高数公式合集

1、高数公式合集 导数公式：2(tgx) =sec x(ctgx) = -csc2 x(secx) = secx tgx (cscx) = -cscx ctgx (ax)=axln a1(log a x)xlna,、1(arcsin x) = .1 - x2/、1(arccos x)= 一一: 一 1 - x2,1 、1(arctgx ) =-_21 x1(arcctgx ) = 21 x基本积分表：tgxdx = -ln cosx C ctgxdx = In sinx Cssecxdx = In secx +tgx + Cdx.2-cos xdx一一2 sin x2= sec xdx = tgx

2、 C2.八= csc xdx - -ctgx Cc cscxdx = In cscx -ctgx + Csecx tgxdx = secx Cdx.2a x二-arctg Cdx-2 ：x -adx-2 ：a -xdxaln2aln2aax -ax +aa x 八C a -xcscx ctgxdx = -cscx Cxaxdx =-a C ln ashxdx = chx Cchxdx = shx CIn.x 小=arcsin- C adx22 一=ln( x . x _ a ) C：x2 -a2=sin n xdx =.cosn -1xdx =I n 2n222 .x a dx2VT77 +1

3、mxzx22a2) C三角函数的有理式积分:-x2dxx 22= x - a2222 . a . x-x 一arcsin - Cln x +vx2 -a2 +C 2u sin x =r, cosx1 u21 -u21 u2', 2dudx 二；1 u2一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦双曲余弦双曲正切x_x, e -e:shx :2x_x, e e:chx 二2x, shx ex -e:thx =二-chx e esin x /lim =1x 0 xlim （1）x = e = 2.718281828459045 x xarshx = ln（x - 三 x2 1）archx - _l

4、n（x , x2 -1）1 1 x arthx In 2 1-x和差角公式:三角函数公式: ,诱导公式：国数角4、sincostgCtg-a-sin aCOs a-tg a-Ctg a90 - aCOS asin aCtg atg a90 + aCOS a-sin a-Ctg a-tg a180 -asin a-COs a-tg a-Ctg a180 + a-sin a-COs atg aCtg a270 - a-COS a-sin aCtg atg a270 + a-COs asin a-Ctg a-tg a360 - a-sin aCOs a-tg a-Ctg a360 + asin aC

5、Os atg aCtg a和差化积公式:cos（'工二 P ）tg（二-：）=sin（'1二 P） =sin : cos。- cos- sin= cos: cos : "sin : sintg 二-tg :1 二 tg 二 tg -"）=ccr a + P a - Psin 工" sin - = 2 sincos22r a + P a - Psin； 一sin - =2 cossin22自 a + P a - Pcos： rcos - - 2 coscos22自 a + P a -Pcos- -cos - =2sinsin倍角公式:sin 2：co

6、s2 二ctg2：tg2：=二2sin = cos 二222= 2cos : -1 =1-2sin : - cos ;一一 2ctg 12ctg ;2tg：1 -tg2«-sin2 ：3sin3：= 3sin二 一4sin :3cos3二4cos 二一3cos二3,c 3tg： -tg 一(tg3： =-1-3tg2：半角公式:CLsin 一 =2atg2 = _21 一 cos 二,1 cos -：i正弦定理：-asin A1 -cos:sin ;sin B反三角函数性质： arcsin x高阶导数公式一一莱布尼兹(n)(uv)nx c k (n -k) (k)二 CnU Vk =

7、01 cos"=2R sin C元 .arccosx 2Leibniz )公式:(n)=u V(n). n(n -1) nu v 2!中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理:a cos 2_1 cos：a函万=一1 cos：1 cos：.1 - cos .： sin ：1 一 cos*余弦定理：c2 = a2 - b2 -2abcosCjiarctgx =arcctgx2(n2) . n(n -1) (n - k 1) (n_k) (k).(n)u V u v uvk!f(b)-f(a) = f ( )(b-a)柯西中值定理：f(b) - f (a) =f(F(b) -F(a) F (

8、)当F(x)=x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式：ds = 11 + y °dx,其中y'=tgo(平均曲率：K = |詈卜a:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；$：MM弧长。b矩形法：f(x)ab梯形法：f(x)ajy。yn)yiynM点的曲率：K=lim -0 ss直线：K =0;半径为a的圆：K=L a定积分的近似计算:b - a(y。 yiyn)n“，b - b -ayn)抛物线法：f (x)(y。 yn) 2(y2 y4yn/) 4(yi 、3a3n定积分应用相关公式: 功：W = F s水压力：F p A引力：F=km等,k为引力系数 r

