2016初中联赛试题及答案

1、2016初中联赛试题及答案2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试（3 月 20 日上午 8:30 - 9:30）一.选择题（本题满分42分，每小题7分）（本题共有6个小题，每题均给出了代号为4 B, G 的四个答案，其中有且仅有一个是正确 的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字 母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0 分.）1.用但表示不超过的最大整数，把TH称为的小数部分.已知，=丁=, 是,的小数部分，是T2 的小数部分，则；L2b a（ ）A. -B. C. 1D.22V32.三种图书的单价分别为10元、15元和20 元，某学校计划恰

2、好用500元购买上述图书30 本，那么不同的购书方案有2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第#页B. 10 种C 11种O. 12 种3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数” .如： 2 = 13-(-1)26 = 35-1 2和26均为“和谐数”.那么,不超过刈6的正整数中，所有的“和谐数”之和( )A 6858B. 6860C. 9260D, 92623(B) .已知二次函数y = cix2 +bx+1( W 0) 的图象的顶 点在第二象限，且过点(L0).当7为整数时，"二 ( )13A 0B.-C.-44D. -24 .已知0O的半

3、径0O垂直于弦A3,交A8于点C, 连接A0并延长交©O于点%若A8 = &CD = 2,则A8CE的 面积为( )A 12B. 15C. 16D. 185 .如图，在四边形ABCD 中, ZBAC = ZBDC = 90° ,AB = AC = 45 9M9CD=1,对角线则 DM =的交点为A.C.正V22。；,贝lj M =孙 + 2yz + 3xz 的最6 .设实数 %, y,z 满足x+y+z=l大值为 （）A. B.2D. 1二、填空题(本题满分28分，每小题7分)(本题共有4个小题，要求直接将答案写在 横线上.)L11(A)、2 (B)l 已知ABC的

4、顶点A、C在 反比例函数)7 (-0 )的图象上，XZACB = 90°, ZABC = 30° , AB 1 a轴，点8在点A的上方，且AB = 6,则点C的坐标为.1(B).已知必死的最大边8c上的高线AO和中线 AM恰好把三等分， ad = 6, 贝！Jam =2(A) .在四边形A4CO 中，BC / AO, CA平分 4BCD, O为对角线的交点，CD = AO, BC = OD,则ZABC =3.13(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数 间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第5页原来两个三位数的乘积的3倍，这个六

5、位数是.3（B）,若质数八q满足:3q_ - 4 = 0, + 4 V 111, 则Pq的2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第9页最大值为4（A）将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填 入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对 值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的 最小值为时，贝!U的最大值为第二试（3月20日上午9:5011:20）一、（本题满分20分）已知“功为正整数，求M =3a2-ab2-2b-4能取到的最小 正整数值.二、（本题满分25分）（A）.如图,点。在以相为直径的上，CD1AB 于点%点上在80上

6、,AE = AC,四边形DEFM是正方形,AM的延长线与。交于点N.证明：FN = 3£.(B).已知:a + b + c = 5, a2 +b2 +c2 =15, a3 +/> +c3 =47.(a2 + ab+b2 )(b2 + be + c2 )(c2 + ca + a2 )的值.三、（本题满分25分）（A）.已知正实数X, 乂 z 满足： xy + yz + zx 工 1 ，且1-1）（户）+。打7）+（-1）=4 .冲yz3V求的值，(2)证明 :9(x + y)(y + z)(z + x)N8-N(Ay + yz +。).(B).如图，在等据?以8。中，A8 = A

7、C =技。为 BC 边上异 于中点的点，点c关于直线A。的对称点为点E, EB 的延长线与A。的延长线交于点E求AO AP的值.2016年全国初中数学联合竟赛试题及详解第一试(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)一,选择题（本题满分42分，每小题7分）（本题共有6个小题，每题均给出了代号为4 B,以的四个答案，其中有且仅有一个是正确 的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字 母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0 分.）1.用国表示不超过X的最大整数,把TH称为出小数部分已知，是,的小数部分，”是T 的小数部分，则 A-L 2b a(

