2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题(文科)解析版

1、绝密启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1)文科数学注意事项：1 .本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第n卷3至5页.2 .答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3 .全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4 .考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第I卷一.选择题：本大题共 12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题 目要求的.(1)设集合 A = 1,3,5,7,B =x2 轰版 5,则 Ap|B=()(A) 1,3(B) 3,5(C) 5,7(D) 1,7【答案】B【解

2、析】试题分析：集合 < 与集合5公共元素有33 H Pi 5 = 35颉选B,考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题.解决此类问题一 般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算.(2)设(1 +2i Xa + i )的实部与虚部相等 淇中a为实数，则a=()(A) 3(B) 2(C) 2(D) 3【答案】A【解析】试题分析：(1+2i)(a+i)=a2+(1+2a)i ,由已知，得 a2=1+2a,解得 a = 3，故选 A.考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点

3、睛】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题.高考中复数考 查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轲复数，复数的模及复数的乘除运算，这类2问题一般又t度不大，但容易出现运算错误，特别是i =-1中的负号易忽略，所以做复数题要注 意运算的准确性.(3)为美化环境，从红、黄、白、紫 4种颜色的花中任选 2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(D)(A)【解析】试题分析：将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛有6种种法其中红隹和紫邑不在一个花坛的神翱有4种，故概率为j，故选C考点：古典概型【名师点睛

4、】作为客观题形式出现的古典概型试题，一般难度不大，解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举2(4)4ABC的内角A、B、C的对边分别为2、4仁已知2=，5 = 2,85庆=/=()3(A)&(B)旧 © 2(D) 3【答案】D【解析】21试题分析：由余弦定理得 5 = b2+4 2xbM2x,解得b = 3( b =舍去)，故选D.33考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题，考查内容单一，根据余弦定理整理出关于 b的一元二次方程 再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因，请考生切记！(5)直线l经过椭圆的一个顶

5、点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的;则该椭 圆的离心率为()/ 八、1123(A)3(B) 2(C) 3(D)4【答案】B【解析】，一 一 一 11试题分析：如图，由题意得在椭圆中，OF=c,OB=b,OD 2b b42在 RtAOFB 中,|OF|x|OB闫 BF|x|OD |,且 a2 = b2 + c2,代入解得2 21 ,a =4c，所以椭圆得离心率得 e = 2，故选B.22页考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题，求解此类问题的一般步骤是先列出等式，再转化为关于a,c的齐次方程，方程两边同时除以 a的最高次哥，转化为关于e的方程，解方 程求e

6、 . ,_TT1 * 一，一一 一, 、 .，,_(6)右将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移4个周期后，所得图像对应的函数为()/如、-小兀兀兀兀(A) y=2sin(2x+/(B) y=2sin(2x+3)(C) y=2sin(2x R(D) y=2sin(2x?【答案】D【解析】个周期即5个单试题分析：函数y = 2sin(2x十g)的周期为K，将函数y =2 sin(2x +的图像向右平移664位，所得函数为y =2sin2(x -今十1)=2 sin(2x-)，故选D.463考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个，一是平移方向，注意 左加右减二是平

7、移多少个单位是对x而言的，不用忘记乘以系数.若该几何(7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径体的体积是筌则它的表面积是()3(A) 17兀(B) 18兀(C) 20%(D) 28兀【答案】A【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示:是一个球被切掉左上角的，:设球的半径为R .则V =1x3尔 =迎 解得R = 1 ,所以它的表面积是3的 s8 33s球面面积和三个扇形面双之和.打x2'-3xl.rx2;-1市故选A . 84考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年

8、必考内容 ，高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体，是解决此类问题的关键.(8)若 a>b >0,0 <c <1,则()(A) logac<logbc(B) logca<logcb(C) ac<bc(D) ca>cb【答案】B【解析】试题分析：由0 <c <1可知y = logc x是减函数，又a >b A0 ,所以logc a c logc b .故选b. 本题也可以用特殊值代入验证.考点：指数函数与对数函数的性质，通常利用指数函数【名师点睛】比较哥或对数值的大小，若哥的底数相同或对数的底数相

9、同或对数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.(B)(C)(D)(A)(9)函数y =2x2 -e|x|在2,2的图像大致为(【解析】试题分析：函数#0=匕：式=在T2上是偶闭数，其图象关于,轴对称，因为/(2) = 3-1,0,8-小4：所以排除4s选项歹当工E0,2时，* = 4*/有一零点设为9当工亡(0,叫)时;丁(由为减的数若“总(不工)时,/(0为增函数.故选D.考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题 ，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用 间接法，即由函数性

