2017全国初中数学联赛初二卷及详解

1、2017全国初中数学联赛初二卷 及详解2017年全国初中数学联合竞赛试题初二卷第一试一、选择题：（本题满分 42分，每小题7分）3b ca 2b1 .已知实数 a,b,c 满足2a+13b+3c=90, 3a+9b+c=72,贝U的值为（）A.2B.1C.0D.-12 .已知实数a,b,c满足a+b+c=1, 上 0,则 a 1 b 3 c 5(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 的值为().A.125B.120C.100D.813 .若正整数a,b,c满足aw bw c且abc=2（a+b+c）则称（a,b,c）为好数组.那么好数组的个数为（）A.4B.3C.2D.14 .已知正整数 a

2、,b,c 满足a2-6b-3c+9=0)-6a+b2+c=0)则 a2+b2+c2 的值为().A.424B.430C.441D.4605 .梯形ABCD 中，AD/BC, AB=3 BC=4 CD=2 AD=t 则梯形的面积为().A.呼B.呼C.3&D.3«6 .如图，梯形 ABCD 中，AD/BC, /A=90°，点 E在AB上，若 AE=4Z BE=28, BC=70 / DCE=45 ,贝U DE勺值为DLA.56B.58C.60D.62AE 林二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7 .使得等式遍成立的实数a的值为.8 .已知 MBC的三个内角满足A

3、v Bv Cv 100° .用0表示 100° -C,C-B,B-A中的最小者，则0的最大值为9 .设a,b是两个互质的正整数，且p 为质数.则p的值为10.2办都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若 干个数之和都不等于7,则这20个数之和的最小值为第二试一、（本题满分20分）设A,B是两个不同的两位数，且B 是由A交换个位数字和十位数字所得，如果芥-B2是完全平 方数，求A勺值.二、（本题满分 25分）如图，ZXABC中，D为BC的中点,D呼分 /ADB D评分 /ADC BELL DE CFL DF, P 为 AD与EF的交点.证明：EF=2PD.（本题满分25分

4、）已知a,b,c是不全相等的正整数,为有理数，求圣士的最小值.a b c2017年全国初中数学联合竞赛试题 初二卷参考答案第一试一、选择题：（本题满分 42分，每小题7分）1 .已知实数 a,b,c 满足2a+13b+3c=90, 3a+9b+c=72,贝U 477 a 2b的值为（）.A.2B.1答案：B对应讲次： 所属知识点：方程C.0D.-1思路：因为所求分式的特点可以想到把 a+2b, 3b+c看成 一个整体变量求解方程.2b 1.解析：已知等式可变形为2(a+2b)+3(3b+c)=90 ,3(a+2b)+(3b+c)=72 )解得 a+2b=18, 3b+c=18,所以生a2 .已

5、知实数a,b,c满足a+b+c=1,工，。，则 a 1 b 3 c 5(a+1)2+(b+3)2+(c+5)2 的值为().A.125B.120C.100D.81答案：C对应讲次:所属知识点：方程思路：可以想到换元法 解析：设乂=2+1)y=b+3)z=c+5)则x+y+z=10)； ( ： °, /. xy+xz+yz=0)由 x2+y2+z2=(x+y+z) 2-2(xy+xz+yz)=100. 贝U (a+1) 2+(b+3) 2+(c+5)2 =100.3 .若正整数a,b,c满足aw bWc且abc=2(a+b+c)则称(a,b,c)为好数组.那么好数组的个数为().A.4

6、B.3C.2D.1答案：B对应讲次：所属知识点：数论思路：先通过aw bw c且abc=2(a+b+c)的限定关系确定可 能的种类，再通过枚举法一一验证.解析：若(a,b,c)为好数组)贝U abc=2(a+b+c) w 6c)即ab W6)显然a=1或2.若 a=1)贝Ubc=2(1+b+c)即(b-2)(c-2)=6 )可得 (a,b,c)=(1,3,8)或(1,4,5),共 2个好数组.若a=2)则b=2或3)可得b=2,c=4; b=3,c= ! ,不是整数舍去，共1个好数组.共3个好数组(a,b,c)=(1,3,8) (1,4,5) (2,2,4).4 .已知正整数 a,b,c 满足

7、 a2-6b-3c+9=0 , -6a+b2+c=0,贝U a2+b2+c2 的值为（）.A.424B.430C.441D.460答案：C对应讲次：所属知识点：方程思路：由已知等式消去c整理后，通过a,b是正整数的限 制，枚举出所有可能，并一一代入原方程验证，最终确 定结果.解析：联立方程可得(a-9) 2+3(b-1) 2=75,则3(b-1) 2<75, 即 iwbw6.当b=1,2,3,4,5时，均无与之对应的正整数a;当b=6时，a=9,符合要求，此时c=18,代入验证满足原 方程.因止匕，a=9, b=6, c=18,贝U a2+b2+c2=441.5 .梯形ABCD 中，AD

8、/BC, AB=3 BC=4 CD=2 AD=1, 则梯形的面积为（）.A.噂B.1033C.3 石D"对应讲次：所属知识点：平面几何思路：通过作平行四边形把边长关系转化到一个三角形 中来.解析：作AE/DC, AH ±BC,则ADCE是平行四边形，贝 U BE=BC-CE=BC-AD=3= AB则ZABE是等腰三角形，BE=AB=3 AE=2经计算可得AH 4-2 3 .所以梯形ABCD的面积为1 14逑亚.2336 .如图，梯形 ABCD 中，AD/BC, /A=90°，点E在AB 上，若 AE=4Z BE=2& BC=70 / DCE=45 ,则 D