8、 )A. B. C. 1D.22小【答案】A.【解析】r = 2 + >/3,l<>/3<2, .,3<2+>/3<4, 即 2-V3.。=，-3 =6一1. 又 -?=-2->/39-2<->/3<-l.。= 一/-1)= 2一向三一1 =2(2-6)73-1222+有6+1,故选2A.2.三种图书的单价分别为10元、15元和20 元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30那么不同的购书方案有 )A.B. 10D 12种【答案】C.【解析】设购买三种图书的数量分别为”z,则卜+)，+ z = 3。10x + 15y + 20

9、z = 500y + Z = 30-x3y+ 4z = 100-2x，解得广依题意得，”Z为Z = 10 + x2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第15页自然数(非负整数),故 04xW10,x有”种可能的取值(分别为对于每一个X值，y和z都有唯一的值(自然数) 相对应.即不同的购书方案共有11种，故选C.3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 2 = 13-(-1)26 = 33-13, 2和26均为“和谐数”.那么, 不超过刈6的正整数中，所有的“和谐数”之和为( )A. 6858B. 6860C. 9260D, 9262【答案】B.【

10、解析】(2k + Ip - (2k - Ip = (2k +1) - (2 女-1) (2k +1)2 + Qk + l)(2k-l) + (2/:-l)2=2(12内+1) (其中k为非负整数)，由2( 2+ 1)4 2016 得，k<9.4 =0,1,2,8,9 , 即得所有不超过2016的“和谐数”, 它们的和为13-(-1)3 + (33-13) + (5-33) + . + (173-153) + (193-173) = 193+1 = 6860.故选艮3(B) .已知二次函数y = ax2 +Z?x+l(c/工0) 的图象的 顶点在第二象限，且过点(1.0).当”。为整数时，

11、岫= ( )13A. 0B.-C.-44D. -2【答案】B.【解析】依题意知<。,-=<0,4 + 1=。，故小,且 0 = 一(一- 1) = 2。+1 , 于是-IvavO,二-1<2。+ 1<1又为整数，.2“ + 1 = 0,故“ = -1 = /?,帅=；,故选民4.已知。的半径。垂直于弦连接AO并延长交0O于点若A8 = 8, CD = 2,贝!| A8" 的面积为()A. 12B. 15C. 16【解析】设OC = x,则QA = OO = x+2,/ OD _L AB C、：. AC = CB = - 48 = 4, 2在 MMMC 中 &g

12、t; OC2 + AC2 =OA即 x2+42=(x+2)2,解得 x = 3,D. 18即 OC = 3（第4题答案图） OC 为 ABE 的中位线, . BE = 2OC = 6. . AE 是。的直径,. Sshce=-CB BE = -x4x()= 2. 故选A. 225.如图,在四边形 ABCD 中,ABAC = ZBDC = 90° , AB = AC = 下 , CD = ，对角线的交点为M,贝！|oM = ( )（第5题2016年全国初中数学联赛（决赛）试题第#页答案图）【答案】D.【解析】过点A作AH 1BD 于点 ，,则CMD, = ,CD = 1,/. AH=

13、,设 AM =x,贝!JCD CMCMCM =乒x,：. AH =x/5 - x在 R/A48M 中,BM =yjAB、AM2 =心+5, U!| AH =,AM ="=4,显然，化简整理得Jr+5 v5-xBM Jx?+52x2-5>/5x+10 = 0解得“g, Q = 2/不符合题意，舍去）, 乙CM =已在 RtACDM 中，DM = 4CM1-CD2 ="故选D 226.设实数 x, y, z 满足 x + y + Z = 1,贝! M =xy + 2yz + 3xz 的最大值为（）123A. B. C. 一234D. 1【答案】c【解析】M =xy + （

14、2y + 3x）z = xy + （2y + 3x）（1 一 xy） = -3x2 - 4xy 2y2 +3x+2y=-2 产+2卜_g、y+卜；、-3x2+3x + 2if .2 . 1 _ / . 1 Y （ 1丫 3-32）2 c 2； I 2j 4 4当且仅当户“=。时，M取等号，故故二、填空题(本题满分28分，每小题7分)(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)L11(A)、2 (B)l 已知ABC 的顶点小。在反比例函数看走(-0 )的图象上， XZACB = 90°, ZABC = 30° , AB 1 x轴，点3在点A的上方，且A8 = 6,则点C的

