11-12数值分析报告材料试A卷答案详解

1、上海海事大学 2011-2012 学年第_2_学期研究生 数值分析 课程考试试卷 A(答案)学生姓名： 学号： 专业： 填空题(每小格2分共30 分)1. 利用Jacobi迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是Bj D 1(L U );当系数矩阵A满足严格对角占优时，Jacobi迭代法收敛x01242. 已知函数f(x)有数据f19233则:其 3 次Lagra nge 插值多式的基函数l°(x)137 2xx-x 1插值余项为-宀)x(x1)(x 2)(x 4)8 844!3. 求解常微分方程初值问题Iy f(x,y), a x by(a)的Euler公式为yi 1%hf(Xj,yJ

2、,它是1阶方法。4. 设 f (x)7x8 5x44x3 1,则差商 f50,511.,587019f 2 ,2 ,.2 0_5.对于求解Ax=b，如果右端有b的扰动存在而引起解的误差为x，则6.相对误差xINIGauss型数值求积公式Con d(A)卑 lbllbnf (x)dxAf(xJai 0b的代数精度具有2n+1 次，求积系数的表达式为li2(x)dx,且ab- a7.8.幕法是求矩阵*模最_特征值和特征向量的计算方法.Jacobi法是计算实对称矩阵的所有特征值和特征向量的计算方法对于给定的正数 k, Newt on 法解二次方程x2 k 0的迭代公式为Xn 1 Xn设函数f(x)

3、2x4，已知T4(x) 8x4 8x2 1,试利用切比雪夫多项式最小零偏差的性质，求函数f(x)在区间-1，1上的次数低于4的最佳一致逼近。(5 分)解：由切比雪夫多项式最小零偏差的性质得:2f (x)P2(x)T8(x)8故：P2(x) f(x) 8T4(x)2x-4(7 分)三用代数精度确定求积公式的求积系数，并指出其具有的代数精度。2o f (x)dxw0 f (0) w1 f (1) w2 f (2)解:四当21410 f (x)dx 3f(o)3f(1) £f(2)具有三次代数精度。解:f (Xo) 丄f(Xo h) 2f(Xo) f(Xo h) h的截断误差R(h) of

4、 (Xo h)f (Xo) hf(Xo)h2!2f (Xo)h3!3f (Xo)4!(4)1押 f(xo h) 2f(Xo)f (Xoh) f (xo)£12(4)()故：R(h)(h2)五设li(X)是关于互异节点Xi0,1,2，n的Lagrange插值基函数,(6分)1,2 )试证明:nli(0)Xiki 010(1)nXoX1Xnk 01,2, nn 1(7 分)f(x)具有四阶连续导数时，试求出二阶三点数值微分公式解：设f (x)的n+1阶导数存在，则有:nf (x)f (Xi)li(x)i 0(n 1)(n 1)!(xXo)(x Xn)当 f(X) 1 时，1f(x)li(

5、x)i 1n0,所以有li(0)i 1nkf (x)Xi li (x) 0i 0又 f(x) xn 1 时，kk当 f (x) X 时(k 1,2, n ), Xn所以x'li(0) 0i 0nn 1n 1x f (x)Xi li(x) (X Xo) (x Xn)i 0n取 X 0 时，有Xin1|i(0) ( 1)n XoX1 Xn oi 0六. 设有方程组Ax=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式x(k 1) x(k) - (Ax(k)-b)x(x)为使迭代序列收敛到Ax=b的解，试讨论参数的取值范围。(7分)证明:可以得x(k °(I-A)x(k)b迭代矩阵B IA，特征

6、值为(B)1(A)，又A对称正定，所以特征值非负，设01.n如(B)| 1(A)1，则02(A)，故0时，0n2 2n(A)，成立(B)1，所以迭代收敛。七. f(x)在0, 2上具有四阶连续导数，已知f(°)0，f(1)1，f(2)1和f (1) 3试用Newton-Hermite插值法求满足上列条件的一个次数不超过3的插值多项式H(X)，并估计误差。(7分)1 235解：H(x) N2(x) Ax(x 1)( x 2) ,N2(x)-x - x,由 f (1) 3 得 A -5 327H (x)x 7xx2 21又 R(x) f(x) H(x) = ；f ()x(x 1)2(x

7、2) ,(0,2)4!八. 对于迭代函数(x)x C(x 2)，试讨论：1) 当C取何值时，产生的序列 Xk局部收敛于2。2) C取何值时迭代至少具有二阶收敛速度。(7分)2解:(x) x C(x 2)，(x)1 2Cx，且连续。由定理得又：当 1(-2) 1 2C 2 0，即C= 时，迭代至少是二阶收敛的。22C 0时迭代局部收敛。(J2)1 2C 1，也即九.设f c1a,b，证明：右矩形求积公式a f (X)dX(b a)f(b)(b a)2 32当f (x)0，试从几何上说明右矩形求积公式与实际积分数值大小关系；试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。(9分) 解：因为：

8、f(x) f (b) f ( )(x b)；b故：a f (X)dxbba f (b)dx a f ( )(x b)dx=(b a)f(b)匕址f()b当 f (x) 0时，f (x)dx (b a) f (b)a又：分划a,b得：Xki,Xk, k=1,2,n得复合公式:f(x)dxXkXk 1f (x)dx(Xkk 1Xk 1)f (Xk)(XkXk 1)22k)nh2 f (Xk)n 2yf (k 1 2k)所以：Rk)=hf ()其中：h (Xk Xk 1),匚 hn有:h叫R 0y f (x,y)十.求系数a，b，使求解常微 分方程初值问题yx a s的数值解公式yn 1ynh(ay

9、nbyn 1)的局部误差为y(Xn1) yn1 °(h)(7 分)2因 yn 1 yn hyn O(h )，又 y(Xn 1)y(Xn) hy(Xn)1h2y (Xn) O(h3)，比较得 a |, b对于初值问题y f(x,y)yx a s若函数f (x, y)在区域a x b ,满足f (x,y)f (x,y*) L y y* 条件，试说明二阶 Runge-Kuttayn 1 ynk2方法k2k hf(Xn,yn) hf (xn 号,yn在0 h h0条件下是收敛的。 并用该方法求解初值问题 y 2ay, (a 0)， y(0) s讨论绝对稳定性对步长的限制(8分)h k解：因为：(x,y,h) f (x , y 亍)所以： (x, y, h) (x, z, h) L(1 号丫 z ， 其中 o h h°由收敛定理得：二阶 Run ge-