10、质排除不符合条件的选项.(10)执行右面的程序框图，如果输入的x = 0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()(A) y =2x(B) y =3x(C) y = 4x (D) y = 5x【答案】C【解析】试题分析：第一次循环：x =0, y =1,n = 2,，1-第二次循环：x = -, y =2,n -3,一，一3_223 一第二次需环：x= -, y =6,n =3,此时满足条件x +y之36,循环结束，x= -, y = 6,满足22y =4x .故选c考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点，一般以客观题形式出现，难度不大，求解此 类问题一般是把人看

11、作计算机，按照程序逐步列出运行结果 .(11)平面a过正文体ABCDA1B1C1D1的顶点AU 平面CB1D1p门平面ABCD = m 产Pl平面ABB1A = n ,则m,n所成角的正弦值为()(A)手 (B)(C) (D) 3【答案】A【解析】试题分析：如图底平面8鼻门平面，近8=加.平面底向n平面.好44=小反值 二面cs二.所 以用，汕心则风疗斤成的角等于亦”所成的角.延长一山:过功作鼻E下C隹接UE用4 一"为僧：同里日用为n'BD .' CERR 用金.则用上'所成的甬即为邓,BD印成的角即为6,故暗潭所成角的正弦值为g独选A考点：平面的截面问题，

12、面面平行的性质定理，异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形，解形求角、得钝求补.I .一(D)(12)右函数f (x) =x-sin 2x+ asin x在(一0°," )单调递增，则a的取值范围是( 3(A) 1-1,11 1(O -,-II 3 3【答案】Ct解析】试题分析：f (工)=1 一1 cos2x + scosGO对工七R恒成立二古攵 1 (2cosJ x1| +acos.艮l&cos 工一一cos* * + 20 恒成立一3、 '33即一g* +8+/。对"卜1

13、/恒构造：开口向下的二次性嗷f(t)的最小情的可能值为端点值故只需保证； ,解得一：式哀:.故选C y (-1)= - +f)o考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查 ，有所创新，求解关键是把函数单调 性转化为不等式恒成立，再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题 ，注意与三角函数值 域或最值有关的问题，要注意弦函数的有界性.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必'考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3小题,每小题5分(13)设向量 a=(x,x+1)

14、,b=(1,2),且 a _Lb,贝Ux=.-2【答案】- 5 3【解析】，一八,、八2试题分析：由题意，ab =0,x 2(x 1)-0, x = -.3考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若 a= x1,y1 ,b= x2,y2，则 a b =为 xy2(14)已知0是第四象限角，且sin(+ /)= ，则tan(。-/)=.入4【答案】-4 3【解析】冗42"一45试题分析：由题意sin I 9 + I 4；7二因为 2k 二 一 ：:： 2 ： 2k

15、27： k e Z ，所以 2k二 一 - - : 2k二 一 k 三 Z ,2444从而 sin 6 I = 因此 tan 6 ；=.故填 .I 4J 5 I 4J 33考点：三角变换【名师点睛】三角函数求值，若涉及到开方运算，要注意根式前正负号的取舍，同时要注意角的 灵活变换.(15)设直线y=x+2a与圆C: x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点，若恒川=2逐,则圆C的面积为【解析】试题分析：由题意直线即为父-，+2口=0,圆的标准方程为V + j-二口42r所以周心到直线的距离d二胞网=2而叫一+2 = r2 =4，所以S = 4兀/-4兀.故填4X,考点：直线与圆【名师点睛】注

16、意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质，如圆的半径r、弦长1、圆心到弦的距离d之间的关系:,I 2在求圆的方程时常常用到(16)某高科技企业生产产品 A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲 材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料 150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大 值为 元.【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品 A、产品B分别为X、y件，利润之和为z元

17、，那么'1.5x+0.5y, 150,x +0.3y, 90,5x+3y, 600,x- 0, yO.目标函数z =2100x 900y.二元一次不等式组等价于次子 3嗅3。0,10x + 3t900:5x-3y600.0.作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）即可行域900将二, 2100n-900j变形相j -平行直骐）=工者直线 39003"口，.、10x 3y =900取得最大值.解方程组x y，得M的坐标（60,100）.5x 3y = 600所以当 x =60, y =100 时，zmax =2100父60 + 900父100 = 216000.故生产产品A、

