2.2.1对数与对数运算3

1、第3课时指数与指数幕的运算（3）导入新课思路1.同学们，既然我们把指数从正整数推广到整数，又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数，那么它是否也和数的推广一样，到底有没有无理数指数幕呢？回顾数的扩充过程，自然数到整数，整数到分数（有理数）,有理数到实数并且知道,在有理数到实数的扩充过程 中，增添的数是一一实数对无理数指数幕，也是这样扩充而来既然如此，我们这节课的主要内 容是:教师板书本堂课的课题（指数与指数幕的运算（3）之无理数指数幕思路2.同学们，在初中我们学习了函数的知识，对函数有了一个初步的了解，到了高中，我们又对函数 的概念进行了进一步的学习，有了更深的理解，我们仅仅学了几

2、种简单的函数，如一次函数、二 次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等，这些远远不能满足我们的需要，随着科学的发展，社会的进步，我们还要学习许多函数，其中就有指数函数，为了学习指数函数的知识，我们 必须学习实数指数幕的运算性质，为此，我们必须把指数幕从有理数指数幕扩充到实数指数幕 因此我们本节课学习：指数与指数幕的运算（3）之无理数指数幕，教师板书本堂课的课题 推进新课 新知探究 提出问题 我们知道'2 =1.414 213 56，那么1.41,1.414,1.4142,1.414 21,，是：2的什么近似值？而 1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,，是. 2 的

3、什么近似值？ 多媒体显示以下图表：同学们从上面的两个表中，能发现什么样的规律?J2的过剩近似值55八的近似值1.511.180339891.429.829353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.7381775225 4的近似值J2的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 2

4、9.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562 你能给上述思想起个名字吗 ？ 一个正数的无理数次幕到底是一个什么性质的数呢？如5“,根据你学过的知识，能作出判断并合理地解释吗？ 借助上面的结论你能说出一般性的结论吗 ？活动：教师引导,学生回忆,教师提问，学生回答，积极交流，及时评价学生，学生有困惑时加以解 释，可用多媒体显示辅助内容：问题从近似值的分类来考虑，一方面从大于. 2的方向，另一方面从小于 2的

5、方向问题对图表的观察一方面从上往下看，再一方面从左向右看，注意其关联问题上述方法实际上是无限接近，最后是逼近问题对问题给予大胆猜测，从数轴的观点加以解释问题在的基础上，推广到一般的情形，即由特殊到一般讨论结果： 1.41,1.414,1.4142,1.414 21,这些数都小于-2，称】2的不足近似值，而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,这些数都大于-2 ,称 2的过剩近似值 第一个表：从大于 2的方向逼近 2时,5 '就从51,5,51,42 ,51,415,5九4143 ,5141422，,即大于52的方向逼近5 2 第二个表：从小于2的方向逼近.2时,5 2

6、就从214 2,5 =414 21,即小于5 2的方向逼近5 2 从另一角度来看这个问题，在数轴上近似地表示这些点，数轴上的数字表明一方面 5 2从2,5=414 21,即小于 5 2的方向接近 5 2 ,而另一方面 5 2从515,5142,51415,514143 Q1"1422，,即大于5 2的方向接近5 2,可以说从两个方向无限地接近 5 2,即逼近5 2,所以5 2是一串有理数指数幕 51.4,51.41,51.414,5 1.414 2,51.414 21,，和另 一串有理数指数幕 51.5,5142,51415 ,51.4143 ,51.41422 ,按上述变化规律变化

7、的结果，事实上表示 这些数的点从两个方向向表示 5 的点靠近，但这个点一定在数轴上，由此我们可得到的结论是 5 2 一定是一个实数，即 51.4<5 1.41<5 1.414<5 1.414 2<5 =414 21< <52 < <5 1422 <5 1.4143 <51.415<5 叫5 込2充分表明5 是一个实数. 逼近思想，事实上里面含有极限的思想，这是以后要学的知识 根据我们可以推断5 2是一个实数，猜测一个正数的无理数次幕是一个实数 无理数指数幕的意义：一般地，无理数指数幕aa （a>0, a是无理数）是一个确定

8、的实数.也就是说无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数，这样指数概念又一次得到推广，在 数的扩充过程中，我们知道有理数和无理数统称为实数我们规定了无理数指数幕的意义，知道它是一个确定的实数，结合前面的有理数指数幕，那么，指数幕就从有理数指数幕扩充到实 数指数幕 提出问题（1 ）为什么在规定无理数指数幕的意义时，必须规定底数是正数？（2） 无理数指数幕的运算法则是怎样的？是否与有理数指数幕的运算法则相通呢？（3）你能给出实数指数幕的运算法则吗 ？活动：教师组织学生互助合作，交流探讨，引导他们用反例说明问题，注意类比，归纳对问题（1）回顾我们学习分数指数幕的意义时对底数的规定，举例说明对问题（