9、函数的平均值：y =b -abf(x)dxa均方根：1b -ab.f2(t)dta空间解析几何和向量代数:空间 2点的距离：d =|M 1M 2 = J(x2 -x1)2 +(y2 y1)2 +(z2 z1)2 向量在轴上的投影：PrjuAB = AB cos。w是AB与u轴的夹角。Pr ju (a1 a2) = Pr ja1 Pr ja2a b =1a b cos日=axbx +ayby +azbz,是一个数量，两向量之间的夹角:cosuaxbxaybyazbz222,2,2,2ic =a Mb = ax bxaxay az _ bxbybzj k一v = w r.ay az, c = a，

10、b sin 8.例：线速度:axay向量的混合积：Obc = (3父b) c =bxbyCxcy代表平行六面体的体积by bz azbz =a=<b ,c cosct 为锐角时,Cz平面的方程：1、点法式:A(x -x0) B(y -y0) C(z-z0) =0,其中 n =A,B,C, M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax By Cz D =03、截距世方程：x y -=1a b c平面外任意一点到该平 面的距离：d =lAx0 + By0+Cz0 + D.,A2 B2 C2x = x0 mt空间直线的方程：立至=上效=05,其中！=,"可;参数方程：y=y0+nt m

11、 n p、z= Zo + pt二次曲面：2221、椭球面：/匕 J =1a b c222、抛物面：上+L = z,(p,q同号)2p 2q3、双曲面：222单叶双曲面：之一J =1a b c222双叶双曲面：勺一4 J = 1(马鞍面)a b c多元函数微分法及应用全微分： dz = dx dy du = dx dy - dzfx；y:xfyfz全微分的近似计算：z :dz = fx(x,y)二x fy(x, y), y多元复合函数的求导法：z=fu(t),v(t)dz :z .:u :z :v dt.u .:t . v .:tz = fu(x,y),v(x,y)-：x当 u=u(x, y),

12、 v=v(x,y)时，一 z.:u:z:v.u x v xuudu =dx dy.x；y隐函数的求导公式:隐函数F(x, y) =0,v v .dv = dx - dyFx ；y电二一旦吗(一3十二(一马adxFydx ；x FyN Fy dx隐函数 F(x,y,z) =0,-：z = F2s .x 一 一 Fz:z-yFyFvGv隐函数方程组：*x,y,u,v)=0、G(x, y,u,v) =0斯cFj - ：(F，G) = cucv = Fu一6(u,v)一/ fG -Gucucv.:u1f(F,G)=-.xJ：:(x,v):u : 1：:(F,G):yJ；:(y,v).:v1 f(F,G

13、)=-»:xJ ：:(u,x)2v 二：(F,G)；:yJ ,u,y)微分法在几何上的应用:x-Xo_y-yo_z-Z07"(t?) ' (to)(to)x = ：(t)空间曲线y =(t)在点M (x0, y0,z0)处的切线方程: z = (t)在点 M处的法平面方程：中'(t0)(xx0) +中 t0)(y-y0)+m '(t0)(zz0) = 0若空间曲线方程为：,F(X，y，Z)=0,则切向量T. = FyFz,FzFx,FxFyG(x, y, z) =0GyG zGzGxGxGy曲面 F (x, y, z) =0上一点 M (x0, y0

14、, z0),则：1、过此点的法向量：n =Fx(xo,yo,zo),Fy(xo,yo,zo),Fz(x0,yo,zo)2、过此点的切平面方程:Fx(xo,yo,z0)(x-xo) + Fy(xo,yo,z0)(y-yo) + Fz(x°,yo,zo)(z-z0)=03、过此点的法线方程:x - x。y - yoz-zoFx(x0, y。，z。) Fy(x0,yo,z。) Fz(x。, y°,z。)方向导数与梯度：函数z = f (x, y)在一点p(x, y)沿任一方向l的方向导数为：=coSP十更sin中jl；x；y其中中为x轴到方向l的转角。f f函数z = f (x,