18、产品B的利润之和的最大值为 216000元.考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的 距离，解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）.（本题满分12分）已知4是公差为3的等差数列，数列6满足1b1=1, b2 = , anbn4t+bn41 =nbn,. 3求an的通项公式；（II）求如的前n项和.31【答案】 an=3n1 （II） -n .2 2 3【解析】

19、试题分析:（I）由已知条件求出苜项为Z根据公差为%即可确定等差数列的通项公式（II）先判断：是 等比数列，再求出通项公式:最后二再利用等比数列求和公式求葭的前打项和.试题解析:由已知，,4+&二瓦在=1也=，得口也+与 =瓦，4 =1也=，得用=所以微列也是首项为2T公差为3的等差数列，通项公式为小=次-1.b , ,1 ,（II）由 和anbn书十如书=nbn ,得bn =，因此 b是首项为1,公比为一的等比数列.33记bn的前n项和为Sn,则14n sf3考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程利用这些方程可将等差、

20、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组），因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（18）.（本题满分12分）如图，在已知正三棱锥 P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6,顶点P 在平面ABC内的正投影为点 巳连接PE并延长交AB于点G.（I）证明G是AB的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点 E在平面PAC内的正投影F （说明作法及理由），并 求四面体PDEF的体积.4【答案】（I）见解析（II）作图见解析，体积为一3【解析】试题分析：先证明,0_ RS由PA = PB可得G是AB的中点.(II)在平面PAB内过作PB

21、的平行 线交于点F产即为E在平面PAC内的正投/一要求四面体PDEF的体积可先证明DE 平面PAB 把DE看作高，求出高及底面积:即可确定体积.试题解析：(I)因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB_L PD.因为D在平面PAB内的正投影为E ,所以AB _L DE.所以AB _L平面PED，故AB _L PG.又由已知可得 尸A = PB，从而G是AB的中点.(II)在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F ,F即为E在平面PAC内的正投 影.理由如下：由已知可得 PB 1 PA , PB _L PC ,又EF /PB，所以EF _L PC ,因此EF _L平 面PAC，即点F为

22、E在平面PAC内的正投影.连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形 ABC的中心.2由(I)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD =CG.3由题设可得 PC _L平面PAB ,DE _L平面PAB，所以DE / /PC因此 ,2 -1-PE =-PG, DE PC.3 3由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA = 6，可得DE =2,PE -2 .2.在等腰直角三角形 EFP中，可得EF = PF =2.1 14所以四面体 PDEF的体积V =父一父2父2父2 =. 3 23考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证

23、明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主.(19)(本小题满分12分)某公司计划购买 1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有 一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件 ，每个200元.在机器使用期间，如 果备件不足再购买 则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 ，得下面柱状图：0161718192021 更换的易损零件数记x表

24、示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.(I)若n =19，求y与x的函数解析式；(II)若要求 需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n的最小值；(III)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买 19个还是20个易损零件？3800,x <19,【答案】(I) y =，(x W N) ( II) 19 (III ) 19500x-5700,x

25、>19,1解析】, 3800Y <19试题分析； 分及Q电分别求解析式,从而可确定y,二任史kb 门口通过500x5700. x > 19. X.频率大小进行比较NIII)分别求出片m加的所需费用的平均数,比较两个平均数的大小可知购买1台机器的同时应购买15个易损零件.试题解析：(I)当 工 工 19 时,1=3800 j 当h A19时,* = 3800+ 500(x-l9) = 500x-57Q0 ：所以 j与工的(xeN)"党00,x<l?.500x-5700.x >19. X.18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n的(n)由柱状图知

26、，需更换的零件数不大于 最小值为19.(出)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损1零件上所需费用的平均数为(4000 90 4500 10)=4050.100比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买 19个易损零件考点：函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查 题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题，有综合性但难度不大，求解关键是读懂(20)(本小题满分12分)在直角坐标系 xOy中，直线l:y=t(tw0交y轴于点

27、M,交抛物线C： y2 =2px(p 0)于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.- OH求；ON|(II)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由【答案】(I) 2 (II)没有【解答】2试题分析：先确定 N(L,t) ,ON的方程为y = _px,代入y2Pt222Px整理得 px -2t x = 0,22= 0,x2= t，得 H(2t ,2t),由此可得 N 为 OH 的中点，即 10 =2. (II)P P|ON |把直线MH的方程y -t =宗，与y2 =2px联立得y2 4ty +4t2 =0,解得y1 = y2 =2t, 即直线MH与C只有一个公共点，

