（整理版）高三数学函数的奇偶性（文）人教

1、高三数学函数的奇偶性高三数学函数的奇偶性文文人教版人教版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容：函数的奇偶性1. 概念一般地，对于函数)(xfy 1如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xfy 就叫奇函数。2如果对于函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，那么函数)(xf就叫做偶函数。注：注： 函数为奇函数或偶函数的一个必要条件是函数的定义域关于原点对称 对于)()(xfxf与)()(xfxf应从数形两方面理解值域的对称性定义域的对称性点),(yx的对称性，即函数图象的对称性)(),(),(),()()()(),(),(),()()(afbafbbapba

2、pxfxfafbafbbapbapxfxfp 与p均在)(xfy 图象上 刻画的为函数的整体性质2. 奇偶性的性质1奇函数的图象关于原点成中心对称图形，反过来，如果一个函数的图象关于原点成中心对称图形，那么此函数是奇函数。证设函数)(xf是奇函数，那么)()(xfxf，在函数)(xfy 图象上任取一点 p)(,afa ，那么)(,(afap即)(,(afap也是图象上一点，而p是 p关于原点 o 的对称点，所以函数y)(xf图象上任意一点关于原点的对称点都在)(xfy 图象上，即)(xfy 的图象关于原点成中心对称设)(xfy 图象成中心对称，在)(xfy 图象上任取一点 p)(,afa ，那

3、么 p 关于原点的对称点p)(,afa 也在)(xfy 上 ax时，)()(afxf而函数值是唯一的， )()(afaf由x的任意性知，在)(xf的定义域内有)()(xfxf，故)(xf为奇函数2偶函数的图象关于y轴成轴对称图形，反过来，假设一个函数的图象关于y轴成轴对称图形，那么此函数是偶函数。证明略。3如果)(xf和)(xg都是奇偶函数，那么函数)()(xngxmf也是奇偶函数证：证：设)(xf，)(xg都是奇函数，设)()()(xngxmfx )(xf和)(xg都是奇函数 )()()(xngxmfx)()(xngxmf)(x)()(xgxf、都是偶函数同理可证推论：推论： 两个奇偶函数的

4、和与差都是奇偶函数 奇偶函数与常数之积是奇偶函数 两个非零的一奇一偶函数之和既非奇函数又非偶函数对设)(xf奇函数，)(xg偶函数，令)()()(xgxfxg反证假设)()()(xgxfxg是奇函数，那么)()()(xfxgxg是奇函数而与)(xg是偶函数矛盾，假设)()()(xgxfxg是偶函数，那么)()()(xgxgxf是偶函数与)(xf是奇函数矛盾，但非奇非偶函数的和、差、积、商可能是奇或偶函数，如1)(2xxxf，1)(2xxxg，gf 偶，gf 奇，gf 偶4奇偶性相同的两个函数之积商为偶函数，而奇偶性相异的两个函数之积商为奇函数证略5函数)(xfy 既是奇函数又是偶函数的充要条件

5、是0)(xf证：证：)(xf既奇又偶)()(xfxf且)()(xfxf)()(xfxf0)(xf，且)(xf定义域关于原点对称，非恒为 0 函数，是奇那么必非偶，是偶那么必非奇。6如果定义在 a 上的奇函数)(xfy 存在反函数)(1yfx，那么反函数)(1yfx也是奇函数证：证：设)(xfy 的值域 b，那么b即)(1yfx的定义域，设by 0，那么有唯一的ax 0，使得)(00 xfy ，从而有)(010yfx，又因)(xf是奇函数，所以000)()(yxfxf，从而有by 0且有)()(01001yfxyf，即)(1yfx是奇函数。7定义在对称区间,aa内的任何函数)(xf都可表示成一个

6、偶函数与一个奇函数之和。证明：证明：对于)(xf，令)()(21)(xfxfxf，)()(21)(xfxfxg那么)()()(xgxfxf，而)()(xfxf，)()(xgxg即)(xf与)(xg8在复合函数)(xgfy 中 假设)(xg为偶函数，那么)(xgf为偶函数 假设)(xg为奇函数，)(xf为偶奇函数，那么)(xgf是偶奇函数证明略 3. 函数奇偶性的判定方法：1定义法：)()(xfxf或0)()(xfxf，)()(xfxf10)(xf2图象法3性质法1定义法例 1 判断以下函数的奇偶性，并予以证明。121121)(xxf 21111)(22xxxxxf证明：证明：1)(xf的定义域

