鞅鞅的基本概念和性质

1、第二节 鞅的基本概念和性质定义1-2-1设(QF ,P)为概率空间，%,t wT为概率空间上的一族随机变量，则称X,t wT为概率空间(C,F ,P)上的随机过程。注1-2-1 由随机过程的定义知，对固定的twT, %为(C,F ,P)上的随机变量， 对固定的0WC, xt)为t的函数。以后设T =10,1,2,或丁 = b,y)Uy。定义1-2-2 设X =&t,twT为概率空间(Q,F,P)上的随机过程，如果(a) X是FJ曰是适应的(b) Ek'ftwT(c) 对-s ；t,s,t . T,E lxt|xs 1= xs,a.e.则称 X =Xt,twT为FJta 的鞅。如

2、果有(c)对 Vs <t,s,t w T,E kt|xs k xs, ae.则称X =xt,teT为Ft2的上鞅。如果有(c)对 Vs <t,s,tE k|xs 卜 xs,a.e则称X =x" WT为Ft2的下鞅。注1-2-2 如果X是上鞅，则-X为下鞅。如果X既是上鞅又是下鞅，则 X为 鞅。注1-2-3 由定义1-2-2的条件c可知，如果X是鞅，则对 Vs,twT,都有 E Xs = E 1。 事实上，取片st,则<s,t0 <t,E xs|Ft0 Lxt0,Exs|Ft0 l=xt0于是Exs=EExsFt0LEJxt0】EXt=EEXtFt。所以eXsL

3、e!X。如果X是下鞅，Vs<t,s,twT,都有E Ixt 1 _ E Ixs 1事实上，取t0,s<t0 <t ,则EIXtkEEiXt'FMLEL日儿=EEXtoFsLEXsl所以E Xt 1 _ E Xto 1 _ E lxs I同样地，X是上鞅，Vs <t,s,t w T ,者B有Ek k e1xs （习题 1-2-1）例1设 yn，n20为相互独立的随机变量，且Eyn <8 , Eyn =0,n主0. gk是k 维的Borel可测函数，令bn =gn（y0,y1,yn,），n - 1并假设Efbnpc, n之1。定义随机变量的序列nXn =xO

4、+£ bkyk,（x°为常数） kdFn 二:一"0,丫1,，yn）,n -1则5尸口小至1是鞅。事实上， nXn|X0 +£ |bk| Yk kf nEXn kE'x0+£ Ebk| yk <0°k 1Xn 1 二 xnElXn.FnLEXnFnl+EbnMndFn= Ebniyn.lFnl因为bn 1 = gn（yo, yi, .yn,） - Bn所以bn书是Fn可测的，故Ebn 书yn 书 Fn】=bn 书Eyn*Fn又因为yn书和yn是独立的，仃（yn4）与Fn =。“0,必,yn）也独立，故EnlFnEn J

5、= 0E Xn1 F n I = Xn由此知%小之1是鞅。这个例子的直观意思为，设赌徒每局赢的概率为名,事件yn=1表示第局赢，yn = -1表示第n局输，所以P yn =1 = P yn =T = 12Eynl = 0假定yn，n岂0是独立的，而赌者在第n局的策略gn依赖于以前n-1局的战绩, 即赌注bn是yn,y2,y1 ,y。的函数,我们记之为bn = g yO,y1,yn则第n局的盈亏为nXn =X0 八 bkYkk£这里设初始赌注为X0之0 ,于是我们可知EXn -Xn/=0即，平均地讲，净利的平均值为零。事实上E Xn - xn j 1 = E Xn I - E Xn1=

6、EEk'Fn口-Ek】-EXnJ I - ElXnJ I - 0例2 Doob的鞅过程设yn,n之0是随机变量序列，X 是随机变量，EX】<s .令Fn =o(yo,yi,.,yn),Xn =EXFn则xn，Fn,n之口是鞅。它 被称为Doob的鞅过程。事实上，Exn =ete1X Fn柜网Fn。= e|x】<8又Ekn/n】=EEkFn/Fn=EXFn】=xn定理1-2-1 设yt,Ft,t ”是鞅(或下鞅)，则(1) & +yt,Ft,t是鞅(或下鞅)；(2) &tMyt,Ft,tT是下鞅;(3)&Ayt,Ft,t ”是上鞅。证明：(2)设 之

7、yt ,则 E vyt Fs 】=E(xt Fs 巨 xs。又 Ek Fsl> E)yt Fs 】之 ys ,所以，E Xt vytFs !>Xs vyso习题 1-2-2:证明(1) (3)。定理1-2-2(1)设&t,Ft,t之丁是鞅，f是定义在R'上的凸函数。如果对一切YT, EF(x)<g,则f (xt),Ft,t 丁是下鞅。(2)设了小”是下鞅，f是定义在R'上的非降凸函数。如果对一切 HT, EF(Xt) <笛，则f(Xt),Ft,tWT)是下鞅。(3)设机£,匕丁是上鞅，f是定义在R'上的非降凹函数。如果对一切twT,EF(Xt)<g,则f(x)Ft,twT是上鞅。证明:(2)因为做£之T是下鞅,所以Et|Fs 1_ xs因为f非降，f EXt|Fsl . f xs又因为f是凸函数，f EXt|Fsl < Ef XtiFs所以Ef(xt )|Fs之 f(EXtFj)之 f(xs )0习题 1-2-3:证明(1) (3)。推论1-2-1 设xt,Ft,t ”是鞅(或非负下鞅)，九之1,且对VtwT, | xt |M积，则| x2,Ft，t至T是下鞅。证明：习题1-2-4推论1-2-2 如果&t,Ft,t至T