（整理版）邳州市第二中学高二数学第2课时应用性问题

1、1三角形中的有关公式正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等；正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；实际问题中有关术语、名称1仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角2方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角典型例题例1(1)某人朝正东方走km后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好km，那么等于 a b c或 d3解：c 提示：利用余弦定理2甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，那么甲

2、、乙两楼的高分别是 a b c d 解：a3一只汽球在的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上a点处的俯角为，汽球向前飞行了后，又测得a点处的俯角为，那么山的高度为 a b c d 解： b 4轮船a和轮船b同时离开c岛，a向北偏东方向，b向西偏北方向，假设a的航行速度为25 nmi/h，b的速度是a的，过三小时后，a、b的距离是 解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h的速度由b到c航行，航向为方位角，a处有灯塔， 其方位角，在c处观测灯塔a的 方位角，由b到c需航行半小时， 那么c到灯塔a的距离是 解：km 提示：由题意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得变式训练1：如图

3、，当甲船位于a处时得悉，在其正东方向相距20海里的b处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里c处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往b处救援角度精确到1？北2010abc解：连接bc,由余弦定理得bc2=202+1022×20×10×cos120°=700. 于是,bc=10. , sinacb=, acb<90° acb=41°乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往b处救援.例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市o(如图)的东偏南方向

4、300 km的海面p处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时变式训练2：如下图,海岛a周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在b处测得岛a在船的南偏东方向上，船航行30海里后，在c处测得岛a在船的南偏东方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在abc中，bc=30， 所以 ，由正弦定理可知： 所以，于是a到bc所在直线的距离为所以船继续向南航行无触礁危

5、险。例3. 如下图，公园内有一块边长的等边abc形状的三角地，现修成草坪，图中de把草坪分成面积相等的两局部，d在ab上，e在ac上1设ad，ed，求用表示的函数关系式；2如果de是灌溉水管，为节约本钱希望它最短，de的位置应该在哪里？如果de是参观线路，那么希望它最长，de的位置又在哪里？请给予证明解：1在abc中，d在ab上，sade=sabc ，在ade中，由余弦定理得： 2令 ，那么 那么令 ，那么；有最小值，此时debc，且 有最大值，此时de为abc 的边ab或ac的中线上变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如下图，渠道深为，梯形面积为s，为了使渠道的渗水量到达最小，应使梯形两腰及下

6、底之和到达最小，此时下底角应该是多少？解：设 ，那么， 所以 设两腰与下底之和为，那么 当且仅当 时，上式取等号，即当时，上式取等号，所以下角时，梯形两腰及下底之和到达最小例4. 如图，半圆o的直径为2，a为直径延长线上的一点，oa=2，b为半圆上任意一点，以ab为一边作等边三角形abc。问：点b在什么位置时，四边形oacb面积最大？解：设，在aob中，由余弦定理得： 于是，四边形oacb的面积为 s=saob+ sabc 因为，所以当，即时，四边形oacb面积最大变式训练4：如下图，某海岛上一观察哨a上午11时测得一轮船在海岛北偏东的c处，12时20分测得船在海岛北偏西的b处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的e港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从c到b用时80分钟，从b到e用时20分钟，