（整理版）难点19解不等式2

1、难点19 解不等式难点磁场()解关于x的不等式1(a1).案例探究例1f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f(1)=1，假设m、n1，1，m+n0时0. (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式：f(x+)f()；(3)假设f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围.级题目.知识依托：此题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用.错解分析：(2)问中利用单调性转化为不等式时，x+1，1，1，1必不可少，这恰好是容易忽略的地方.技巧与方法：(1

2、)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用条件不等式是关键，(3)问利用单调性把f(x)转化成“1”是点睛之笔.(1)证明：任取x1x2，且x1，x21，1，那么f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=·(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数.(2)解：f(x)在1，1上为增函数， 解得：x|x1，xr(3)解：由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，故对x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g

3、(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2.t的取值范围是：t|t2或t=0或t2.例2设不等式x22ax+a+20的解集为m，如果m1，4，求实数a的取值范围.级题目.知识依托：此题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想.错解分析：m=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a的不等式要全面、合理，易出错.技巧与方法：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结

4、合的思想使题目更加明朗.解：m1，4有n种情况：其一是m=，此时0；其二是m，此时0，分三种情况计算a的取值范围. 设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0时，1a2，m=1，4(2)当=0时，a=1或2.当a=1时m=11，4；当a=2时，m=21，4.(3)当0时，a1或a2.设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么m=x1，x2，m1，41x1x24即，解得：2a，m1，4时，a的取值范围是(1，).锦囊妙计(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因

5、式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种根本类型的解法.(4)掌握含绝对值不等式的几种根本类型的解法.(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.歼灭难点训练 一、选择题1.()设函数f(x)=，f(a)1，那么a的取值范围是( )a.(，2)(，+)b.(，) c.(，2)(，1)d.(2，)(1，+)二、填空题2.()f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)0的解集是(a2，b)，g(x)0的解集是(，)，那么f(x)·g(x)0的解集是

6、_. 3.()关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，那么a的取值范围是_.三、解答题4.()适合不等式|x24x+p|+|x3|5的x的最大值为3.(1)求p的值；(2)假设f(x)=，解关于x的不等式f-1(x)(kr+)5.()设f(x)=ax2+bx+c，假设f(1)=，问是否存在a、b、cr，使得不等式：x2+f(x)2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论. 6.()函数f(x)=x2+px+q，对于任意r，有f(sin)0，且f(sin+2)2.(1)求p、q之间的关系式；(2)求p的取值范围；(3)如果f(sin+2)的最大值是14，求p的值.并求此时f(sin)

7、的最小值.7.()解不等式loga(x)1 8.()设函数f(x)=ax满足条件：当x(，0)时，f(x)1；当x(0，1时，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围.参考答案难点磁场解：原不等式可化为：0，即(a1)x+(2a)(x2)0.当a1时，原不等式与(x)(x2)0同解.假设2，即0a1时，原不等式无解；假设2，即a0或a1，于是a1时原不等式的解为(，)(2，+).当a1时，假设a0，解集为(，2)；假设0a1，解集为(2，)综上所述：当a1时解集为(，)(2，+)；当0a1时，解集为(2，)；当a=0时，解集为；当a0时，解集为(，2.歼灭难

8、点训练一、1.解析：由f(x)及f(a)1可得： 或 或 解得a2，解得a1，解得xa的取值范围是(，2)(，1答案：c二、2.解析：由ba2f(x)，g(x)均为奇函数，f(x)0的解集是(b，a2)，g(x)0的解集是().由f(x)·g(x)0可得： x(a2，)(，a2)答案：(a2，)(，a2)3.解析：原方程可化为cos2x2cosxa1=0，令t=cosx，得t22ta1=0，原问题转化为方程t22ta1=0在1，1上至少有一个实根.令f(t)=t22ta1，对称轴t=1，画图象分析可得解得a2，2.答案：2，2三、4.解：(1)适合不等式|x24x+p|+|x3|5的

9、x的最大值为3，x30，|x3|=3x.假设|x24x+p|=x2+4xp，那么原不等式为x23x+p+20，其解集不可能为x|x3的子集，|x24x+p|=x24x+p.原不等式为x24x+p+3x0，即x25x+p20，令x25x+p2=(x3)(xm)，可得m=2，p=8.(2)f(x)=，f-1(x)=log8 (1x1，有log8log8，log8(1x)log8k，1xk，x1k.1x1，kr+，当0k2时，原不等式解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1.5.解：由f(1)=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x=1，由f(x)2x2+2x+推得f(1).由f

10、(x)x2+推得f(1)，f(1)=，ab+c=，故2(a+c)=5，a+c=且b=1，f(x)=ax2+x+(a).依题意：ax2+x+(a)x2+对一切xr成立，a1且=14(a1)(2a)0，得(2a3)20，f(x)=x2+x+1易验证：x2+x+12x2+2x+对xr都成立.存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式：x2+f(x)2x2+2x+对一切xr都成立.6.解：(1)1sin1，1sin+23，即当x1，1时，f(x)0，当x1，3时，f(x)0，当x=1时f(x)=0.1+p+q=0，q=(1+p)(2)f(x)=x2+px(1+p)，当sin=1时f(1)0，1p1p0，

11、p0(3)注意到f(x)在1，3上递增，x=3时f(x)有最大值.即9+3p+q=14，9+3p1p=14，p=3.此时，f(x)=x2+3x4，即求x1，1时f(x)的最小值.又f(x)=(x+)2，显然此函数在1，1上递增.当x=1时f(x)有最小值f(1)=134=6.7.解：(1)当a1时，原不等式等价于不等式组由此得1a.因为1a0，所以x0，x0.(2)当0a1时，原不等式等价于不等式组： 由 得x1或x0，由得0 x，1x.综上，当a1时，不等式的解集是x|x0，当0a1时，不等式的解集为x|1x.8.解：由得0a1，由f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立.在x(0，