（整理版）高中数学新题型选编

1、高中数学新题型选编1、函数：求函数的最小值;证明:；定理:假设 均为正数,那么有 成立(其中请你构造一个函数，证明：当均为正数时，解：令得2分当时， 故在上递减当故在上递增所以，当时，的最小值为.4分由，有即故5分证明:要证： 只要证： 设7分那么令得.8分当时，故上递减，类似地可证递增所以的最小值为10分而=由定理知: 故故 即: .14分2、用类比推理的方法填表 等差数列中等比数列中答案：3、10定义一种运算“*：对于自然数n满足以下运算性质：i1*1=1，iin+1*1=n*1+1，那么n*1等于an bn+1 cn -1 d 答案：d4、假设为的各位数字之和，如：，那么;记_答案：55

2、、下面的一组图形为某一四棱锥s-abcd的侧面与底面。aaaaaaaaaa1请画出四棱锥s-abcd的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；2假设sa面abcd，e为ab中点，求二面角e-sc-d的大小；3求点d到面sec的距离。1存在一条侧棱垂直于底面如图3分sabcdefgh证明：且ab、ad是面abcd内的交线sa底面abcd5分2分别取sc、sd的中点g、f，连ge、gf、fa，那么gf/ea,gf=ea,af/eg而由sa面abcd得sacd，又adcd，cd面sad，又sa=ad,f是中点， 面scd,eg面scd,面scd所以二面角e-

3、sc-d的大小为9010分(3)作dhsc于h，面sec面scd,dh面sec,dh之长即为点d到面sec的距离，12分在rtscd中，答：点d到面sec的距离为14分6、一个计算装置有一个入口a和一输出运算结果的出口b，将自然数列中的各数依次输入a口，从b口得到输出的数列，结果说明：从a口输入时，从b口得；当时，从a口输入，从b口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：（1） 从a口输入2和3时，从b口分别得到什么数？（2） 从a口输入100时，从b口得到什么数？并说明理由。解1 2先用累乖法得得7、在abc中，给出abc满足的条件，就能得到动点a

4、的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程abc周长为10：abc面积为10：abc中，a=90°：那么满足条件、的轨迹方程分别为 用代号、填入答案：8、两个函数和的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表. x123fx 231x123gx 132填写以下的表格,其三个数依次为x123g (fx) a. 3,1,2 b . 2,1,3 c. 1,2,3 d. 3,2,1答案：d9、在实数的原有运算法那么中，我们补充定义新运算“如下：当时，；当时，。那么函数的最大值等于 c “·和“仍为通常的乘法和减法a. b. 1c. 6d. 1210、，x表示不大于x的最大整数

5、，如，那么_；使成立的x的取值范围是_ 答案：211、为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线上这个课题，我们可以分三步进行研究： i首先选取如下函数： ， 求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标： 与其反函数的交点坐标为1，1 与其反函数的交点坐标为0，0，1，1 与其反函数的交点坐标为，1，0，0，1 ii观察分析上述结果得到研究结论； iii对得到的结论进行证明。 现在，请你完成ii和iii。解：ii原函数图象与其反函数图象的交点不一定在直线yx上2分 iii证明：设点a，b是的图象与其反函数图象的任一交点，由于原函数与反函数图象关于直线yx对称，那么点b，a也是的图象与其反函

6、数图象的交点，且有 假设ab时，交点显然在直线上 假设a<b且是增函数时，有，从而有b<a，矛盾；假设b<a且是增函数时，有，从而有a<b，矛盾 假设a<b且是减函数，有，从而a<b成立，此时交点不在直线yx上；同理，b<a且是减函数时，交点也不在直线yx上。 综上所述，如果函数是增函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，那么交点一定在直线上； 如果函数是减函数，并且的图象与其反函数的图象有交点，那么交点不一定在直线yx上。14分12、设m是由满足以下条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足. i判断函数是否是集合m中的元素，并说明理由；

