顶点覆盖问题的NP完全证明和近似算法求解

1、顶点覆盖问题的NP完全证明和顶点覆盖优化问题的近似算法顶点覆盖(VERTEX COVER给定一个无向图G =(V,E)和一个正整数k ,若存在V'EV , V'=k,使得对 任意的(u,v)wE,都有uwV'或vwV',则称V'为图G的一个大小为k的顶点覆 盖。顶点覆盖问题的描述判定问题：VERTEX COVER输 入：无向图G =(V,E),正整数k问 题：G中是否存在一个大小为k的顶点覆盖，这是一个NP完全问题 顶点覆盖的NP完全性证明NP性的证明：对给定的无向图G =(V, E),若顶点VRV是图G的一个大小为k顶点的覆 盖，则可以构造一个确定性的

2、算法，以多项式的时间验证 V'=k,及对所有的 (u,v)WE ,是否有uWV'或vWV'。因此顶点覆盖问题是一个 NP问题。完全性的证明：我们已知团集(CLIQUE问题是一个NP完全问题，若团集问题归约于顶点 覆盖问题，即CLIQUE otpoiyVERTEX COVER ,则顶点覆盖问题就是一个 NP完全 p5y问题。我们可以利用无向图的补图来说明这个问题。若向图G=(V,E),则G的补图G =(V, E),其中E =(u,v)|(u,v)正E。例如，图1(b)是图1(a)的补图。在图 1(a)中有一个大小为3的团集u,v,y,在图1(b)中，则有一个大小为2的顶点

3、覆盖v,w。显然可以在多项式时间里构造图G的补图Go因此，只要证明图G =(V,E)有一个大小为|V|-k的团集，当且仅当它的补图 G有一个大小为k的 顶点覆盖。图1无向图及补图必要性：如果G中有一个大小为|V | -k的团集，则它具有一个大小为|V | -k 个顶点的完全子图，令这|V|*个顶点集合为V'o令(u,v)是E中的任意一条边， 则(u,v)里E。所以(u,v)中必有一个顶点不属于V',即(u,v)中必有一个顶点属于 V -V,也就是边(u,v)被V -V覆盖。因为(u,v)是E中的任意一条边，因此，E中的边都被覆盖，所以，V-V是G的一个大小为|V-V'|

4、=k的顶点覆盖。充分性：如果G中有一个大小为k的顶点覆盖，令这个顶点覆盖为V' , （u,v） 是E中的任意一条边，则u和v至少有一个顶点属于Vo因此，对于任意的顶点 u和v,若u WV V'并且vwv V' ,则必然有（u,v）w E ,即V-V是G中一个大 小为的|V|-k的团集。综上所述，团集（CLIQUE问题归约于顶点覆盖（VERTEKOVEJR问题，即 CLIQUE a poiyVERTEX COVER。所以，顶点覆盖问题是一个 NP完全问题。顶点覆盖优化问题的近似算法上面已经证得，顶点覆盖问题是一个 NP完全问题，因此，没有一个确定性 的多项式时间算法来解它

5、。顶点覆盖的优化问题是找出图中的最小顶点覆盖。 为 了用近似算法解决这个问题，假设顶点用 0,1，,n1编号，并用下面的邻接表来存放顶点与顶点之间的关联边。/*/*/*邻接表结点的数据结构*/邻接结点的编号*/下一个邻接顶点*/struct adj_list int v num; struct adj _list * next;typedef struct adj _ list NODE;NODE Vn;/*图G的邻接表头结点*/则顶点覆盖问题的近似算法的求解步骤可以叙述如下:(1)(2)(3)(4)(5)顶点的初始编号u=0;如果顶点u存在关联边，转到步骤（3）,否则，转到步骤（5）;令关联

6、边为（u,v）,把顶点u和顶点v登记到顶点覆盖C中；删去与顶点u和顶点v关联的所有边；u =u+1 ,如果u <n ,转到步骤（2）,否则，算法结束。算法的实现过程叙述如下：算法名称：顶点覆盖优化问题的近似算法；输 入：无向图G的邻接表V口，顶点个数为n；输 出：图G的顶点覆盖C口，C中的顶点个数为m1. .vertex_cover_app(NODE *V, int n,int C, int & m)2. 3. NODE p, p1;4. int u, v;5. m = 0;6. for (u = 0;u ： n; u 一，儿7. p =Vu next;8. if ( p! =

7、NULL )/*如果u存在关联边*/9. Cm =u;Cm+1 = v = p t v_ num;m + 2;10. while(p!= NULL )/*则选取边(u,v)的顶点*/11. delete_e( pT v_ num,u); /* 删去与u有关联的所有边*/12. p = p > next;13. 14. Vu next = NULL ;15. pl =Vv next;16. while (p!= NULL )/*删去与v关联的所有边*/17. delete_e( p-»v_num,v);18. p = pnext;19. 20. Vv next - NULL ;2

8、1. 22. 算法说明：这个算法用数组C来存放顶点覆盖中的各个顶点，用变量m来存放数组C中 的顶点个数。开始时，把变量 m初始化为0,把顶点的编号u初始化为00然后 从顶点u开始，如果顶点u存在着关联边，就把顶点u及其一个邻接点v登记到 数组C中。并删去与顶点 u和顶点v的所有关联边。其中，第 11行的函数 delete_e( pt v_ num,u)用来删去顶点pT v_ num与顶点u相邻接的登记项；第 17行函数delete_e( p-» v_ num,v)用来删去顶点pT v_ num与顶点v相邻接的 登记项；第14行和20行分别把顶点u和顶点v的邻接表头结点的链指针置为空，

9、 从而分别删去这两个顶点与其他顶点相邻接的所有登记项。经过这样的处理，就把顶点u及顶点v的所有关联边删去。这种处理一直进行，直到图 G中的所有边 都被删去为止。最后，在数组C中存放着图G的顶点覆盖中的各个顶点编号，变 量m表示数组C中登记的顶点个数。图2表示了这种处理过程。图2(a)表示图G的初始状态；图2(b)表示选择 边(a,b),把关联边的顶点a及b放进数组C中，并删去顶点a及顶点b相关联的 所有边，这里删去边(a,b), (a,g)及(a, j);图2(c)表示选择边(c,d),把关联该 边的顶点c和顶点d放进数组C中，并删去边(c, d), (c,g)及(d,i)；这个过程一 直进行

10、，图2(g)表示最后得到的结果。整个处理过程共选择了 6条边上的12个 顶点，作为图的一个顶点覆盖，他们是 a,b,c,d,e, f,g,h, j,k,l,m。可以看到，它 不是图G的最小的顶点覆盖。图2(h)表示图G的一个最小的顶点覆盖，它有 7 个顶点，分别是a,c, f ,h,i,k,l o(a)(b)(g)(h)图2算法处理过程图算法近似性能估计：下面来估计这个算法的近似性能。假定算法所选取的边集为E',则这些边 的关联边顶点被作为顶点覆盖中的顶点，放进数组C中。因为一旦选择了某条边， 例如边（a,b）,则与顶点a和顶点b相关联的所有边均删去。再次选择第2条边时， 第2条边与第1条边将不会具有公共顶点，则边集中的所有的边都不会具有公共