非线性偏微分方程

1、第九章非线性偏微分方程前面几章索研究的偏微分方程都是线性的， 但在实际工程级数及 自然科学中索遇到的方程大多都是非线性的， 在有些情况下，人们为 了研究方便，对问题补充了一些附加的条件或略去一些次要的项，才得到线性方程。在这一章内，我们将从一个具体问题出发引入非线性 偏微分方程的概念，然后重点讨论两类重要的非线性方程。§ 9.1 小曲面问题在第八章内已经说过，求解一个边值问题可以转化成求它所对应 的一个泛函的最小值(当然，一般说来变分问题的解只是原边值问题 的弱解)。其实，在数学里也已证明了相反的结论，即在一定条件下 一个变分问题的解必满足一个微分方程。 在这一节内，我们以极小曲 面

2、问题为例说明这个事实。设。是平面上有界区域，它的边界 B是充分光滑的，具方程为:x =x(s),y 二y(s),其中x(O)=x(S0),y(O) = y(S0)即制是一条闭曲线。现在在上给定一条 空间曲线l (即作一条空间曲线1,使它到C所在平面的投影为 )：x =x(s),1:y = y(s),0 Ms Ms。，(9.1)u = ：(s),这里中(0)=中(So)。所谓极小曲面问题就是要确定一张定义在线上的曲 面S,使得(1) S以1为周界；(2) S的表面积在所有以1为周界的曲面中是最小的。假定空间曲面的方程为v = v(x, y)则由微积分学可知，这个曲面的表面积为J(v) = 1bd

3、+ v2 +vjdxdy(9.2)于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u,使得(1)由u =u(x,y)所表示的曲面以1为周界，即u C C1(Q),u,或者说，uWMqj,其中Mcp由(8.7)给出；(3) J(u)=minJ(v)(9.3)v :M :d这是一个变分问题。如何求出变分问题(9.3)的解？我们先来看看假若uwM中是(9.3) 的解，那么u必需满足什么样的条件。为此，在 Mo任取一个元素v, 即任取 v w M0 ,即 vW C1(Q), v g=0。对任意 £ 乏(-00, +cC),u + wvw M中 , 己je)=J(u + Wv)(9.4)其中J(u)由(9

4、.2)确定，从(9.2)可知j")是定义在R上的一个可微 函数，由于u是(9.3)的解，所以对任意 "R处取得最小值，故j (0)=。(9.5)不难看出j （;）=（U，a V）xVx （U - 三 V）yVy二22 dxdy1 （Vx；Vx）（Vy；Vy）代入（9.5）得UxUy2 vx -22 % dxdy = 0y 1 Ux Uy假若U具有更好的光滑性，例如UWC2Q）,由格林公式可得一匕Ux： Uy 、VFU22 -22vdxdy22 . ds = 0Ux Uy y 1 Ux Uy'1 Ux Uy ：n由于VW M 0,即vG = 0 ,因此上式左端第二项为

5、零，再由v的任意性及被积函数的连续性可知£-r=:十£ 一=0（9.6）原 J1+U2+U2 y 历UFUT这个方程称为变分问题（9.3）的Euler方程。上面的推导说明，如果u是（9.3）的解，且UWC2（C）,则u必满足（9.6）,当然还满足边界条件u”中（9.7）因此定义在C上且以空间曲线l为周界的极小曲面u=u（x,y）必定在C 内适合方程（9.6）和在 流上满足边界条件（9.7）。方程（9.6）可以 改写成（1 十 U：）Uxx- 2UxUyUxy +（1 + U2）Uyy =0（9.8）这个方程通常称为极小曲面方程。它有什么特点？它关于二阶导数 UxxUxy及U

6、yy是线性的，但它们前面的系数分别含有%Uy及Y ,所以对Ux, Uy来说它不是线性关系，特别是，如果把Ux, Uy, Uxx,Uxy及Uyy 同等看待，这个方程对它们不少线性方程，故它是一个非线性方程。§ 9.2 线性偏微分方程举例在上一节内，我们以极小曲面问题为例得到了一个非线性偏微分方程（9.8）,其实，在力学、物理学及几何学中都有大量的非线性 偏微分方程。例如，在热传导问题（第一章第一节例 4）中，如果热传导系数k不是常数，而是温度的函数，则三维热传导方程为,:u；:tFu(k(u) (k(u) (k(u) ) jxFx；:y jy Fz ；z(9.9)（连续性方程）（动量方