7、ii集合m中的元素具有下面的性质：假设的定义域为d，那么对于任意m，nd，都存在m，n，使得等式成立，试用这一性质证明：方程只有一个实数根； iii设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.解：1因为，2分 所以满足条件3分又因为当时，所以方程有实数根0.所以函数是集合m中的元素.4分 2假设方程存在两个实数根，那么，5分 不妨设，根据题意存在数使得等式成立，7分因为，所以，与矛盾，所以方程只有一个实数根；9分3不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为，所以函数为减函数，10分所以，11分所以，即12分所以13分13、在算式“2×+1×=30”的两个口中，分别填入两个自然数

8、，使它们的倒数之和最小，那么这两个数应分别为 和 . 答案：9，12.14、如图为一几何体的的展开图，其中abcd是边长为6的正方形，sd=pd6，cr=sc，aq=ap，点s,d,a,q及p,d,c,r共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使p，q，r，s四点重合，那么需要 个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。 答案：315、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为试解释的实际意义； 现有aa0量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比拟少？请说明理由答案：解：if0=

9、1表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化2 设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a量的水清洗1次后残留的农药量为 w1=1×fa=；4又如果用量的水清洗1次，残留的农药量为1×f=，此后再用量的水清洗1次后，残留的农药量为w2=·f=2=8由于w1w2=，9故当a>2时，w1>w2，此时，把a量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，w1=w2，此时，两种清洗方式效果相同；当a<2时，w1<w2，此时，把a量的水清洗一次，残留的农药量较少1216、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰

10、好通过k(kn*)个格点，那么称函数f(x)为k阶格点函数。以下函数： f(x)=sinx； f(x)=(x1)2+3； ，其中是一阶格点函数的有 . 答案：17、一水池有2个进水口,1个出水口,一个口进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示(至少翻开一个水口),给出以下3个论断： 进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙10点到3点只进水不出水；23点到4点不进水只出水；34点到6点不进水不出水。那么一定不确定的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上)。答案：2318、等比数列an的前n项和为sn. ()假设sm，sm2，sm1成等差数列，证明am，am2，am1成

11、等差数列； ()写出() 证 () sm1smam1，sm2smam1am2由2sm2smsm1， 2(smam1am2)sm(smam1)，am2am1，即数列an的公比q. am1am，am2am，2am2amam1，am，am2，am1成等差数列. () ()am，am2，am1成等差数列，那么sm，sm2，sm1成等差数列. 设数列an的公比为q，am1amq，am2amq2由题设，2am2amam1，即2amq2amamq，即2q2q10，q1或q. 当q1时，a0，sm， sm2， sm1不成等差数列.19、底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按高

12、收入中等收入低收入125户400户475户本地区确定的标准，情况如右表：本地区在“十一五规划中明确提出要缩小贫富差距，到要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，那么中等收入家庭的数量在原有的根底要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基础要降低的百分比分别为 ( b )a25% , 27.5% b62.5% , 57.9% c25% , 57.9% d62.5%,42.1%20、一个三位数abc称为“凹数，如果该三位数同时满足ab且bc，那么所有不同的三位“凹数的个数是_答案：三位“凹数可分两类：一类是aba，共有45，另一类是abc，ac，共有2240，故共有45+240285个21、定义运算

13、 ，假设复数，那么 。答案：-422、从装有个球其中个白球，1个黑球的口袋中取出个球,共有种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有，即有等式：成立。试根据上述思想化简以下式子： 。答案： 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从个球n个白球，k个黑球中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，k个黑球等类，故有种取法。23、定义运算xy=，假设|m1|m=|m1|，那么m的取值范围是 24、在公差为的等差数列中，假设是的前项和，那么数列也成等差数列，且公差为，类比上述结论，相应地在公比为的等比数列中，假设是数列的前项积，那么有 。25、考察以下一组不等式： 将上述不等

