鞅离散鞅的收敛定理

1、第四节离散鞅的收敛定理设* =Xn；0wnwM为一数列，a,b为一闭区间，如果 Xk <a, Xk+>b,则称该数列上穿a,b一次。'minn;0 < n < M , X n < aM +1,Xn > a,0 < n < M，minn;和 < n < M ,Xn 4 bM 十 1,Xn <b,T1 <n < Mmin n;o：1 < n < M , Xn < aM +1,Xn >a,<71 < n < Mminn; 2 < n < M , Xn <

2、bM 1,Xn < b, 2 < n < Mminn;。y < n < M ,Xn < aM +1,Xn >a产k<n <M"minn；Tk < n < M , Xn < bM +1,Xn <bjk <n<M于是X, <a,XCT之b,数列穿过a,b一次，X? <a,XQ2之b ,数列穿过a,b两次，如此下去，X <a,X >b ,数列穿过a,bk次，在这里都假设%,5 <M ,1 <i <k o定义1-4-1仃k WM的最大的k称为数列X =Xn；0W

3、nWM上穿a,b的次数,记为Vab o若。1 = M+1 ,则令Vab =00定理1-4-1 （上穿不等式）设X =Xn；0En EM为下鞅，则b 1一一EVa - - -E(Xm -a) -E(X° -a) b - a1-EXn |a| b -a证明：令Yn =(Xn -a)+,0n <M，则由定理1-3-2的推论1-3-2知Yn也是下鞅。易见，若Xn穿过a,b一次，即XT <a,Xa >b,则Y年=0,丫仃2b a,即工穿过0,b-a一次。所以Yn穿过0,b-a的次数也是V，且由Xn在a,b上定义的k,Ok和由Yn在0,b -a上定义的Tk,Ok相同。再令二0

4、=0,.M 1 = M 1, Ym 1 =Ym则(1)(2)MM 1YM -工 J (Yk =I 八，Yki)k 4k4一Vab是0的函数，设Vab(w) = r >0,则Y. ( ) -Yk( ) .b -a, k =1,2, ,r 、-k.kYk ( )-Yk( ) ,0, k rM' M«)-Y.k( ) .(b-a), r =(b-a)V；() k =1当r =0时，上式仍成立。ME(Yk -Y.k) -(b-a)EVabk：又因为“产k是有界停时，且 时2仃7,故由定理1-3-2知E(YlFg)之=EY%之 E%JM 1M 1从而E£ (Y工 一Y繇

5、，=£ E(YQ E(Yh，之 0(3)k 1k工由式(1) (2) (3)知MM 1EYm -EY0 =EYm -Y。 =E(Yk 一丫/) ' (丫卜-Y：q)k=1k=1-(b-a)EVab由止匕得EVab三 1 E(Ym )E(Y°) = 1 E(Xm a) E(X0 a)b-ab-a又因为(Xm -a) < Xm |a|,所以b 1EVa s EXn |a|.b - a定理1-4-2 设X =Xn；n之0为下鞅，满足条件supE| Xn 卜二oO记FM = k%Fk,则存在F%可测的随机变量X处满足 k 0limXn=X.a.e.n F：-证明：令A

6、= ;lim Xn( ) < lim Xn( )n j： ：n '3A(a,b) = ;lim Xn( ) : a : b ： lim Xn( ) n j： ：n，二则A, A(a,b) w F力 记Q为有理数全体，则A= U A(a,b)(习题1-4-1证明此式) a :ba,b 三QVab表小(M)。由往证P(A) =0，令Vab(M)为X0,Xi，Xm上穿a,b的次数，X0,Xi,X2，上穿a,b的次数。显然Vab(M)单调非减， ',0 3 - 1ab1EVa (M) EXn |a|.b - a所以1 supE(|XM |) - |a| b -a m _o b 1

7、由此知EVa - supE(|Xn |) |a|：二二 b - a n oP(Vab ”)=1由上极限和下极限的定义知A(a,b) ； ；Vab()=:)故P(A(a,b) =0,P(A) =0 .所以lim Xn几乎处处存在。记 n >=lim Xn )二lim Xn = Xia.e.n %由Fatou引理得E|X:| <lim E| Xn | <sup| Xn 卜二二n )-n_0江1-4-1 因为印 Xn| =2EX； -EXn M2EXn . EX。所以条件SUpE| Xn | M - 可以减弱为SUpEXn <2。 n 0n 0推论1-4-1 设* =Xn;0

8、 wn wM为非负上鞅，则啊 Xn =X 二 F 二，a.e.证明：因为Xn为上鞅，所以-Xn为下鞅，所以E| -Xn | =EXn MEXi:二二nim.Xn)=X： F 二，a.e.nmXn=-Xg 三 x»a.e.END定义1-4-2 X =Xn;n主0为随机序列，称X为一致可积的，如果lim|Xn|_，|Xn dP =0关于n之0一致成立。定理1-4-3 设X =Xn;n至0是鞅(下鞅)，且一致可积，则存在可积的随机变量X4X /于F妙可测，使(i ) lim Xn X .a.e.n_：''(ii)nmEXn-X(iii) Xn;0En£g是鞅(下鞅