15、坐标为.【答案】隹,【解析】如图，过点。作CD LAB点在 中, BC = AB-cosZABC = 35/3在 RtMiCD 中CD = 8c sin B =373(第1题答案图)B£）= BCcosB = |,. AD = AB-BD = ,设 cjin. m依题意知心心。，故CO = n-m、AO =三一三，于是 m n3x/3 n - m =2正正=3,m ii 24解得'"了n = 2/故点C的坐标为咨2；1（B）.已知必"的最大边叱上的高线AO和中线AD = 5恰好把 则【答 【解析】（第1题答案图1）依题意得（第1题答案图2）/BAD = A

16、DAM = NM4c , ZADB = ZADC = 90",AABCZACB.(1)若 ZA8OZAC8 时，如答案图 1 所AAD/W =AADB. ：. BD = DM = -CM,2又AM平分NDAC, .业="="在 Ri ADAC中，即 AC CM 2cos NDAC =, 2/. ADAC = 60。，从而 ZBAC = 90°, ZAC。= 30° 在 火/AA。中, CD = ADkmZmC = >/3-tan60 =3, DM =.在/dAAZW 中，AM =>IaD2+DM2 =2.2016年全国初中数学联赛(

17、决赛)试题第16页若AABC < AACB时，如答案图2所示.同理可得A" =2 .综上所述，AM =2.2(A).在四边形ABCD 中，BC / AO , CA平分ZBCD, 0 为对角线的交点，CD = AO, BC = OD,则NABC =【答案】.CA 平分ZBCD, ZOCD = ZOCB = a ,v BC / AD ,/. ZADO = ZOBC = p. ADAO = ZOCB = a ,(第2题答案图)/. ZOCD = ADAO = a , /. AD = CD,/CD = AO,0 A£> = AO ,ZADO = ZAOD = ZBOC

18、= ZOBC = p , . OC = BC y/ BC = ODy ：. OC = OD、：. /ODC = ZOCD = a ZBOC = NODC + NOCD, ZBOC + ZOBC + ZOCB = 180:.p = 2a,a + 2p = 80 ,解得。=36；p = 72。, /. /DBC =乙BCD = 72 ,. BD = CD = AD. AABD = /BAD =效二£ = 54 2:ZABC = ZABD + ZDBC = 126 3.13(A)、4(B)有位学生忘记写两个三位数 间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六

19、位数 是.【答案】 167334.【解析】设两个三位数分别为，则lOOOx + y = 3孙,y = 3xy- OOOx = (3y -1000)x,故y是1的正整数倍，不妨 设)"3为正整数)，代入得1000+1 = 3比，.r= 1Q00 + 是三位数，.一=舞£却。，解得三黑,为正整数，尚可能取值为123.验证可知,只有，=2符合，此时x = 167,y = 334.故所求的六位数为167334.3(B) .若质数八g满足：3夕一一4 = 0,/7 + <111, 则的最大值为【答案】1007 .2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第25页【解析】 由3g p

20、 4 = 04当且仅当q取得最大值时，/%取得最大值. =3,4,1. pq = qGq-G = 3q1-4t/ = 3f t7-|因为质数，故,”的值随着质数9的增大而增大,又 p +因夕为质数,故q的可能取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2 » 但q = 23 时，p = 3q-4 = 65 = 5xl3不是质数， 舍去.当（7 = 19时, p = 3c/-4 = 53恰为质数.故夕皿=以（/Ma =53x19 = 1007.4(A)将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填 入一个数)，使得同一列中任

21、何两数之差的绝对 值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的 最小值为m ,贝!U的最大值为【答案】【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形 进行讨论，确定M的最大值.(1)若5个1分布在同一列，则*5；(2)若5个1分布在两列中，则由题意知 这两列中出现的最大数至多为3,故2M<5xl + 5x3 = 209故人明(3)若5个1分布在三列中，则由题意知 这三列中出现的最大数至多为3,故3M <5x1+5x2 + 5x3 = 30,故 MW10；(4)若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾.综上所述,m <10.另一方面，如下表的例子说明M可

22、以取到 10.故M的最大值为10.1114511245222453324533345第一试（3月20日上午9:5011:20）一、（本题满分20分） 正整数值.已知山为正整数，求M =3/一加一2/?一4能取到的最小【解析】解：因犷为正整数，要使得M =3a2-ab2-2b-4的值为正整数，则有壮2.当 =2时，只能为1,此时M =4.故M能取到的最小正整数值不超过4.当a = 3时，只能为1或2.若 = 1,M=18；若0 = 2, 则M=7.当。=4时，只能为1或2或3.若 =1"=38；若0 = 2," =24；若 =3,贝!|用=2(下面考虑:用=32加一%一4的值

