（整理版）高中数学变换角构造函数证明三角不等式

1、高中数学高中数学变换角构造函数证明三角不等式变换角构造函数证明三角不等式在研究三角问题时，常会遇到有如下特点的三角不等式证明问题：不等号的一边为常数，当三角形是正三角形取等号。这类不等式的证明往往有一定技巧，且涉及不同三角函数时不等式其证明的方法亦有显著差异，让人觉得无章可循。本文打算介绍一种方法，此法通过对三角形的角作变换，逐步将其调整为正三角形的三个内角，并寻求适当的函数来完成对不等关系的证明。在abc 中，不妨设，那么必有cba32cb,32ba,3c,3a因此cb32a又且b)32(3ca|3)b32( |ac即用角代替角 a，c 后，它们的和不变，但两角“靠得更近了。b32,3如果某

2、三角不等式中等号成立的条件是，那么可猜测：三个角的大小愈3cba接近，它们对应的式子的值也就愈接近不等号一侧的常数最值 。因此假设能够确定角由a，c 换成后两式间某种不等关系，证明便大有希望。b32,3为了表达简便，假设下面涉及的角 a，b，c 均满足。另外在构造函数时，cba用到的角及 x 均满足以下条件：。2, 0 x),2, 0( 例 1. 在abc 中，求证 sina+sinb+sinc。233分析：考虑函数。)xsin()xsin()x(f因为。又，故在上为减函数。xcossin2)x(f0sin)x(f2, 0令，解得。xc, xa)ac(21x),ca(21由 f(x)的单调性知

3、，在三角形中，当两个角的和为定值时，两角差的绝对值愈小，它们的正弦和越大。因为且)b32(3ca|b)b32( |ac所以)b32sin(3sincsinasin又，及33b)b32(|33|b)b32( |所以3sin3sinbsin)b32sin(从而有2333sin3sin3sincsinbsinasin从上面的证明可以看出，构造函数是证明不等式的重要一环。构造的函数那么以三角形的两角差的绝对值为自变量，确定所得函数的单调性，进而得到相应的不等关系。 例 2. 在abc 中，求证。8332ccos2bcos2acos分析：先考虑函数2xcos2xcos)x(f由于，所以在上为减函数。)x

4、cos(cos212xcos2xcos)x(f)x(f2, 0即当三角形的两个角的和为定值时，它们差的绝对值愈小，这两个角的半角的余弦之积也就越大。因为且)b32(3ca|b)b32( |ac所以6b32cos6cos2b32cos23cos2ccos2acos又33b)b32(及|33|b)b32( |故6cos6cos6b32cos2bcos所以有8336cos6cos6cos2ccos2bcos2acos在判断函数的单调性时，可将角中的 x 用适当的方法予以别离，再结合有x, x关三角函数的性质，便可获得所需的结论。 例 3. 在abc 中，求证。49csinbsinasin222分析：

5、考虑函数。)x(sin)x(sin)x(f22因为)x(sin)x(sin)x(f22x2cos2cos1)x2cos2cos2(211)x22cos()x22cos(211注意到当为钝角时，。即当三角形的两个内角和为定2)x()x(02cos值且为钝角时，两角差的绝对值愈小，它们的正弦的平方和也就越大。因为 a+c 为钝角，所以)b32(sin3sincsinasin2222又为钝角，所以32b32b3sin3sin)b32(sinbsin2222故有49csinbsinasin222 例 4. 在锐角abc 中，求证。33ctanbtanatan分析：考虑函数。)xtan()xtan()x(f因为)xtan()xtan()x(fx2cos2cos2sin2)x2cos2(cos212sin)xcos()xcos()xsin()xcos()xcos()xsin()xcos()xsin()xcos()xsin(由于，及。02sin0 x2cos2cos所以函数在内单调递增。)x(f2, 0即当锐角三角形的两个内角和为定值时，它们的差的绝对值愈小，它们的正切的和也就越小。注意到cb32a可知且。)b32tan(3tanctanatan3tan3tan)b32tan(btan从而有。33ctanbtanatan从上面对不等式证明的分析过程可以看出，其核心在于紧扣式