9、)，即对一切n>0,都有EX 二 |Fn =Xn(Xn),ae证明：因为X =Xn;n *0一致可积，所以当九充分大时，对n 一致地有E|Xn|qXn1HxndP+TxnnWPC+E由此可知，supEXn <°° O由定理 1-4-2知，存在Feo可测且可积的 Xg,使 n _0nim?n =X笛，a.e.。VA- Fn=Fg,因为EXm |Fn =Xn,由条件概率的定义知.XndP = . XmdP = EXmIA > EX 二 IA,m，二 AA再由条件概率的定义和性质知，EXg|Fn=Xn(*Xn), ae (习题1-4-1证明下鞅的情形)END推论

10、1-4-2 设Fn，n至0为仃代数流，Fs= v Fn , Y是可积的随机变量，令 n - n -0Xn=EYFn, n .0,则(i)Xn 一致可积(ii) lim Xn = EY| F J a,e.,且 lim E | Xn E(Y iFg) |= 0 nn证明：(i)由马尔科夫不等式P(|Xn |- ) < -E |Xn 花 JE|Y| > 0, 一:所以| Xn|dP <|Y |dP|Xn|_” n 1|Xn|l 1一 |Y|：k |Xn|上1 Y|dP|Y| k |Xn|W：j Y 1dp=k何”(1但|Y |dP|Xn|_，= kP(|Xn|-)对Vw >0

11、,三K,当k >K时,|Y|为1 Y|dP对所取的k ,取充分大的儿,kP(|Xn |-')所以九充分大时,k 胤1 Xn 1dp，Xn一致可积。(ii)因为EXn + |Fn = EEY|Fn+|Fn = EY |Fn = Xn ,所以Xn;n20是鞅，又因为Xn;n0 一致可积，由定理1-4-3知存在X产已,E IX«Ic00 ,使得 limXn=X% a.e.o n :往证X.mEIYIFJ.因为E|Xn -x：| > 0, n ：所以对- A F 一EXnlA > EXa, n 一二从而对VA Fn c F,有JdP = AXndP > X：d

12、P, n > 二 AAA所以EYIa=EX：aqQf qQ、上式对VAwUFn成立。由九-系法知，对VAW。UFn上式也成立。由条件 n z0n=0概率的定义知X£=EY|FJend定义1-4-3 称Fn,n20是反向子仃代数流，如果F0 二 Fi 二 F2定义1-4-4称*=*0，口之0为5口门之0的反向鞅(反向上鞅或反向下鞅), 如果(D Xn是Fn可测的，且E|Xn |< °°(2) )Ctm>n, EXn Fm=Xm (相应的 E或之)例：设Z为随机变量，Yn，n20是随机变量序列，且E|Z|<令Fn =；(Yn,Yn1, ), n

13、 =0,1,2,Xn =EZ |Fn则Xn,n至0是Fn,n之0的反向鞅。显然Fn1 Fn Fn二,二 Fo设m An ,则EXn |Fm = EEZ |Fn |Fm = EZ|Fm =XmQO定理1-4-4 设X =Xn, n20为反向下鞅，则存在H Fn可测的随机变量x”，n=0lim Xn = Xa.e.证明：令Vab(n)为Xn，Xn,，x。上穿a,b的次数，Vab为Xn,n±0上穿a,b的次数，显然因为令n t笛，得记Vab-lim Vab(n)b1-EVa(b旧X0:b 1一EVa工旧I 1aA - ; lim Xn( ) ： lim Xn( )nt：n ： .A(a,b

14、) - ;lim Xn( ) ： a ： b ： lim Xn( )nT：n >二A - U A(a,b)a :ba,b 三Q由式(1)知，P(Vab <8) =1。现在说明 A(a,b)u0；Vab(。)= +叼。事实上，V« e A(a,b),lim Xn( ) ： a : b < lim Xn()n .n >二于是有Xnkk ' ：二 a, k -1, n1：二 n2 :二：二 a :二且有 mk, k 之1 ,满足 n1 < m1, n2 < m2，nk < mk, mkc mk,使Xmk( ) b, k-1所以Vab( )二

15、二，A(a,b) ;Vab(w)=二0 < P(A(a,b) < P(Vab =二)=0P(A) = p. P(A(a,b) -0a,b- Q故nmX n几乎处处存在，令Xq = nmXn,则X q是F 0c可测的。END定理1-4-5 设Xn, n之0使反向下鞅，如果lim EX n 飞二, n一r则有(1)Xn 一致可积。CO(2)存在F Fn可测且可积的随机变量Xq,使 n 4lim Xn = X 二一，a.e.n)二二一.lim E |Xn -X_.|=0nj 二二-证明：首先，EXn是不增的。事实上，对ncmEXn |Fm _XmEEXn |Fm _EXmEXn -EXm所以存在c使lim EXn =c。 n ),往证Xn一致可积。对Vs>0,取k,n,且k<n,使EXk-nimcEXn <|, EXn-EXk <|EXk -EXn EXn -nmEXnEXk -EXn：；fXndP > (XkdP -S(1)又XndP=XndP-XndP|Xn "Xn -Xn =XndPXndP - XndPX n - /.Xn ,若n之k,由反向下鞅的性质，不等式（1）及Exn不增的事实可知上式右边三 XkdPXk 'XnXkdP- XkdP二|Xk |dP |X