（整理版）高三数学解析几何部分复习椭圆人教实验

1、高三数学高三数学解析几何局部复习：椭圆解析几何局部复习：椭圆人教实验版人教实验版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容：解析几何局部复习：椭圆二. 教学目的1、掌握椭圆标准方程的两种形式及椭圆的主要根本量。2、掌握椭圆的几何性质及其应用。三. 教学重点、难点重点：椭圆标准方程及其应用；椭圆的几何性质及其应用。难点：椭圆标准方程和几何性质及其应用及解决椭圆问题时所涉及的思想方法。四. 知识分析【知识梳理知识梳理】1、椭圆的定义平面内与两个定点 f1，f2的距离之和等于常数大于|f1f2|的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2、椭圆的标准方程和几何性质标准

2、方程22221(0)xyabab22221(0)yxabab图 形范 围axa，bybbxb，aya对称性 对称轴：x 轴，y 轴 对称中心：坐标原点顶 点a1a，0 ，a2a，0 ，b10，b ，b20，ba10，a ，a20，a ，b1b，0 ，b2b，0 轴 长轴 a1a2的长为 2a，短轴 b1b2的长为 2b 焦 距 |f1f2|2c 22cab 离心率 (0,1),cea其中22cab性质准线方程2axc 2ayc 【要点解析要点解析】1、求椭圆标准方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法先定性，后定形，再定参 椭圆的标准方程有两种形式，所谓“标准，就是椭圆的中心在原点，焦点

3、在坐标轴上焦点 f1，f2的位置决定椭圆标准方程的类型，是椭圆的定位条件；参数 a，b 决定椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。对于方程22221xymnm0, n0假设mn0，那么椭圆的焦点在 x 轴上；假设 0mn，那么椭圆的焦点在 y 轴上，焦点位置不明确时，要注意分类讨论。2、注意椭圆几何性质的挖掘1椭圆中有“四线两条对称轴、两条准线 ， “六点两个焦点、四个顶点 ，注意它们之间的位置关系如准线垂直于长轴所在的直线、焦点在长轴上等及相互间的距离如焦点到相应顶点的距离为ac，到相应准线的距离为22abccc等 。2设椭圆方程22221(0)xyabab上任意一点为( , )p x y，那

4、么22222222222|()bc xa bopxyxaxaa，因为 axa，所以0 x时，|op有最小值 b，这时，p 在短轴端点处；当xa时，|op有最大值 a，这时 p 在长轴端点 a1或 a2处。3椭圆上任意一点( , )(0)p x yy与两焦点12(,0),( ,0)fcf c构成的三角形pf1f2称之为焦点三角形，周长为2()ac。4椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形的边长有222abc。3、求动点( , )m x y的轨迹方程时，不直接建立, x y间的关系，而是先寻求, x y与中间变量00,xy间的关系。利用关于00,xy间的关系方程得到, x y之间的关系

5、方程，也称为代入法或相关点法求轨迹方程。要注意平面向量与椭圆结合的题目，能够根据平面向量的坐标运算解决有关问题。【典型例题典型例题】 例 1. 一动圆与圆1o：1y3x22外切，与圆2o：81y3x2内切，试求动圆圆心的轨迹方程。解析：解析：两定圆的圆心和半径分别为1o3，0 ，1r1；2o3，0 ，9r2，设动圆圆心为 mx，y ，半径为 r，那么由题设条件可得r1|mo|1，r9|mo|2。10|mo|mo|21。由椭圆的定义知：m 在以1o、2o为焦点的椭圆上，且5a ，3c 。16925cab222，故动圆圆心的轨迹方程为116y25x22。点评：点评：平面内一动点与两个定点1f、2f

6、的距离之和等于常数a2，当|ff|a221时，动点的轨迹是椭圆；当|ff|a221时，动点的轨迹是线段21ff；当|ff|a221时，轨迹不存在。 例 2. 求满足以下各条件的椭圆的标准方程。1长轴是短轴的 3 倍且经过点 a3，0 ；2短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3；3经过点 p32，1 ，q3，2两点；4与椭圆13y4x22有相同离心率且经过点)3, 2(。解析：解析：1假设椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为0ba1byax2222椭圆过点 a3，0 ，1a92，a=3，3a2 b2，1b ，方程为1y9x22。假设椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为0ba1b

7、xay2222，椭圆过点 a3，0 ，1b9a0222，3b ，3a2 b2，9a ，方程为19x81y22。综上所述，椭圆方程为1y9x22或9x81y221。2由3cac2a，3c32a。从而9b2，所求椭圆的标准方程为19y12x22或112y9x22。3设椭圆的标准方程为0n, 0m1nymx22，点 p32，1 ，q3，2在椭圆上，代入上述方程得1n4m31nm12，解得51n151m，15y15x22。4由题意，设所求椭圆的方程为0tt3y4x22，因为椭圆过点2，3 ，所以23342t22，故所求椭圆标准方程为16y8x22。点评：点评：在求椭圆的标准方程时，会遇到焦点位置不确定

8、而有两种结果的情况，这时应注意分类讨论仔细体会1 、 2两小题中的答案可见， 1中两个椭圆不仅焦点位置不同，而且椭圆大小形状也不一样，而2中两个椭圆只是焦点位置不同，大小形状一样，像2小题中的情形，可先求出焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，然后把 x， y 交换即可得焦点在 y 轴上的椭圆方程，但1小题是不可以的，要注意区别由于分类讨论较复杂，因此在处理椭圆焦点位置不确定的情况时，有时可直接设椭圆方程为22axby1 或由条件设椭圆系方程2222(0) xyab来求解，如3 、 4两小题，这样可防止讨论和复杂的计算。 例 3. 椭圆0mmy3mx22的离心率23e ，求m的值及椭圆的长轴和短轴