9、E勺值为 答案：B()A.56B.58C.60D.62对应讲次：所属知识点：平面几何思路：补形法，把直角梯形先补成正方形，再利用旋转 把边长关系转化到同一个三角形RtZEAD中去，利用勾 股定理求解.解析：作CFLAD,交AD的延长线于点F,将ZCDF绕点 C逆时针旋转90°至ZTGB,则ABCF为正方形，可得 任CG0ZECD,EG=ED.设 DE=x 贝U DF=BG=x-28 AD=98-x.在 RtZEAD 中，有 422+(98-x) 2=x2,解得 x=58.二、填空题：(本题满分 28分，每小题7分)7 .使得等式遍成立的实数a的值为.答案：8对应讲次：所属知识点：方程

10、思路：通过等式两边都6次方可以去掉最外面根式，再用 换元法化简等式，最后要验证结果是否满足最初的等式 解析：易得1 -1-a 3 a2 .令x C,则xA0,代入整理可得x(x-3)(x+1) 2=0,解得 xi=0, x 2=3, x 3=-1)舍负)即 a=-1 或8)验证可得 a=8.8 .已知 MBC的三个内角满足Av Bv C< 100° .用0表 示100° -C,C-B,B-A中的最小者，则0的最大值为答案：20°对应讲次：所属知识点：代数思路：一般来说，求几个中最小者的最大值时，就是考 虑这几个都相等的情况.解析：100° -c,

11、ewc-B, e < B-A/.e <1 13(100° -C) +2(C-B)+(B-A) =20° 又当A=40° ,B=60° ,C=80° 时，0 =20° 可以取到.则e的最大值为20。.9 .设a,b是两个互质的正整数，且p普为质数.则p的值为答案：7对应讲次：所属知识点：数论思路：因为p是质数，只能拆成1和p,另一方面通过a+b、 a、b两两互质来拆分普的可能种类，最后分类讨论，要 么与条件矛盾，要么得出结果.解析：因为a,b互质，所以a+b、a、b两两互质，因为丝质 a b-ab3 1 一一一或ab3 p

12、一数，所以士 可得a=b=1, p=4,不是质数舍； 上1可得 a b Pa ba=7, b=1, p=7,符合题意.则 p=7.10.2g都不等于7的正整数排成一行，若其中任意连续若 干个数之和都不等于7,则这20个数之和的最小值为 答案：34对应讲次：所属知识点：数论思路：考虑 1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1,8,1,1,1,1,1,1满足题设要求，其和为34,接下来只需要考虑该数列是 否为和最小的数列.解析：设该正整数列为an n 20,n N* ,考虑ak 1 a ,L , k 6a k 14,k N* , i ki k依抽屉原理必然有两项模7的余数相同，则该两项的

13、差是 7的倍数，于是任意连续7项之中必有连续子列之和为7的 倍数，又不能为7,则最小为14.于是20个数中至少有2组 这样的子列其总和不小于28,剩下6个数之和不小于6, 于是该数列之和不小于34.由 111,1,1,1,8,1,111,1,1,8,1,1,1,1,1,1可知，存在数列和为34的情况.第二试一、(本题满分20分)设A,B是两个不同的两位数，且B 是由A交换个位数字和十位数字所得，如果A2-B2是完全平 方数，求A勺值.答案：65对应讲次：所属知识点：数论 思路：对于需要考虑不同位数上数字的情况，可以把一 个两位数而设为10a+b,转为为代数问题，再利用完全平 方数的质因数分解式

14、也是以完全平方数对的形式出现， 综合分析所有限定下可能性，最终确定结果.解析：设 A=10a+b(1Wa,b w 9ab GN),贝 UB=10b+a IA,B不同得 a# b,A2-B2=( 10a+b)2-(10b+a) 2=9X 11 x (a+b)二11)(a-b).由第B2是完全平方数，则a>b, 11ia b a b ,可得a+b10分a-b也是完全平方数，所以a-b=1或4.15分若a-b=1)贝Ua=6)b=5;若a-b=4,则没有正整数解.因此 a=6)b=5)A=65.20分二、（本题满分 25分）如图，ZXABC中，D为BC的中点, D呼分 /ADB D评分 /AD

15、C BELL DE CFL DF, P 为 AD 与EF的交点.证明：EF=2PD.对应讲次：所属知识点：平面几何思路：因为EF、PDtB在ZDEF中，所以想办法推出其性质， 比较容易得出/ EDF=90 ,此时若能得出EF=PD贝I自然 可以得到结论.解析：由D呼分/ ADB D评分/ ADC可得/ EDF=90 .5分由 BE!DE4BE/DF,则/ EBDW FDC.10分又 BD=DC/ BEDW DFC=90，贝UABED 二 ADFC , BE=DF .15分得四边形BDFE是平行四边形，/ PEDW EDB=/ EDPEP=PD. 20分 又4EDF是直角三角形，EF=2PD.25分三、(本题满分25分)已知a,b,c是不全相等的正整数,且&为有理数，求 3应的最小值.5b ca b c答案：3对应讲次：所属知识点：数论 思路：通过a,b,c是正整数，可以把有理部分和无理部分 分离考虑.注意到画c 0,可以通过分母有理化来实现分 离，再利用a,b,c互不相等，从最小正整数开始讨论即可 得出最小