含参数的一元二次不等式的解法

1、1含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按X2项的系数a的符号分类，即a0,a=0,a-或x -2a2a当a =0时，不等式为2x+10，解集为x|x；？ a2+ya2+4_a_2_Ja2+4当a0时，解集为Jx|一x0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。解a(x2-5x 6) = a x - 2 x -3 )0,二当a a 0时，解集为x | x 2或x a 3当a 0时，解集为k | 2 x 32、(1 ax)21.【解】由(1 - ax)21得a2x2- 2ax+ 11.即ax(ax2)0.(1)当a=0时，不等式转化为00,故原不 等式无解.(2)当a

2、0,2即x(x )0.a20 ,不等式的解集为x|2aax0.变式：解关于x的不等式1、(x2)(ax2) A0 ;当a ：0时,x|2:x2 a(2)当a =0时,x|x =: 2)2(3)当0 a C1时, x| x 0时，不等式转化为x(ax 2)0, a2.不等式的解集为x|0 xa.综上所述：当a= 0时，不等式解集为空集；2当a0时，不等式解集为x|2x0时，不等式解集为x|0 x .a二、按判别式 的符号分类，即AA0,A=0,A0分析 本题中由于x2的系数大于 0,故只需考虑与根的情况。解：A = a2-16.当aw (4,4抑A 4或aY即AA0,此时两根分别为x1 =- -

3、 -, x2=- - ，显然x122亍华十所林，住织a+Ja 16孑 /a a 16 1 不等式的解集为 Jx x-或 x -22例4解不等式(m2+1 x24x +1芝0(m w R )解 因m2+1 a 0, A = (-4)24(m2+1 )= 4(3 - m2)所以当m =73，即A = 0时，解集为x | x = 1 ?；当-Jm。时，解集为xx竺厂或x空兰叫m2十1m2+1当m J3或m廿3，即0时，解集为R。3、ax?(a+1)x+10(aR)1 ,、(1)当 a0 寸,x|x_,或 x 1a(2)当 a=0 时,x|x 11(3)当0 .a :：: 1 时,x|1 ：x a(4

4、)当 a=1 时，1x2,变式：解关于x的不等式：ax2+x +1 01 、1 _4a 孑_1 _.1 _4a、(1) 当 a 0 时,x|x - -,或 x- 2a2a(2) 当 a =0时,x|x ： 1*1仆一 1 一. 1 _4a_1 . 1 _4a(3) 当 0 a一时,x |- x -42a2a1 .(4) 当 a _ 时，：.：4三、按方程ax2+bx+c=。的根x1, x2的大小来分类，即x x2,x= x2, x x2;例 5 解不等式x2-(a+【)x +1 0 (a尹0) a1、 一分析：此不等式可以分解为：(x -a lx - ) 0,故对应的方程必有两解。本题a只需讨

5、论两根的大小即可。解：原不等式可化为：(xaQx 1)。，令a=，可得：a =1 aa当a -1或0a 1时，a ，故原不等式的解集为 x|axl；aa,当a=1或a = 1时，a=l,可得其解集为令；a当1a -,解集为x |】x 0 ,a#0分析 此不等式 =(-5a f - 24a2= a2a0，又不等式可分解为(x - 2a (x-3a) a 0 ,故只需比较两根2a与3a的大小.解 原不等式可化为：(x-2a (x3a) 0，对应方程(x2a(x-3a) = 0的两根为xj = 2a, x2=3a，当a 0时，即2a V 3a，解集为 板| x3a或x ；当a 3a，解集为x| x

6、2a或x : 3a /变式：1、x2- (a + a2)x + a31，或a0 时，不等式的解为 axa2当 0a1 时，不等式的解为 a2xa 当 a= 0,或 a= 1时，不等式解为()2、x2-ax - 2a2 0方程x2- ax - 2a2= 0.的判别式上=a2 8a2= 9a2 0得方程的两根为x= 2a, x2= -a.(1)若a0,贝U - ax2a(2)若a = 0,则原不等式为x20,此时解为(3)若a 0,则2a x -a.综上所述，原不等式的 解集为：(1)当a a 0寸,x |-a x 2a；4课后练习:1、一0(a,3,且 a#W)(分a_2;/a3;aA3讨论)(

7、x 2)(x S)(1) 当 a -2 时,x|x a,或2 x 3(2) 当2 a 3 寸,x|x-2,或 a x 3(3)当 a3寸,x|x -2,或 3x a 2、不等式_a 1的解集为x | x 2，求a的值.（a=；）3、已知A =x | x2-3x +2壬0, B =(x | x2-(a +1)x +a壬0,若A套B，求实数a的取值范围.；（a2 ）若 B匚 A，求实数a的取值范围.；（1a2 ）若 AB为仅含有一个元素的集合，求a的值.（a 1 ）解：A= x | 1 x 2, B= x | （x-1）（x-a） 2. （2）若 B CA（图乙），必有 1 a2.甲z（图丙），必

8、有 aV 1.（3）若 A n B为仅含一个元素的集合4、已知 A=x|M0,x -3B =x|x2(a+1)x+a 0,且AB=B，求实数a的取值范围.(1a3)5、设全集 U =R，集合 A=x|4 芝 0, B=x|2x+1|3，若AUB= R，求实数 a 的取值范围.(2、a、1) x 16、已知全集 U =R ,A=x|x2x6 0, B =x|x2+2x80, C =x | x24ax+3a20，若(AB)WC ,求实数 a 的取值范围.(1 a壬 2 )7、若关于x的不等式（2x-1）2ax2的解集中的整数恰有 3个，求实数a的取值范围。（类&笠916【解析】不等式可化为 （4 a）x2 4x + 1 v0 ，由于原不等式的解集中的整