15、y)在一点 p(x, y)的梯度：gradf (x,y) =一i +一 j；x ：:y- . - - ." 匕与方向导致的关系是：一 = gradf (x, y) e,其中e = cos* j +sin中 ' j,为l方向上的 fl单位向量。二色是gradf (x,y)在l上的投影 .:l多元函数的极值及其求法： 设%(*0,丫0) = 3(*0,丫0)=。，令：fxx(x0 , yo ) = A, fxy(xo, y0 ) = B, f yy (x0, y0)= CAC-B2® Jx。=。)：；、AO,(xo,y。)为极小值则：，ACB2。时，无极值AC-B2=。

16、日t,不确定重积分及其应用:dxdyy：(x, y)dcD：(x,y)d。Dp(x, y)xdof !T D / 2222(x y a )2F _f P(x,y)ydaFy - f I I3，D / 222 x 2(x y a )2(x,y)xd。Fz = -fa 3D / 222X2(x y a )211 f (x, y)dxdy = f (r cos, r sin)rdrd 二DD -曲面 z = f (x, y)的面积 A = Jf ,1 + 】+ D V )1旬)x：(x, y)d。平面薄片的重心：x=D,M i|P(x,y)d 二D平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix= Hy2P(x,y

17、)dcr,对于y轴I y = JJx2 P(x, y)dcrDD平面薄片(位于xoy平面)对 殍由上质点M (0,0,a),(a >0)的引力：F =Fx, Fy,Fz,其中:柱面坐标和球面坐标:x =rcos1111 f (x, y, z)dxdydz =F(r,u,z)rdrd udz,柱面坐标：4 y = r sin e, z = z其中： F (r, ") = f (r cosi, rsin 1,z)x =rsin cos球面坐标：<y=r sin中sin9, dv = rd中 rsin d6 dr = r2 sin中drd9d8z = r cos :2二 二 r

18、(hi f (x, y, z)dxdydz = F (r, :,B)r2 sin drd :d【- d；： id : F (r, :, )r2sin :dr；】000一、 1 一1 一1 一其中 M = x =;?dvQIz： Iii(x2 y2)?dvQ重心： xx; dv, yy; dv, zzdv,M jM M -转动惯量：Ix=(y2 z2) ;?dv,Iy=(x2 z2)Pdv,QQ曲线积分：第一类曲线积分(对弧 长的曲线积分)：设f (x,y)在L上连续，L的参数方程为：7=")L (t),(口 <t WP),则:x = t、y=")pJf (x, y)d

19、s= Jf 5(t)W(t)J 5'2(t) +中'2(t)dt (a <P)特殊情况:第二类曲线积分(对坐 标的曲线积分)：设L的参数方程为,x=*，则：J川PP(x,y)dx Q(x,y)dy = P ：(t)J (t) ： (t) Q(t)J (t)卜dtL ：两类曲线积分之间的关 系：jPdx + Qdy = RPcosa +QcosP)ds其中a和F分别为 LLL上积分起止点处切向量 的方向角。格林公式：(-)dxdy = - Pdx Qd册林公式：( P)dxdy = ； Pdx QdyD 'x :VLD ：xyL当p=一y,Q=x,即：W半=2时，得

20、到 D的面积：A= JJdxdy = 1qxdyydx二x 二yd2 l平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y), Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,且以=宜。注意奇点，如(0,0),应 二 x: y减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在9=下时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：二 x 二 y(x,y)u(x, y) = P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常设 x0 = y0 =0。(My。)曲面积分：对面积的曲面积分：f(x,y,z)ds= fx, y,z(x,y) 1 z2(x,y) z2(x,y)dxdy

21、Dxy对坐标的曲面积分：P(x, y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy 其中：Zff R(x, y,z)dxdy = ± 1R x, y, z(x, y)dxdy,取曲面的上侧时取正 号;DxyJjP(x,y,z)dydz = ±jlPx(y,z), y,zdydz 取曲面的前侧时取正 号；,二DyzJQ(x, y,z)dzdx=± 1Qx, y(z,x),zdzdx,取曲面的右侧时取正 号。'Dzx两类曲面积分之间的关 系：Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy= H(Pcosa +Qcos。+Rcos，)ds ZZ高

22、斯公式:沪；Q ；:R_-_111(一 一)dv = - Pdydz Qdzdx Rdxdy = (Pcos： Qcos - Rcos )ds fxy 市 、<高斯公式的物理意义通量与散度：散度：div J =里+运+空，即：单位体积内所产生的流体质量，若；x N ；z通量：A nds= HAnds = ff(Pcos« +QcosP + Rcosy)ds, z z z因此，高斯公式又可写成：仃JdivAdv =Ands6 Zdivv < 0,则为消失斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:正 R FQP(一 -)dydz ( - y:z.z二R二。二P)dzdx (一