9、的长、焦点坐标、顶点坐标。解析：解析：椭圆方程可化为13mmymx22。3mmm03m2mm，3mmm。即ma2，3mmb2，22bac3m2mm。由23e ，得233m2m，1m 。椭圆的标准方程为141yx22。1a ，21b ，23c 。椭圆的长轴长为 2，短轴长为 1；两焦点坐标分别为0,23f1，0,23f2；四个顶点分别为0, 1a1，0, 1a2，21, 0b1，21, 0b2。点评：点评：1要掌握椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。2离心率22e1abab1ace。3通过解关于 a，c 的齐次方程也可求离心率。 例 4. 如图 1。某隧道设计为双向四车道，车道总宽 22

10、 米，要求通行车辆限高，隧道全长5 . 2千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。1假设最大拱高 h 为 6 米，那么隧道设计的拱宽l是多少？2假设最大拱高h不小于 6 米，那么应如何设计拱高h和拱宽l，才能使这半个椭圆隧道的土方工程量最小？半个椭圆的面积公式为lh4s，柱体体积为：底面积高，此题结果均精确到1 . 0米解析：解析：1如图 2 建立直角坐标系，那么点 p11，5 . 4 ，椭圆方程为1byax2222，将6hb代入椭圆方程，得7744a ，此时3 .337788a2l，因此隧道的拱宽约为3 .33米。2将点 p11，5 . 4代入椭圆方程1byax2222，得1b5 . 4a1

11、12222，因为ab5 . 4112b5 . 4a112222，即99ab ，且a2l ，bh ，所以2992ablh4s，当 s 取最小值时，有21b5 . 4a112222，得211a ，229b ，此时1 .31222a2l，4 . 6bh，故当拱高约为4 . 6米，拱宽约为1 .31米时，土方工程量最小。点评：点评：解容许用题可分四个步骤：1阅读理解材料：读懂材料中量与量的关系，模型是什么？是方程还是不等式等。2建立变量关系：利用量与量的关系列出相应的关系式建模 。3讨论变量性质：利用代数知识对所建立的变化关系化简、推导并讨论变化具有的性质单调性、最大值或最小值等 。4做出问题结论：最

12、后的结论不可少，注意实际问题中变量的含义。【模拟试题模拟试题】1. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为 1，那么该椭圆的离心率为 a. 2b. 22c. 12d. 24 2. 曲线6m1m6ym10 x22与曲线9n51n9yn5x22的 a. 焦距相等b. 离心率相等c. 焦点相同d. 准线相同 3. 椭圆0ba1byax2222，过椭圆的右焦点作x轴的垂线交椭圆于 a、b 两点，假设 oboa=0，那么椭圆的离心率e等于 a. 251b. 231c. 21d. 23 4. 如图，直线02y2x: l过椭圆的左焦点1f和一个顶点 b，该椭圆的离心率为 a. 5

13、1b. 52c. 55d. 552 5. 椭圆1y4x22的两个焦点为1f、2f，过1f作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为 p，那么|pf|2 = a. 23b. 3c. 27d. 4 6. 假设椭圆0ba1byax2222的左、右焦点分别为1f、2f，线段21ff被抛物线bx2y2的焦点分成 5：3 的两段，那么此椭圆的离心率为 a. 1716b. 17174c. 54d. 552 7. 如图，1f，2f分别为椭圆1byax2222的左、右焦点，点 p 在椭圆上，po2f是面积为3的正三角形，那么2b的值是_。 8. 设 f 是椭圆16y7x22的右焦点，且椭圆上至少有 21 个不

14、同的点 , 3, 2, 1ipi，使|fp|1，|fp|2，|fp|3，组成公差为 d 的等差数列，那么 d 的取值范围为_。 9. 1f、2f是椭圆 c：14y8x22的焦点，在 c 上满足21pfpf 的点 p 的个数为_。 10. 如图，把椭圆116y25x22的长轴 ab 分成 8 等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半局部于1p、2p、7p七个点，f 是椭圆的一个焦点，那么|fp|fp|fp|721 =_。 11. 点 a、b 分别是椭圆120y36x22长轴的左、右端点，点 f 是椭圆的右焦点。点 p 在椭圆上，且位于 x 轴的上方，papf。1求点 p 的坐标。2设 m 为

15、椭圆长轴 ab 上的一点，m 到直线 ap 的距离等于|mb|，求椭圆上的点到点 m 的距离 d 的最小值。 12. 椭圆 c：0ba1byax2222的左、右焦点分别是1f、2f，离心率为 e。直线l：aexy与x轴、y轴分别交于点 a、b，m 是直线l与椭圆 c 的一个公共点，p 是点1f关于直线l的对称点。设 abam。1证明：2e1；2确定的值，使得21fpf是等腰三角形。 13. 如图，椭圆q；0ba1byax2222的右焦点为 fc，0 ，过点 f 的一动直线m绕点 f 转动，并且交椭圆于 a、b 两点，p 为线段 ab 的中点。1求点 p 的轨迹 h 的方程；2假设在 q 的方程中，令sincos