声明班级： 向量与三角形的“四心一、四心的概念介绍1重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；2垂心高线的交点：高线与对应边垂直；3内心角平分线的交点内切圆的圆心：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；4外心中垂线的交点外接圆的圆心：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心

9、与向量的结合1是的重心.2为的垂心.3设,是三角形的三条边长，o是abc的内心为的内心.4为的外心。例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，那么点的轨迹一定通过的 c a外心 b内心 c重心 d垂心例2：03全国理4是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，那么点的轨迹一定通过的 b a外心 b内心 c重心 d垂心例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，那么点的轨迹一定通过的 d a外心 b内心 c重心 d垂心练习题：1、三个顶点及平面内一点，满足，假设实数满足：，那么的值为 c a2 b c3 d62、假设的外接圆的圆心为o，半径为1，那么

10、( d )a b0 c1 d3、是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，假设，那么是的 a外心 b内心 c重心 d垂心 d 4、非零向量与满足(+)·=0且·= , 那么abc为 ( d )a三边均不相等的三角形 b直角三角形 c等腰非等边三角形 d等边三角形5、三个顶点，假设，那么为 c a等腰三角形 b等腰直角三角形 c直角三角形 d既非等腰又非直角三角形6、a、b、c是平面上不共线的三点，o是三角形abc的重心，动点p满足,那么点p一定为三角形abc的 b a、ab边中线的中点 b、ab边中线的三等分点非重心 c、重心 d、ab边的中点7、abc，p为三角形所在平面上的一点，且点p满足：，那么p点为三角形的 外心 内心 c 重心 d 垂心    b  8、在abc中，动点p满足：，那么p点轨迹一定通过abc的 a 外心 内心 c 重心 d 垂心9、的外接圆的圆心为o，两条边上的高的交点为h，那么实数m = 1 10、点o是所在平面内的一点，满足，那么点o是的 da、三个内角的角平分线的交点b、三条边的垂直平分线的交点c三条中线的交点d三条高的交点11、点o在abc内部，且有，那么oab与obc的面积之