（整理版）高考专题解析几何常规题型及方法

1、高考专题：解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有3-4题(1-2个选择题, 0-1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20二、本章节处理方法建议： 纵观文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对分数收入囊中；而占解几分值一半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：1解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合能力要求最高的内容之一2解析几何的计算量相

2、对偏大3在大家的“拿可拿之分的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21题或22题有时20题就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍。 鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面1由于高考中解几内容弹性很大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓根底。不能因为高考中的解几解答题较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻下，将时间用在稳固根底、对付“跳一跳便可够得到的常规题上，这样复习，高考时就能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几分算几分。三、高考核心考点1、准确理解根

3、本概念如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等2、熟练掌握根本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等3、熟练掌握求直线方程的方法如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解

4、题的技巧方法a:常规题型方面1中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法点差法：设曲线上两点为，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 典型例题 给定双曲线。过a2，1的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点p的轨迹方程。 分析：设，代入方程得，。 两式相减得 。 又设中点px,y，将，代入，当时得 。 又， 代入得。当弦斜率不存在时，其中点p2，0的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是 说明：此题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。变式练习：给定双曲线2x2 - y2 = 2 ，过点b(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于两点q1、q

5、2 两点，且点b是线段q1q2的中点？如果直线l存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.2焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点p，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设p(x,y)为椭圆上任一点，为焦点，。 1求证离心率； 2求的最值。 分析：1设，由正弦定理得。 得 ， 2。 当时，最小值是； 当时，最大值是。变式练习：设、分别是双曲线a>0,b>0的左、右两个焦点，p是双曲线上的一点，假设p=,求证：s=bcot 3直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的方法典

6、型例题 1求证：直线与抛物线总有两个不同交点 2设直线与抛物线的交点为a、b，且oaob，求p关于t的函数f(t)的表达式。1证明：抛物线的准线为 由直线x+y=t与x轴的交点t，0在准线右边，得 故直线与抛物线总有两个交点。 2解：设点a(x1，y1)，点b(x2，y2) 变式练习：直线y=ax+1与双曲线3x2y2=1交于两点a、b两点(1)假设a、b都位于双曲线的左支上，求a的取值范围(2)当a为何值时，以ab为直径的圆经过坐标原点？4圆锥曲线的有关最值范围问题圆锥曲线中的有关最值范围问题，常用代数法和几何法解决。 <1> <2>典型例题抛物线y2=2px(p&g

7、t;0)，过ma,0且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点a、b，|ab|2p1求a的取值范围；2假设线段ab的垂直平分线交x轴于点n，求nab面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于1，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于2首先要把nab的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想。解：(1)直线l的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线l与抛物线两交点的坐标分别为ax1,y1,b(x2,y2)，那么

8、,又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得:(2)设ab的垂直平分线交ab与点q，令其坐标为x3,y3，那么由中点坐标公式得：, 所以|qm|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又mnq为等腰直角三角形，所以|qm|=|qn|=，所以snab=,即nab面积的最大值为2。变式练习：双曲线a>0,b>0的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为 1求双曲线的方程2设直线y=kx+m(k且m)与双曲线交于两个不同的点c、d，假设a(0,-1)且=，求实数m的取值范围5求曲线的方程问题1曲线的形状-这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题直线l过原点，抛物线c 的

9、顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。假设点a-1，0和点b0，8关于l的对称点都在c上，求直线l和抛物线c的方程。分析：曲线的形状，可以用待定系数法。设出它们的方程，l：y=kx(k0),c:y2=2px(p>0)设a、b关于l的对称点分别为a/、b/，那么利用对称性可求得它们的坐标分别为：a/，b。因为a、b均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.所以直线l的方程为：y=x,抛物线c的方程为y2=x.变式练习：在面积为1的pmn中，tanm=,tann=-2,建立适当的坐标系，求出以m、n为焦点且过点p的椭圆方程。2曲线的形状未知-求轨迹方程典型例题mnqo直角

10、坐标平面上点q2，0和圆c：x2+y2=1, 动点m到圆c的切线长与|mq|的比等于常数>0,求动点m的轨迹方程，并说明它是什么曲线。分析：如图，设mn切圆c于点n，那么动点m组成的集合是：p=m|mn|=|mq|，由平面几何知识可知：|mn|2=|mo|2-|on|2=|mo|2-1，将m点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.当=1时它表示一条直线；当1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。变式练习：过抛物线y=4x的焦点f作斜率为k的弦ab，且8，此外，直线ab和椭圆3x+2y=2交于不同的两点。1求直线ab的斜率k的取值范围2设直线ab与椭圆相交于c、d