7、程）dt(CpT 3；Ui ij)w （能量方程）这也是一个非线性方程。在流体力学中，描述粘性气体运动的方程是著名的Navier-Stokes方程，其形式为;3山=0-t i 1- xidUi =1 ；:p 八 £ijdt ： ；xi j ；:xj其中9:三八 u5p二rt(9.11)dt6tiex二(卫二、辿)ij (ij . )%3 l ex这里P是流体密度，u=（Ui,U2,“）是流速，T是温度，“、之是粘性系数, 入是传热系数，P是压强，Cp是定压比热，R是气体常数，*表示粘 滞力的张量，6j是Kronecker记号，即,L1,i - jj 0,i 二 j当流体为不可压缩时，

8、P是长和数；又若不计温度的变化，这（9.10）化为不可压缩流体的 Navier-Stockes方程c dUi 1 jp、 i U0,-=-J：uii ；:xidt ： ；:x :取P三1,并利用（9.11）,这上述方程组为:ui ；:t3z3.-3八 Uj业= 0,i =1,2,3j 1二 xj二 xi3二0i4 ；X这是关于P，Ui，U2，U3的非线性方程组。在热平衡问题中，如果热传导系数是常数，但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的热源，则可得u = f(x,u,q u)在微分几何中，若要求出中曲率£为已知的曲面时，就需要求解2rt -s = f (x,y,u, p,q)其中p

9、= Ux，q=U，=息s Uy牡Uy这个方程称为蒙日一安培尔(Monge-Ampere) 方程。上面我们已经从不同的问题引入了 一些非线性方程或方程组，现在再对它们作一些比较。方程（9.14）中的最高阶导数（即二阶导数）部分纯粹是线性得，它的非线性只出现在函数 u及其一阶导数项，这样的方程称为 半线性方程，方程组（9.13）也是半线性的；方程（9.8）对最高阶导数（二阶导数项）来说是线性的，但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数（那里是一阶导数），这样的方程称为 拟线性的；方程（9.15）的特点是对最高阶导数（二阶导数）也是非线性的， 这样的方程称为完全非线性（或真正非线性）方程。显而易见，

10、完全 非线性方程的非线性程度最高，半线性方程的非线性程度最低，拟线 性方程的非线性程度介于两者之间。对于非线性偏微分方程，一般说来是无法求出解的表达式，只能 求其近似解。但对一些很特殊的情形，通过适当的未知函数的变换将 方程化成线性方程，或者经过适当的数学处理化成可以求解的方程， 下面举例说明。例1在流体力学中有一个很重要的比尔吉斯（Burgers）方程ut +uux = Juxx（9.16）这是一个二阶偏微分方程，为了解这个方程，令 u=Vx,再对x积分一 次可得1 2vt - Vx - Vxx2再令v 二 一2 j-ln则得xx这是一维的线性热传导方程，对它的各种定解问题可以用第二、三中的

11、方法求出它的解，有了中之后可以求出u。例2在微分几何中遇到如下Liouville方程3 = eu（9.17）二 x：y这是一个半线性的二阶方程。若令u .是二 0 .:x.:y的解，再构造一个偏微分方程组11.里一包 pe尸)汉ex1.二 u 二 u2 2(u-u)=-e:y :y其中P是常数。通过计算可以验证：若u是（9.19）的解，则u必是（9.17） 的解。有第三章已知，（9.18）的解总可以写成u (x, y) = f(x) g(y)其中f,g是任意可微函数。有了 W再解（9.19）,最后可得（9.17）的exp( f(x) -g(y)/2u = 21n通解1 112 (exp f (

12、x)dx + e exp(-g(y)dy与线性方程相比，非线性方程还有一个特点，即它的解即使存在, 也不一定对所有的时间t之0都存在（当然假定方程中含有时间变量t）,而只是再某个有限时间内存在，见下例例3考虑Riccati方程的初值问题fdvI=dtv(0)v2,t 0=v0 (v0是常数)(8.20)容易求出它的解v(t)=V01 一 V0显然，若v0<0,则（9.20）的解对所有t之0都存在，简称整体存在；dt即u在每一条特征线上取常数值。由（9.24）知特征线是直线，通过(9.22)(9.23)(9.(24)(9.(25)若V0A0,则当tT1时，V（t）T收，这时解在时刻t0=1

