(完整版)6-2等差数列综合练习与测试有答案

1、第 2 讲 等差数列基础巩固题组（建议用时： 40 分钟 ）一、填空题1. （2017南京模拟）在等差数列an中，已知ai + a7= 10,则a3 + a5=. 解析-an是等差数列，.'a3+ a5 = ai + a7= 10.答案 102. （2017南通调研）已知数列an是等差数列，a1 + a7= 8, a2= 2,则数列an 的公差d=.a1 + a1 + 6d 8,解析 法一 由题意可得a1+ d 2，解得 a1 5， d 3.法-a1 + a7 2a4 8,.°a4 4, 34 a2 4 2 2d ,d 3.答案 33. （2015陕西卷）中位数为1 010的

2、一组数构成等差数列，其末项为 2 015,则该 数列的首项为 .解析 设该数列的首项为a1,根据等差数列的性质可得a1 + 2 015 2X1 010, 从而 a1 5.答案 54. 已知等差数列an的前n项和为Si，且S10 10, S20 30,则S30,解析 - S10, S20 S10, S30 S20 成等差数列,.2(S20 Sio)= S10+ S30 S20 ,'40= 10+ S30 3O,.°.S3o= 60.答案 605. (2017徐州、宿迁、连云港模拟)在等差数列an中，ai + 3a8 + ai5= 120,则 3a9 a11 的值为 解析 由 a

3、i+ 3a8 + ai5= 5a8= 120,得 a8 = 24,故 3a9 aii = 3(ai + 8d) (ai+10d)=2a1+14d=2(a1+7d)=2a8=48.答案 486. 设数列an, bn都是等差数列，且 ai = 25, bi = 75, a2 + b2= 100,则 a37+b37= .解析 设an , bn的公差分别为 di, d2,则(an+ i+ bn+ i) (an+ bn)= (an+ 1 an)+ (bn+i bn)=di+ d2, an+ bn 为等差数列,又 ai+ bi=a2+ b2=i00,an+ bn为常数列， a37+ b37= 100.答案

4、 i007. (2017泰安模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,若a2= 11, a5 + a9= 2,则当 Sn 取最小值时, n = .a2= ii,解析设等差数列an的首项为 ai，公差为 d，由得a5+ a9= 2,ai+ d= ii,2ai+i2d= 2,ai=i3,解得d= 2. an= i5+ 2n.由 an=-15-15+ 2nW0,解得nwq.又n为正整数,当Sn取最小值时，n = 7.答案 78. 正项数列an满足 ai= 1,a2 = 2,2an = an+1+ an-i(n N*,n2),则 a7 =.解析 由2a? = a?+1+ a2-1(n N*, n2),可得

5、数列a2是等差数列，公差d =a2 a2= 3,首项 a2= 1,所以 an= 1 + 3(n 1) = 3n- 2,：an= ：. 3n 2,二 a7= 19.答案 19二、解答题9. (2016 全国 U卷)等差数列an中，a3 + a4= 4, a5 + a7 = 6.(1) 求an的通项公式；设bn=an，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过X的最大整数, 如0.9 = 0, 2.6 = 2.解(1)设数列an首项为a1,公差为d,由题意有2a1 + 5d = 4, a1 + 5d = 3.a1 = 1,解得 2d = 5.所以an的通项公式为an =2n + 35(2)由(1)知

6、，bn =2n+ 35当 n= 1,2,3 时,2n+ 35<2,bn= 1 ；当 n = 4,5 时，2<2n + 35<3,bn= 2；当 n = 6,7,8 时,3<2n+ 3<4,bn= 3；当 n = 9,10 时，4W2n+ 3bn= 4.所以数列bn的前10项和为1X 3+ 2X 2+ 3X 3+ 4X 2 = 24.10. 已知数列an的前n项和为Si, ai = 1, anM0, anan+1 =入S 1,其中入为常数.(1) 证明：an + 2 an= X(2) 是否存在人使得an为等差数列？并说明理由.(1) 证明 由题设知，anan+1=

7、X S 1 , an + 1an + 2= X n+1 1.两式相减得 an+ 1(an+2 an) = X a+1.由于 an+1 M 0,所以 an+2 an= X(2) 解 由题设知，a1 = 1, a1a2= X1 1,可得 a2= X 1.由(1)知，a3 = X+ 1.令2a2 = a1 + a3,解得后4.故 an+ 2 an= 4,由此可得a2n1是首项为1,公差为4的等差数列，a2n1 = 4n 3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列，a2n= 4n 1.所以 an = 2n 1, an+1 an = 2.因此存在 =4,使得数列an为等差数列.能力提升题组(建议用时：20

8、分钟)11. (2017东北三省四市联考)莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差1数列，且使较大的三份之和的1是较小的两份之和，则最小的一份为 .解析 依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为 a 2m, a m, a, a+ m, a+ 2m,贝U有5a=100，初/曰11a_a解得 a= 20, m= 24 , a 2m=佃a+ a+ m + a+ 2m = 7 a 2m + a m ,55=3,即其中最小一份为§.5答案512. (2017泰州模拟)已知正项等差数列an的前n项和为3,若Si2= 24

9、,则a6 a?的最大值为.解析 在等差数列an中，：Si2=6(a6 + a7)= 24,：a6+ a7 = 4,令 x>0, y>0,由基本不等式可得x y< X-+y 2,当且仅当x=y时“=”成立.又a6>0,a7>0,.'a6 a7<a6 + a722= 4,当且仅当a6= a7= 2时,=”成立.即a6 az的最大值为4.答案413. 设等差数列an, bn的前n项和分别为Sn, Tn,若对任意自然数n都有黒=能，则命+寻的值为解析.an , bn为等差数列,a9a3a9a3a9+ a3a6 + +b5 + b7b8+ b42b62b6 2

10、b6b6S11 ai + a11 2a6 2X 11 319T11_ b1 + bn_ 2b6_ 4X11 3 41,a6 19'b6= 41.19答案1914. (2014江苏卷)设数列an的前n项和为Sn.若对任意的正整数n,总存在正整数m使得Sn= am,则称an是“ H数列”.(1) 若数列an的前n项和Sn= 2n(n N*)，证明：an是“ H数列”；(2) 设an是等差数列，其首项a1 = 1,公差dv 0,若an是“ H数列”，求d 的值；证明：对任意的等差数列an，总存在两个“ H数列” bn和cn，使得*an= bn+ Cn(n N )成立.证明 首先 ai = Si = 2,当 n2 时，an= Si Sn-i = 2n 2n 1 = 2n 1,所以2, n=1,an =2n 1, n>2,所以对任意的n N*, Sn = 2n是数列an中的n+ 1项,因此数列an是“ H数列”.解 由题意an= 1 + (n 1)d,n+ n n1 d,数列an是“ H数列”，则存在 k N*，使 n+ 叮d二 1 + (k 1)d, k二吟 + 叮 + 1,由于n n 1_2-n 1 N ,又k N ,则一匸 Z对一切正整数n都成