11、两点，求cd中点m的轨迹方程6 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决典型例题 椭圆c的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆c上有不同两点关于直线对称。 分析：椭圆上两点，代入方程，相减得。 又，代入得。 又由解得交点。 交点在椭圆内，那么有，得。变式练习：为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。7两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。典型例题 直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线

12、c有两个不同的交点如图。 1求的取值范围；2直线的倾斜角为何值时，a、b与抛物线c的焦点连线互相垂直。分析：1直线代入抛物线方程得， 由，得。 2由上面方程得， ，焦点为。由，得，或变式练习：经过坐标原点的直线与椭圆相交于a、b两点，假设以ab为直径的圆恰好通过椭圆左焦点f，求直线的倾斜角。b:解题的技巧方面 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：1充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条

13、件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 典型例题 设直线与圆相交于p、q两点，o为坐标原点，假设，求的值。 解： 圆过原点，并且， 是圆的直径，圆心的坐标为 又在直线上， 即为所求。 评注：此题假设不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，pq是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。变式练习：点p5，0和圆o：，过p作直线与圆o交于a、b两点，求弦ab中点m的轨迹方程。 评注：此题假设不能挖掘利用几何条件，点m是在以op为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比拟麻烦。二. 充分利用韦达定理及“设而不求的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是

14、结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。典型例题 中心在原点o，焦点在轴上的椭圆与直线相交于p、q两点，且，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于p、两点。 由方程组消去后得 由，得 1 又p、q在直线上， 把1代入，得， 即 化简后，得 4 由，得 把2代入，得，解得或 代入4后，解得或 由，得。 所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求的策略，简化了计算。变式练习：假设双曲线方程为，ab为不平行于对称轴且不过原点的弦，m为ab中点，设ab、om的斜率分别为，那么 三. 充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以防止求曲线的交点，因此也可以减少计算。

15、典型例题 求经过两圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。解：设所求圆的方程为： 即， 其圆心为c 又c在直线上，解得，代入所设圆的方程得为所求。 评注：此题因利用曲线系方程而防止求曲线的交点，故简化了计算。变式练习：某直线l过直线l1：x-y-12=0和l2：7x-y+28=0的交点，且倾斜角为直线l1的倾斜角的一半，求此直线l的方程四、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。典型例题 p为椭圆上一动点，a为长轴的右端点，b为短轴的上端点，求四边形oapb面积的最大值及此时点p的坐标。变式练习：p(x，

16、y)是椭圆x24y2=1上任一点，试求p到直线x + y 2 = 0的最小值及此时p的坐标。五、线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦ab长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为，那么，假设直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 例 求直线被椭圆所截得的线段ab的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 例 、是椭圆的两个焦点，ab是经过的弦，假设，求值 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线

17、的距离 例 点a3，2为定点，点f是抛物线的焦点，点p在抛物线上移动，假设取得最小值，求点p的坐标。五、高考试题选编1. 过抛物线的焦点f，作弦轴于a、b两点，那么弦长等于 a. 6 b. 18 c. d. 362. 假设直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，那么实数m的取值范围是 a. 0，5 b. 1，5 c. d. 3. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是 a. b. c. d. 4. 过点a引抛物线的一条弦，使该弦被a点平分，那么该弦所在直线方程为 a. b. c. d. 5. 设且，那么的最大值与最小值分别是 a. b. c. 4，3 d. 8，66. p是抛物线上的点，f是抛物线的焦点

18、，那么点p到f与p到a的距离之和的最小值是 a. 3 b. c. 4 d. 的弦长为时，那么a= a b c d8(03全国)双曲线中心在原点且一个焦点m、n两点，mn中点的横坐标为那么此双曲线的方程是 a bc d9(03江苏)长方形四个顶点a0，0，b2，0，c2，1和d0，1，一质点从ab的中点p0沿与ab夹角为的方向射到bc上的点p1后，依次反射到cd、da和ab上的点p2、p3和p4入射角等于反射角.设p4的坐标为x4，0.假设1< x4<2，那么tan的取值范围是 a b c d10(03广东)双曲线虚轴的一个端点为m，两个焦点为，那么双曲线的离心率为 a. b. c. d. 11. 直线与抛物线只有一个公共点，那么k的值为_。12. 曲线c：关于直线对称的曲线的方程_。13(03年上海) 给出问题：是双曲线的焦点，点p在双曲线上。假设点p到焦点f1的距离等于9，求点p到焦点f2的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17。 该学生的解答是否正确？假设正确，请将他的解题依