一元二次方程知识点总结全难易两个部分

1、1 / 6第二章一元二次方程1、花边有多宽(1)整式方程及一元二次方程的概念整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a乒0)的形式。1.一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程，可化为一般形式；2.只有当二次项系数a 0时，整式方程ax2bx c 0才是一元二次方程。(2)一元二次方程的一般式及各系数含义一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a乒0),其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。2、配方法(1)直接开平方法的定义利用平方根的定义直接开平方求一

2、元二次方程的解的方法叫直接开平方法。(2)配方法的步骤和方法一、移项，把方程的常数项移到等号右边；二、配，方程两边都加上一次项系数的一半的平方，把原方程化为(x+m)2=n(n 0)的形式；三、直接用开平方法求出它的解。3、公式法(1)求根公式b . b24acx=-2a(2)求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a乒0);二、计算b2-4ac的值，当b2-4ac 0时，方程有实数根，否则方程无实数根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、写出方程的两个根。4、分解因式法(1)分解因式的概念当一元二次方程的一边为0,而另一边易

3、于分解成两个一次因式的乘积时，根据a b=0,那么a=0或b=0,这种解一元二次方程的方法称为分解因式。(2)分解因式法解一元二次方程的一般步骤一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为0,得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程，它们的解就是原方程的解。5、为什么是0.618(1)什么叫黄金比线段AB上一点C分线段AB成两条线段AC , BC,若些=些，则C点叫线段AB的黄金分割点，AB AC其中AC叫黄金比，其值为0.618。AB(2)列一元二次方程解应用题的一般步骤一、审题；二、设求知数；三、列代数式；四、列方程；五、解方程；六、检验；七、

4、答、本章知识结构框图b2-4ac 0时,2 / 6二、具体内容1、 一元二次方程的一般式 ：ax2bx c 0 (a 0) , a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。2、一元二次方程的解法(1)直接开平方法(也可以使用因式分解法)1x2a(a 0)解为：x4a2(xa)2b(b0)解为：xaTb3(ax b)2c(c0)解为：axbVc4(ax b)2(cxd)2(a c)解为：axb(cx d)(2)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如：ax2bx 0(a,b 0) x(ax b) 0此类方程适合用提供因此，而且其中一个根为0 x29 0 (x 3)(x 3) 0 x

5、23x 0 x(x 3) 03x(2 x 1) 5(2x 1) 0(3x 5)(2x 1) 0注意：提取整个因式的方法非常常见，解题的过程中一定要认真观察。2222x 6x 9 4 (x 3)4 4x 12x 9 0(2x 3)0 x24x 12 0 (x 6)(x 2) 02x25x 12 0(2x 3)(x 4) 0十字相乘法非常实用，注意在解题的过程中多考虑。3 / 6注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。备注：公式法解方程的步骤：元二次方程的一般式：ax2bx c 0 （a 0）,并确定出首先看方程中a,b,c是否可以同时除以或者乘以

6、一个非零的数，使得方程更加方便计算:如：10 x2100 x 50 0（同除于10）x210 x 5 0这样更加方便计算。1213x2 x 0（同乘于4,这样二次项的系数为正整数，更方便计算）24 4四种求方程方法的一定要合理选用，依次按直接开平方、因式分解，配方法和公式法的顺序考虑选用。（3）配方法二次项的系数为“2x Px q 0示例：x23x 11”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示P2P2(x2)三)q 020 (x -3)2(3)21 0二次项的系数不为2,-,ax bx c 0 (a0)/ 2a(x先提取二次项的系数，之后的方法同上:b-x） c 0aa(xy)22

7、ab2%)b2a（x胃）b24a2b 4ac4a212x 2备注：实际在解方程的过程中，一般也只是针对 考虑使用公式法来更加简单。示例:2x 112一(x 4x)212（x1且b为偶数时,2)212-212（4）公式法：一元二次方程ax2bx c 0 （a0），用配方法将其变形为：（x ）2-一羿2a4a22当b4ac0时，右端是正数.因此，方程有两个不相等的实根:X1,24ac2ab24ac0时，右端是零.因此，方程有两个相等的实根:bx1，2云4ac0时，右端是负数.因此，方程没有实根。把方程化成一般形式:求出b2并判断方程解的情况。代公式:X1,2, b24ac,理件土必 口、-（要汪息