7、), 0()0 ,(，关于原点对称不妨取两个特殊值23) 1 (f，23) 1(f，猜测)(xf是奇函数2121221121)(xxxxf212121221) 1212(xxxxx )()21121(xfx )(xf是奇函数有时证明)()(xfxf0)()(xfxf2112121121)()(xxxfxf1121212xxx11221xx 011 0)()(xfxf )(xf是奇函数又如证xxxfa1log)(2为奇函数，利用0)()(xfxf简单证2令0112xx，即) 1(12xx两边平方得012122xxxx经检验0210012故方程在实数范围内无解，即对任意x，0112xx于是定义域为

8、 r或利用rxxxxxxx11|11122)1(1)1(1) 11)(11(1111)(222222xxxxxxxxxxxxxf xxxxxxxx2222222112122) 1()1 () 11()(1111)(22xfxxxxxf，故)(xf是定义在 r 上的奇函数利用11111111)()(2222xxxxxxxxxfxf 222222222) 11() 1(1) 1(1xxxxxx0122222xxx )()(xfxf，即)(xf是奇函数例 2 判定以下函数的奇偶性1)0( 12)0(0)0( 12)(22xxxxxxxxf 2)0(1)0( 1)(xexexfxx解：解：1定义域为

9、r，关于原点对称，当0 x时，0 x，那么121)(2)()(22xxxxxf)() 12(2xfxx当0 x时，)(0)(xfxf当0 x时，0 x那么121)(2)()(22xxxxxf)() 12(2xfxx故)()(xfxf，所以)(xf是 r 上的奇函数2定义域为), 0()0 ,(关于原点对称当0 x时，0 x，那么)() 1(1)(xfeexfxx当0 x时，0 x，那么)()1 (11)()(xfeeexfxxx综上)()(xfxf，故)(xf是), 0()0 ,(上的奇函数另法利用图象 例 3 函数)(xf满足 )()()2()2(212121xxfxxfxfxf， 2)(f

10、， 0)0(f， 1判断)(xf的奇偶性， 2证明)(xf是周期函数， 3求证，对rx，有2)(xf恒成立。分析：分析：类比三角中的和差化积公式，可猜测)(xf与xy2cos2相当，易知它为偶函数，周期为，且22)cos2() 1cos2(22cos2)(22xxxxf证明：证明：1令21xx ，22xx，那么由1可得)()0()()(xffxfxf又令021 xx，可得2)0()0()0(fff 0)0(f 2)0(f代入上式得)(2)()(xfxfxf，即)()(xfxf，)(xf为偶函数2令21xx，22xx，由1得)(2)()(xfxfxf *再令1x，xx 2，由1得)2()2()(

11、)(xffxfxf又由1 ，2)()0()2(xffxf，即2)()2(2xfxf 22)()2(2ff，即2)()()(xfxfxf*由*和*可得)()(xfxf，即)(xf是以为周期的周期函数3由2)()2(2xfxf得22)2()(2xfxf得证例 4 设函数)(xfy 定义在), 0()0 ,(上且对任意21,xx都有)()(121xfxxf)(2xf* ，试证)(xf是偶函数。证明：证明：令xx 1，12x，那么*即) 1()()(fxfxf再令121 xx，由*得) 1(2) 1() 1() 1 (ffff令121 xx，由*可得) 1 () 1 () 1 (fff即0) 1 (f

12、所以0) 1(f，故)()(xfxf得证例 5 对任意实数yx,，有)()()(yfxfxyf，0) 1 (f，那么函数)(xf a. 必是奇函数b. 必是偶函数c. 可以是奇函数也可以是偶函数d. 不能判定奇偶性解：解：选 c设1y，那么) 1()()(fxfxf令1 yx，得1) 1 ()1 () 1 (2fff令1 yx，得1) 1()1() 1 (2fff故)()(xfxf或)()(xfxf例 6 对任意实数yx,，有)()()(yfxfyxf，那么函数)(xf a. 必是奇函数b. 必是偶函数c. 可以是奇函数也可以是偶函数d. 不能判定奇偶性解：解：选 a因)()()(yfxfyx