13、产生破裂，所VoVo以（9.20）只在。,工）内有解，简称解是 局部存在的。vo§ 9.3单个守恒律激波在这一节内，我们将研究形如ut 十 f （u）x = 0（9.21）的一阶非线性双曲型方程初值问题。由于方程（9.21）左端是散度形 式，通常将它称为守恒律。我们将要指出这个方程的解可能产生间断， 并着重介绍激波的概念。先看一个特伤即考虑Burgers方程的初值问题ut uux =0,t 0,-二:：x 二 二, u（x,o）=q：（x）,-二：x :二，在这个问题古典解（C1类解）存在的范围内，可由dx u（x,t） dt定义其特征线。显然，沿着特征线有du八0点（Xo,0）的特

14、征线为x =(%)tXo在其上u = 9(%)(9.26)设中(x)的C1模有界(即sup®(x) +sup中'(x) E M ),且t较小，则有=(Xo)t 1 0 . x0故由(9.25)可得Xo = (X,t)代入(9.26)即得问题(9.22), (9.23)的解为u 二q、：(x,t)这说明，这个问题总存在惟一的局部古典解。但是，只要中(x)不是一个单调不减函数，在 X轴上必存在两点 (Xi,0), (X2,0)使得：K 二 X2但(%)生)这时，过此二点的特征线x= (Xi)t x,i =1,2必在有限时刻相交，在交点处解就不能惟一地确定，即初值问题不可 能在t

15、>0内存在整体的古典解。这种现象在力学里对应于形成激波。上述讨论可以用于一般的单个守恒律(9.21),考虑这个方程具 有初始条件(9.23)的初值问题。和前面类似，如果存在点 Xi<X2, 使得：11mi 二 :二 m2f ( (X1)f ( (X2)则从点(X1,0) , (X2,0)出发的特征线l1与l2将在t>0内某点P相交, 沿li，u(X,t)”(Xi),i =1,2。因此，在点P解必须间断，即使初值平(X)与函 数f充分光滑，甚至是解析的，仍然如此，即这个现象完全是由于方 程的非线性所致。为了把这个问题说得更清楚一点，设f满足凸性条件(图9.1)厂>0(9.

16、27)在t>0内任取一点(x,t),以y(x,t)表示通过(x,t)的特征线与x轴的 交点的横坐标。因为沿着特征线u是常数，且tf (u(y) =x-y可见u必须由下列隐式关系来确定u(x,t) =3(xtf'(u(x,t)(9.28)若干是可微的，利用隐函数存在定理，对充分小的t,由(9.28)解得 u ,且f (u)；ut 二-1： f (u)tux 二 一1： f (u)t因此，若阴x)之0,则对所有t20, ux和ut保持有界，且解是整体 存在的;如果在某点 *0,则当1+8f“(u)t=0时，ux与ut变成无界的, 即古典解不可能整体存在。上面的分析表明，为了研究初值问

17、题(9.21), (9.23),必须推广 解的概念。为了推广解的概念，令Rg(x,t) 3<x<ft20。在C1(R2)内任 取一个函数中(x,t)，使它当|x及t充分大时恒等于零，用中乘方程(9.21) 的两端后再在R2内积分，利用分部积分法及中的条件可得产(uWt +f (u)U)dxdt+%(x)中(x,0)dx = 0(9.29)0ix、/我们把满足(9.29)的函数u称为问题(9.21), (9.23)的广义解(或 弱解)。显然，若u是古典解，则它必是广义解。值得指出的是，并不是每个间断函数都可以作为问题(9.21),(9.23)的广义解，表达式(9.29)对解的间断性强