28、所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.试题解析：(I 由已知得"(0#尸(二2P又N为M关于点P的对称点版003的方程为 =P巨七代入y: =整理得p£ - %、=Q解得通土，因此H(主2).PP所以N为0H的中点即 "=2| ON |(n)直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下：直线 MH 的方程为 y -t = x ip x = 2t(y t).代入 y2 = 2px得 y2 一4ty + 4t2 = 0,解得 2t， p -yi =y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共 耳 八、.考点：直线与抛物线【名师点睛】

29、高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容 ，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用 .2(21)(本小题满分12分)已知函数 f (x ) = (x-2 )e + a(x-1 ).(I)讨论f (x胆单调性；(II)若f(x市两个零点，求a的取值范围.【答案】见解析(II) (0,+8)【解析】试题分析：(I)先求得f'(x )=(x

30、1 )(ex+2a )再根据1,0,2a的大小进行分类确定f(x)的 单调性；(II)借助第一问的结论，通过分类讨论函数单调性，确定零点个数，从而可得a的取值 范围为0卜试题解析：(I) f' x)=(x -1 ex 2a x -1)=：x -1 ex 2a .(i)设 a 、0,则当 xe (-°0,1)时，f '(x )<0 ；当 xw (1,")时，f '(x)>0.所以在(-8,1河调递减，在(1+ )单调递增.(ii)设 a <0 ,由 f '(x )=0得 x=1 或 x=ln(-2a).e若a = -2，则f&

31、#39;(x ) = (x1 Xex e),所以f (x心产)单调递增.若 ae,则 ln(-2a)<1,故当 xe (-°°,ln (2a )U(1,收)时，f '(x)>0;当 x (ln(-2a )1 Ft f '(x)<0 所以 f (x )在(-°0,ln (-2a ),(1,+ )单调递增 在 (ln(-2a ),1)单调递减.若 a <2,则 ln(-2a)>1,故当 xe (-°°,1 )U(ln(-2a )产)时，f'(x)>0,当x1,ln (2a )时，f 

32、9;(x )<0,所以 f (x )在(-°0,1 ),(ln(2a)," )单调递增，在(1,ln (-2a )单调递减.(H)设口)。：则由口冻口在(Tl)单调递减在(L”)单调递增.又f(l) = 一团/(2)二人取。满足加切且?<11131上 X/ W 、则乃:仕-2)+口 g-i=ay-三占0一所以可有两个零点一2、工)设D则f (#) = (x- 2) /所以/(X)有一个零悬时设若a>-t,则由。点J(,)在(L*0)单调递增一又当工1吐/(,)包故/(药不存在两个零点若口 <-(则由岭口J在(LEL町单调递减在 (ln(-加卜内)单调

33、递增*当兀41时 工)<0,故可不存在两个零点.综上题的取值范围为(0.48).考点：函数单调性，导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数 ，利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题 号(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图AOAB是等腰三角形，/

34、AOB=120° .以O为圆心，1 OA为半径作圆.2(I)证明：直线AB与匚O相切；(II)点C,D在。上，且A,B,C,D四点共圆,证明:AB / CD.【答案】(I)见解析(II)见解析【解析】试题分析：设E是AB的中点冼证明= 60,进一步可得0E = 1d/即0到直线AB的距高等于圆O的半径所以直线相与6o相切.QD设。1是4民G普四点所在圆的圆心作直线。.证明OO' LABOO' -CD .由此可证明且笈/ CD .试题解析：(1 >设E是.45的中点，连结0E：因为 OA = OB、ZAOB = 120t所以 OE ±AB:ZAOE =

35、60，1 .在RtMOE中，OE = AO,即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以直线AB与。O2相切.(n)因为OA=2OD,所以O不是A, B,C,D四点所在圆的圆心，设O'是A, B,C,D四点 所在圆的圆心，作直线OO'.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O'在线段AB的垂直平分线上，所以 OO ' _L AB .同理可证，OO' _LCD ,所以AB /CD .考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制 ，在证明时要抓好 长度关系”与 角度关系 的转化”熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相 似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理(23)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程x = acost在直角坐标系x Oy中，曲线Ci的参数方程