13、f对任意实数yx,都成立，特别地对rx，取xy，得)()()0(xfxff，假设取0 x，那么)0(2)0(ff 0)0(f 0)()(xfxf，即f为奇函数4. 函数奇偶性的应用例 7 函数)(xfy 为定义在 r 上的奇函数，如果)(xfy 在), 0( 上是增函数，那么)(xf在)0 ,(上也是增函数。证明：证明：设021 xx，那么021xx由)(xfy 在), 0( 上单增，有)()(21xfxf 又由)(xfy 为奇函数所以)()(21xfxf 即)()(21xfxf，故函数)(xfy 在)0 ,(上是增函数例 8 定义在 r 上的函数)(xf是奇函数，当0 x时，1221)(2x

14、xxf。 1求)(xf在 r 上的解析式；2讨论函数)(xf的单调性。解：解：1假设0 x，那么0 x 1)(2)(21)()(2xxxfxf12212xx假设0 x，那么由)()(xx，有)0()0(ff即0)0(f，所以)(xf在 r 上的解析式为0, 12210, 00, 1221)(22xxxxxxxxf20, 1)2(210, 00, 1)2(21)(22xxxxxxf其图象如下由二次函数性质可知在区间)2,(与), 2( 上)(xf是增函数，在区间)0 , 2(与)2 , 0(上)(xf是减函数。例 9 解方程01312233xxx解：解：令tx 2，那么原方程可化为0535233

15、ttt即)(525233tttt*设tttf3)(，那么)(tf为奇函数，从而*化为)()52(tftf即)()52(tftf又由)(tf在 r 上为增函数，所以tt52，即35t又由352x31 x，所以原方程的解为31x解法二：令32xs，312 xt23sx，123 tx1333tsx原方程033tsts 0) 1)(22sttsts |222stts) 12(2xxts 31x例 10 函数)(xfy 是偶函数，且在), 0 上是增函数，试求函数)2(2xfy的单调区间。解：解：令22xt，)(tfy ，那么)()2(2xtfxf由)(tfy 是偶函数且在), 0 上单增，那么在)0

16、,(上单减又由22xt在)0 ,(上单增，在), 0( 上单减，以及20202xt2 x，20 xt或2x列表如下 区间单调性函数)2,()0 ,2()2, 0(),2()(xt+)(tf+)( xtf+所以由复合函数单调性结论知)2(2xfy在)2,(与)2, 0(上是减函数，在)0 ,2(与),2(上是增函数。注：注：)(xf是偶函数，如在), 0 上增，那么必在)0 ,(上减略证任取002121xxxx)()()()(2121xfxfxfxf故)(xf在)0 ,(上单减例 11 )(xf是定义在6 , 6上的奇函数，且)(xf在3 , 0上是x的一次函数在6 , 3上是x的二次函数。当6

17、3 x时，3)5()( fxf，2)6(f，试求)(xf的解析式。分析：分析：由于在6 , 6上)(xf是奇函数，故可以把定义域分为两个区间0 , 6，6 , 0进行讨论，又由在6 , 0上是分段定义的，即分为3 , 0，6 , 3，故又要把6 , 0分为两个区间讨论，再由奇函数概念，对0 , 6也得分3, 6，0 , 3两段讨论，因此对区间6 , 6应划分为四个区间讨论，考虑到函数分段定义，我们对划分的四个区间，都用闭区间讨论。当63 x时，因)(xf在6 , 3上是x的二次函数且3)5()( fxf5，3是该二次函数图象的顶点坐标，设此二次式为3)5()(2xaxf又由2)6(f 13)5

18、6(22aa故3)5()(2xxf )63( x由此可求得1)3(f 当30 x时 )(xf在6 , 6上为奇函数，故0)0(f又 1)3(f及)(xf在3 , 0上为x的一次式 xxf31)( 30 x再由奇函数定义知，0 , 3x时，xxxfxf31)(31)()(3, 6x时，3)5(3)5()()(22xxxfxf综上，)3, 6, 3)5()3 , 3,36 , 3, 3)5()(22xxxxxxxf【模拟试题模拟试题】1. 构造一个满足下面三个条件的函数实例，函数在) 1,(上递减；函数具有奇偶性；函数有最小值为 0； 2. 函数 fx12/2x1 fx x0是偶函数，且 fx不恒等于零，那么 fx a. 是奇函数 b. 是偶函数 c. 既是奇函数，又是偶函数 d. 非奇非偶函数3. 函数 fxx2lgx12x ，假设 fa. m，那么 fa等于 a. 2a2m b. m2a2 c. 2ma2 d. a22m4. 假设对正常数 m 和任意实数 x，