18、加可苛刻的限制,为了说明这一点，设r是一光滑曲线，u在其上由阶跃间断，但除以 外，u是光滑的。在上任取一点P,以B表示以P为圆心的小球(图(9.(30)(9.(31)9.2),假设在B内由方程x = x(t)表示。任给”C0(B),由(9.29)得:0 = (u- t f'- x)dxdt = (u1-1 f'- x)dxdt (u- tf'- x)dxdt''BB1B2由于u在B(i =1,2)内是C1的，利用散度定理得! (u - t f - x)dxdt =(u jt (f jx)dxdtBiBi=(-udx fdt),i =1,2:Bi因在田上中

19、=0,这些线积分仅在F上是非零ui =u(x(t)-0,t),u=u(x(t)+0,t),则Q2 .1(-udx fdt) =(-uldx f(ul)dt),巨Qi(-udx fdt)=B2,Q1(-urdx f (ur)dt)因此0 = J (-udx f(u)dt)(9.32)(9.33)其中u =Ul -Ur,f (u) = f (Ui) - f (Ur)分别是u与f(u)沿着的阶跃。因中为任意，故其中s=dx为间断线的速度。dt公式（9.34）反映了 u与f（u）在F上的阶跃与F的速度之间的关系， 这个关系称为阶跃关系，在气体动力学总就是熟知的 Rankine-Hugoniot 条件。

20、对于广义解而言，有可能丧失惟一性，例如Burgers方程（9.22）, 如果初值取为：0,x ：0 (x)=1,x 0容易验证上述初值问题有两个解0, x :2Ui(X)=t1,X 20,x<0x - u2(x) = 一 ,0 ： x : tt1,x t这两个解在扇形0<xMt内完全不同，有趣的是，也是连续函数。这说 明连续解可能具有部连续的初值，这一点与线性方程也完全不同。既然广义解不一定是惟一的，那么如何区分物理上说需要的解?可以证明单个守恒律方程（9.21）存在惟一的满足下列所谓嫡条件(9.35)u（x a,t）-U（X,t）<E,a 0,t 0at的解，其中E不依赖于

21、x,t及a。从条彳（ 9.27）及（9.35）可知，当x增大时解的阶跃是下降的,及Ui ur,如果我们将阶跃条件（9.34）写成s（一皿=”）ul Ur其中Ul . .ur,则在凸性条件（9.27）之下，得到下列嫡不等式这表明间断线的速度介于介于间断线两侧的特征速度 （注意，守恒律（9.21）的特征线由 匹=l,dx= f5）确定）之间。 ds ds满足条件（9.34）与（9.36）的间断线称为激波，s也称为激波的速度。§ 9.4 KdV方程孤立子1895年脱维克（Korleweg）和德伏莱斯（de Vries）在研究水波时导出了如下形式的半线性方程（简称KdVfangcheng）:

22、ut uux Kuxxx =0不失一般性，不妨设K >0 （事实上，通过变换u 1 -u, X -x,tr t总可以将K <0情形化成K >0的情形）。(9.37)现在来寻求方程（9.37）的平面前进波（或简称行波）解，令u(x,t) =u),巴=x-ct , c是常数，(9.38)将（9.38）代入（9.37）得-cu uu Ku = 0对之积分一次得cu+1u2+Ku比=A , A为任意常数2用u竦（9.39）并对积分，得(9.(39)3Ku2 = -u3 3cu2 6Au 6B = f(u)(9.(40)16K-f(u) =0(9.(41)如果将。与u分别理解为时间坐标

23、与空间坐标，则（9.41）能视为举单位质量的质点在势1 f(u)的作用下运动的能量关系。6K从方程(9.41)可以看出，如果f(c)=0,则u = c是KdV方程的解，这个解称为定常解；只有当f(u)之0时，KdV方程才可能有实的 行波解。由于f(u)是u的三次方程，不外有两种可能性：(i ) f仅有一个实的零点(如图9.3所示)，这时为了获得实的行波解，只能在uWG内考虑，在这个区域内dud-11二一叱)2(9.42)假设f<c”0 (否则u=g不可能是f(u)的单重实零点)，则(9.42)存在满足u = 0 = ci的解。由于当u-> + 8时，f t收，故这个解是无界的。(11) f有三个实的零点:；，不妨设«这时f (u)可以表示成f(u) = (u-：')(u-0)(u -u)(9.43)我们比较(9.40)与(9.43)可得c(：)3A 二氐")