14、式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，那么推广的不等式为 26、对任意实数，定义运算，其中为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算。现，且有一个非零实数，使得对任意实数，都有，那么 。27、对于任意实数，符号表示的整数局部，即是不超过的最大整数。在实数轴r箭头向右上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是。这个函数叫做“取整函数，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么=_820428、我国男足运发动转会至海外俱乐部常会成为体育媒体关注的热点新闻。05年8月，在上海申花俱乐部队员杜威确认转会至苏超凯尔特人俱乐部之前，各种媒体就两俱乐部对于杜威的转会费

15、协商过程纷纷“爆料：媒体a：“, 凯尔特人俱乐部出价已从80万英镑提高到了120万欧元。媒体b：“, 凯尔特人俱乐部出价从120万欧元提高到了100万美元，同时增加了不少附加条件。媒体c：“, 凯尔特人俱乐部出价从130万美元提高到了120万欧元。请根据表中提供的汇率信息由于短时间内国际货币的汇率变化不大，我们假定比值为定值，我们可以发现只有媒体 填入媒体的字母编号的报道真实性强一些。29、二次函数同时满足：不等式的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立。 设数列的前项和，1求数列的通项公式；2试构造一个数列，写出的一个通项公式满足：对任意的正整数都有，且，并说明理由；3设各项均

16、不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令为正整数，求数列的变号数。解：1的解集有且只有一个元素， 当时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立。 当时，函数在上递减，故存在，使得不等式成立。 综上，得， 2要使，可构造数列，对任意的正整数都有， 当时，恒成立，即恒成立，即， 又，等等。 3解法一：由题设，时，时，数列递增，由，可知，即时，有且只有个变号数；又，即，此处变号数有个。综上得 数列共有个变号数，即变号数为。解法二：由题设， 时，令； 又，时也有。综上得 数列共有个变号数，即变号数为。30、在r上定义运算：xy=x(1 -y) 假设不等式(x-a)(x+a)<

17、;1,对任意实数x恒成立，那么实数a的取值范围是 。31、之间满足 1方程表示的曲线经过一点，求b的值2动点(x,y)在曲线(b>0)上变化，求x2+2y的最大值；3由能否确定一个函数关系式，如能，求解析式；如不能，再加什么条件就可使之间建立函数关系，并求出解析式。解：1 4分2根据得 5分 7分 10分2不能 11分 如再加条件就可使之间建立函数关系 12分解析式 14分不唯一，也可其它答案32、用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板。随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的。一个铁钉受击次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板局部的铁钉长度是钉长的

18、，请从这个实事中提炼出一个不等式组是 。33、，记，其中，例如： 。设，且满足，那么有序数组是 。 34、12=9+3理设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式 对任意恒成立的的集合。1求；2试写出一个解集为的不等式。文设表示幂函数在上是增函数的的集合；表示不等式对任意恒成立的的集合。1求；2试写出一个解集为的不等式。解：理1幂函数在上是增函数，即， 又不等式对任意恒成立，即， 。 2一个解集为的不等式可以是 。 文1幂函数在上是增函数，即， 又不等式对任意恒成立，即， 。 2一个解集为的不等式可以是 。35、理为正常数。 1可以证明：定理“假设、，那么当且仅当时取等号推广到三个正数时结论是正确的，试写出推广后的结论无需证明； 2假设在上恒成立，且函数的最大值大于，求实数的取值范围，并由此猜想的单调性无需证明； 3对满足2的条件的一个常数，设时，取得最大值。试构造一个定义在上的函数，使当时，当时，取得最大值的自变量的值构成以为首项的等差数列。解：1假设、，那么当且仅当时取等号。 2在上恒成立，即在上恒成立，即，又，即时，又，。 综上，得 。 易知，是奇函数，时，函数有最大值，时，函数有最小值。故猜想：时，单调递减；时，单调递增。3依题意，只需构造以为周期的周