《勾股定理》典型题目

1、勾股定理看数学思想【附练习】1.数形转化“勾股定理”定理是“形一数”的转化。条件是形 “直角三角形”，得出的结论是数-“边之间的数量关系”。标准格式是：. ABC是直角三角形，/ C是直角，CA2+CB2=AB2“勾股定理”的逆定理是“数一形”的转化。条件是数一“边之间的数量关系”，得出的结论是形“直角三角形”。标准格式：= CA2+CB2=AB2, .ABC是直角三角形，/ C是直角应用举例:如图所示，有一块地，已知 AD=4米，CD=3米，/ADC=90 °, AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为多少？解：.ADC是直角三角形AC2=AD2+DC2=42+32=52 （注

2、：这是在用勾股定理）. AC2+BC2=52+122=169AB2=132=169. . AC2+BC2=AB2.ABC是直角三角形(注：这是在用勾股定理的逆定理). cc _AC BC CD AD 12 5 3 42、 S 地=5丛8©-5/© = 24 (木 )22222.方程思想我们知道，知道直角三角形的两条边，可以借助勾股定理求出第三边。 但是有的 问题只知道直角三角形的一条边，这时候，要考虑借助勾股定理列方程解决问题。例1:如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC = 6cm,AB上,BC = 8cm,先将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边 且与AE重合，则CD

3、等于()A.2B.4 C.3 D.5解：在RtAABC中，AB 2=AC 2+BC2=62+82=100=102AB=10 (cm); AE=AC=6cm , EB=4cm /AED=/C=90° ./ DEB=90° .DEB是直角三角形DE2+EB2=DB2设 CD=xcm,贝U DE=CD=xcm , DB= (8-x) cm x2+42=(8-x)2 解得 x=3,所以，CD=3cm例2:在笔直的公路上A、B两点相距20km,在A的正南方8km处有村庄D, 在B的正南方11km处有村庄C.现在要在AB上建一个中转站E,是的C、D两 村庄到E站的距离相等。(1)利用尺

4、规作图，做出点E的位置。计算点E距离点A多远？解：(1)如图，点E就是要建中转站的位置(2)设 AE=xkm,则 EB=(20-x)km在RtAADE中DE2=AD2+AE2=82+x2在RtAEBC中EC2=EB2+BC2=(20-x)2+112v DE=EC82+x2=(20-x)2+112解得 x=457km40所以，点E与点A的距离是竺7 km40典型题目练习一.折叠问题1 .一张直角三角形的纸片，如图所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若AC=6, BC=8,求 DC 的长。62 .如图所示，将长方形纸片 ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F 处。已知 AB=CD=8cm

5、 , BC=AD=10cm ,求 EC 的长。BDEC其他折叠问题常见图形:二.最短问题1 .如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽和高分别为 50寸，30寸和10 寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口 的食物，则它所走的最短路线长是多少？2 .如图，长方体的长，宽，高分别为8, 4, 10.若一只蚂蚁从P点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？3 .如图，一圆柱体的底面周长为16 ,高AB为15 , BC是上底面的直径.一只昆虫从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点4 .如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,

6、 一只蚂蚁如 果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？5.如图所示，有一根高为2m的木柱，它的底面周长为0.3m ,为了营造喜庆|的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕的在工方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？一1圈，一直缠到起点三.梯子问题1.如图，一架云梯AC长为25m ,斜靠在一竖直的墙CO上，这时梯子底端A 离墙的距离AO是7m ,如果梯子的顶端C沿墙下滑了 4m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?2.如图，两墙之间的距离BC=22米，当云梯靠在西墙的时候，此时可以达到的高度AB=24米；若云梯底部O不动，使云梯靠在东墙上，此时云梯可以

7、达到的高度DC=20米，试求BO的距离四.卢苇问题1 .有一个边长为1O尺的正方形水池，一棵产苇 AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺.如果把该产苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么产苇的顶部B碰到岸边的B'（如图）时，水恰好没过产苇.问水深和长各多少？2 .如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面 2m,则旗杆的高度 为（滑轮上方的部分忽略不计）为多少米？五.构造直角三角形1.如图，每个小正方形的边长为 形的顶点，则/ ABC的度数为（A. 90°2.如图，AA村到公路 B村到公路B. 60°C. 45°1, A、B、C是小正方）D. 30°B是公路l （1为东西走向）两旁的两个村庄, 1的距离AC = 1km1 的距离 BD=2km, CD=4kmP,要求该站到两村（1）求出A, B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写 明作法）.六.综合题目1 .如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一