23、 - 一)dxdy = Pdx Qdy Rdz .x ；ydydzdzdxdxdycostcosPcos?上式左端又可写成：口=Hexzz.EexcydzPQRPQR空间曲线积分与路径无关的条件:ijkL|L|L|, 1.CCC旋度：rotA = fx 勾P Q R向量场A沿有向闭曲线的环流量：Pdx +Qdy + Rdz=4 A tds rr常数项级数n1-q等比数列：1 q q2 qn1 -q等差数列：12-3 n = (n 1)n2调和级数：1是发散的级数审敛法:1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判别法）：:二1时,级数收敛设：P=limn，U；,则P1时，级数发散 n_jpcvl

24、P=1时，不确定2、比值审敛法：二1时，级数收敛设：P=iimUn±，则（p>i时，级数发散 n_jpcUUnP=1时，不确定3、定义法：sn =u1 +u2 +un;lim sn存在，则收敛；否则发 散。n_：交错级数Ui -U2 +U3 -U4 +（或-Ui +U2-U3 +，Un > 0）的审敛法莱布尼兹定理:如果交错级数满足Un Un一一 ，一一*, 一一一.一，一|imU =0,那么级数收敛且其和sMUi,其余项的绝对值% EUn# n绝对收敛与条件收敛:（1）U1 +u2 +Un +，其中Un为任意实数;（2）Ui +必|+同1+口0+ 如果（2）收敛，则 肯

25、定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果（2）发散，而 收敛，则称（1）为条件收敛级数。调和级数：Z 1发散，而Z "攵敛；nn级数：。收敛；n/好1.p_l时发散p级数:Z pnp.p.1时收敛哥级数23nx；1时，收敛于I x x x-x1 -x|x _1时，发散对于级数(3)a0 +a1x +a2x2 +anxn +,如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存求收敛半径的方法：设.1|x < R时收敛在R,使|x aR时发散,其中R称为收敛半径。 x = R时不定：=0时，R =-P：=0时,R= -P = y时，R=01m至1 = P,其中an, an书是(3)

26、的系数，则函数展开成哥级数:函数展开成泰勒级数：f (x) = f (x0 )(x - x0) , (x0)(x - x0 )2 ,一如 (x - x0) n ,一2!n!f (n 1)( )余项：Rn = ；n +；)； (xx0)n*f (x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：1%&=0x0 =0时即为麦克劳林公式：f(x) -f (0) f (0)xUSx2-一(0)xn2!n!一些函数展开成哥级数：一 、m , m(m -1) 2 m(m-1) (m-n 1) n, 八(1 x)m =1 mxx2xn(-1二 x ：1)2!n!352n 1sinx =x - -(-1)n4 x(

27、-二 x 二)3!5!(2n -1)!欧拉公式:ix -ixix _ _ _ 一 .e =cosx i sinxe +ecosx =或ix 2 4x一. e -e sin x :CO' (an cosnx bn sin nx) n 1a An COsn， 0t =x。2f(t) =Ao % An sin( n t n) a n32其中，a0 =aAg, an = An sin Q, bn正交性：1,sin x,cosx,sin 2x,cos2xsin nx, cosnx '.任意两个不同项的乘积在-江产上的积分=0傅立叶级数qQf(x)= 八 (an cosnx bn sin

28、nx), 周期 =2二2 n 1an = f f(x)cosnxdx(n= 0,1,2)其中' z1bn = f f (x)sinnxdx (n =1,2,3-")1十工十11/i十工十1十工十=仁(相加)32 5282232 426!： 二- 1-1-，二 一(相减)24624234122正弦级数：an = 0, bn = f (x)sin nxdx- o2 二余弦级数：bn =0, an = f (x)cosnxdxn =1,2,3 f (x) = " bnsinnx是奇函数an =0,1,2f(x) = ,ancosn娓偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数:、a0二/n 二x ,. n 二x、f (x)二一 %(an cos bn sin) 周期 : 2l2 nlllanbnI 1=一 f(x)cos 11II=- f (x)sin - 1 in 二 xdx1(n =0,1,2 )n rxdx1(n =1,2,3 )微分方程的相关概念：一阶微分方程：yf= f (x, y) 或 P(x, y)dx+Q(x,y)dy = 0可分离变量的微分方程：