23、能否为1?)2016年全国初中数学联赛(决赛)试题第31页(反证法)假设M = 9 贝!| 3。24一2/2-4 = 1 , 即3a2-ab2 =21 + 5，a(3a-b2) = 217 + 5因，为正整数,故2"5为奇数,从而“为奇数,方为偶数，不妨设 a = 2m + l,b = 2n , 其中i均为正整数,则a(3a-b2) = (2m +1) |3(2m +1) (2n)2 J = 4(3 +3m - 2mn2 -n2) + 3BP a(3ab2) 被4除所得余数为3 ,而 2 + 5 = 2(2) + 5 = 45 + 1) + 1被4除所得余数为1,故式不 可能成立，故

24、人1.因此，能取到的最小正整数 值为2二、(本题满分25分)(A).如图，点c在以"为直径的oo上，CD LAB于点。，点后在3Q 上，AE = AC, 四边“ 形 DEFM 是正方形，AM的延长线与OO交于点 N 证明：产N = O乙【证明】：连接8八BN.；AB为QO的直径，8 48于：.ZACB = ZANB = ZADC = 90/ NCAB = "AC, ZACB = ZADC, /. AACB s SADC,：.：. AC2 = AD- ABAD AC由四边形DE6W是正方形及于点。可知:点 M 在 CO 上, DE = DM =EF = MF/ ZNAB =

25、ADAM, ZANB = ZADM -AANB s SADM,AN AR：.=-. ADAB = AM AN、：. AC2 = AM ， AN,AD AM/ AE = AC, .二 AE2 = AM - AN以点尸为圆心、FE为半径作OR与直线AM交于另一点P,则0歹与相切于点E,即AE是OF的切 线，直线是”的割线，故由切割线定理得 AE2 = AM - APAN = AP ,即点N与点P重合9点N在OF上9二 FN = FE = DE.（注：上述最后一段得证明用了 “同一法”）(B),已知： a+b + c = 5, a2 +h2 +c2 =15, a3 +/> +cy =47.(a

26、2 + ab+b1 )(b2 + bc+c2 )(c2 +ca + a2)的值.-(d2 +b2 +c2) = 5【解析】 由已知ab + be + ca =+h + c)得,由 恒 等a" + b' +c3 -3abc = (a+b + c)(a2 +h2 + c2 -ab-be-ca)47 一 3aZ;c = 5 x (15 5),二 abc = -1a1 +ab+b2 = (a+b + c)(a+b)- (ab + be + ca) = 5(5 - c) -5 = 5(4c)同理可得/ +bc+c2 =5(4a),c2 +ca + cC =5(4/7)原二 5 (4a)

27、(4Z?)(4c) = 125 64-16(a+b + c)+4(，心+bc + cci)abc= 125x64-16x5 + 4x5-(-l) = 625.(t - a)(t - b)(t c) = ts (a + h + c)r + (ab + be + cat - abc三、（本题满分25分）（A） .已知正实数X, 乂 z满足： xy + yz + zx 工 1 ，且那一心-1）尸-）（）+（1）（.1）=4 .）2*(1)求的值.a>' yz *(2)证明 :9(x + y)(y + z)(z + x)之 Sxyz(xy + yz + v) ,【解析】(1)解：由等式(

28、a-2 - l)(y2 -1) (y2 - l)(r -1) (z2 - DU2 -1) 11= 4 ,NX去分母得小2-1)(),2-1)4-X(y2 -l)(zn-1)4-y(z2 -l)u2-1) = 4xyz， x2y2z+xy2z1+x1yz1 -x(y2+z2) + y(z2+x2)+z(x2 + y2)+3xyz+(x+y + z)-xyz = 0,xyz.(xy + yz + zfx)-(x + y + z(xy + yz +。) + (x + y + z)-xy =。,/. xyz-(x + y + z)(xy + yz + -1) = 0 9 ; xy + yz + zV：.xy + yz + z- 9:.xyz-(x + y + z) = O. .xy7z = x + y + z 9，原式二(2)证明：由(1)得计算过程知xyz = x+y