8、符号）2a备注：一兀.次方程的解题步骤:2x2的时候:a1”4 / 6可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验，同时对于应用题中，一定要考虑根的实际意 义，是否所有的根都是方程的解。2x2x5 / 63、根的判别式1.了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范围。(1)= b24ac从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。2.常见的问题类型(1)利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况(2)已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围(3)应用判别式，证明一元二次方程根的情况

9、例：求证：方程(a21)x22ax (a24)4、一元二次方程的根与系数的关系b . b24ac bb24ac-凶 -2a2ab . b 4ac b . b 4ac b所以：x1x22a2aa定理：如果一元二次方程ax2bx c0 (a 0)定的两个根为x，x2，那么:bc一，为乂2 -aax1x2b b24ac b b24ac2a2a(b)2(. b24ac)24acc22(2 a)24a2a法2：如果一元二次方程ax2成c 0 (a 0)定的两个根为x，x2;那么2ax bx c 0a(x x1)(x x2) 0两边同时除于a ,展开后可得:(xx2)x xgx20 x1x2b；x1?x2

10、&aa(2)根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程2ax成c 0 (a 0)当a方程有实数根;0方程有两个不相等的实数根；当0方程有两个相等的实数根；)_ , a当方程无实数根;0无实数根。2.法1：一兀二次万程ax bx c0 (a 0)的两个根为:x1x1x26 / 6法3:如果-兀一.次方程2axibxic0Lax22bx；2c0L常用变形：2Xi2X2(XiX2)2|XiX21 (XiX2)2生Xi2Xi2X2XiX2X1X2练习:2.ax bx2XiX2,4X1X2,(XiX2)2X1X2Xi0 (a2XiX24XX2【练习1】若xi, X2是方程x22X.2211X1X

11、2；一一；XiX20)定的两个根为得：XiX2X2,(XiXiX2Xi2X2XX2(Xi2007(Xi【练习2】已知关于X的方程x2(k 1)X(1)方程两实根的积为5;(2)方程的两实根2【练习3】已知Xi,X2是一元二次万程4kx(1)是否存在实数k,使(2xiX2)(Xi请您说明理由.Xi求使X2X22的值为整数的实数5、韦达定理相关知识(1)若一元二次方程Xi?X2Xi, X2 ;那么b-(余下略)a、2 2X2)(XiX2)4XiX2,0的两个根，试求下列各式的值:5)( X25);(4)| XiX2| .12k 1 0,根据下列条件，分别求出k的值.4Xi, X2满足| Xi| X

12、2 .4kx k 1 0的两个实数根.2x2)3成立？若存在，求出k的值；若不存在,2k的整数值.ax2bx c 0(a0)有两个实数根 乂和X2，那么xiX20我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理2(2 )如果一兀一次方程Xpx q 0的两个根是乂和X2,则xiX2Xi?X2(3)以Xi和X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是X2(XiX2)X Xi?X20(4)在一元二次方程ax2bx c 0(a 0)中，有一根为0,则c7 / 68 / 6a b c；有一根为1 ,则a b c；若两根互为倒数，则c；若两根互为相反数，贝U b。(5)二次三项式的因式分解(公式

13、法)在分解二次三项式ax2bx c的因式时，如果可用公式求出方程ax2bx c 0(a 0)的两个根x1和x2,那么ax2bx c a(x x1)(x x2).如果方程ax2bx c 0(a 0)无根，则此二次三项式ax2bx c不能分解。6、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨2axbx c0(a0)的两个根为x，x2,那么：(1)2 2p xpbxx1x2c 0( p 0)的两个根为：一，一P P(原因留给大家自行思考)例1:49x235x12 0 Q 49 72,35 7 5.、2-一一-先求出方程：x 5x 12 0的两根为573，1 573、5 ,73x1,2，故原万程的根为：不,2(一-)-2，7214(2)2一2x qbx q c 0(q 0)的两个根为:qx，qx2例2:2x 700 x 300000 0 Q 700100 7,30000021002( 30)2先解得万程：x 7x 30。的两根为:X10, x23,所以原方程的两个解为x1100 ( 1