9、2 ）结合有理数指数幕的运算法则 ，既然无理数指数幕 a a （a>0, a是无理数）是一个 确定的实数，那么无理数指数幕的运算法则应当与有理数指数幕的运算法则类似，并且相通对问题(3)有了有理数指数幕的运算法则和无理数指数幕的运算法则，实数的运算法则自然就得到了 讨论结果：(1)底数大于零的必要性，若a=-1,那么a “是+1还是-1就无法确定了，这样就造 成混乱，规定了底数是正数后，无理数指数幕aa是一个确定的实数，就不会再造成混乱.(2 )因为无理数指数幕是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，也能进行幕的运算，有理数指数幕的运算性质，同样也适用于无理数指数幕类比有理数指数幕的运算

10、性质可以得到无理数指数幕的运算法则： ar as=a r+s (a>O，r，s 都是无理数). (ar)s=a rs(a>0，r，s 都是无理数). (a b) r=a rbr(a>O，b>O，r 是无理数).(3)指数幕扩充到实数后，指数幕的运算性质也就推广到了实数指数幕实数指数幕的运算性质：对任意的实数r，s，均有下面的运算性质： ar as=a r+s (a>0，r，s R). (ar)s=a rs(a>0，r，s R). (a b) r=a rbr(a>0，b>0，r R).应用示例思路1例1利用函数计算器计算.(精确到0.001 )3_

11、(1 ) 0.3 2七(2) 3.14 -3; ( 3) 3.1 4 ; ( 4) 3：活动：教师教会学生利用函数计算器计算，熟悉计算器的各键的功能，正确输入各类数，算出数 值，对于(1 )，可先按底数0.3,再按键，再按幕指数2.1,最后按，即可求得它的值；对于(2)，先按底数3.14,再按LJ键，再按负号丨一键,再按3,最后按|一即可；对于(3),先按底数3.1,再按键再按3一4,最后按 即可；对于(4)，这种无理指数幕，可先按底数3,其次按IF键，再按键，再按3,最后按冋|键.有时也可按空生或土厠键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流，挖掘计算器的用途.答案：(1) 0.3 2.1

12、 0.080; (2) 3.14-3 0.032;3(3 ) 3.1 4 2.336; (4) 3 3 P.705.点评：熟练掌握用计算器计算幕的值的方法与步骤，感受现代技术的威力，逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值 ，若保留小数点后n位,只需看第(n+1 )位能否进位即 可.例2求值或化简.(1) .a 4b23 ab2 (a>0,b>0)；12(*"4ab 1)(2) ( -) 2? (a>0,b>0);(0.1) 2(a3b 3)2.5 2、67 4/3； 6 4 2.活动：学生观察，思考，所谓化简，即若能化为常数则化为常数，若不能化为常数

13、则应使所化式子 达到最简，对既有分数指数幕又有根式的式子，应该把根式统一化为分数指数幕的形式，便于运算，教师有针对性地提示引导，对(1)由里向外把根式化成分数指数幕，要紧扣分数指数幕的意义和运算性质，对(2)既有分数指数幕又有根式，应当统一起来，化为分数指数幕，对(3)有多重 根号的式子，应先去根号，这里是二次根式，被开方数应凑完全平方，这样，把5,7,6拆成 421211111424Va4b2V0=a2b2(a3b3)=a-2bab3=a 珂汇其.6 11. a( 3 )2+(2 )2,22+( 3 )2,22+( . 2 )2,并对学生作及时的评价，注意总结解题的方法和规律.解: (1)点

14、评：根式的运算常常化成幕的运算进行，计算结果如没有特殊要求，就用根式的形式来表示1(4)1( 4ab 1 )3(0.1) 2(a3b3)242 ?42102a 2 a 2b44=a°b°=2525点评：化简这类式子一般有两种办法，一是首先用负指数幕的定义把负指数化成正指数，另个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数2.67 <3.6 4、2=.(.32)2(2,3)2(2、2)2=-、2 +2- -：.；3 -2+ - 2=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数，千万注意方根的性质的运用1 1 例 3 已知 x= 1 (5 n -5 n),n N *,求(x+

15、1 x2 )n 的值.21 1活动：学生思考，观察题目的特点，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，5下与5 °具有对称性，它们的积是常数1,为我们解题提供了思路，教师引导学生考虑问题的思路，必要时给予提示.x2=!(5-54n)2=l(5；-2450+51 £=(5 n +2+542n 八-4)11 -n _=(5+541h2-1.这时应看到1+x 2=1+ (n -5 n)2= 1 (5 n +5441)2,这样先算出1+x 2,再算出1 x2，带入即可.11 -解：将 x= (5n-52iiii- 1 - - 1 -n)代入 1+x 2，得 1+x 2=1+

16、-1 (5 n -5 n)2=丄(5 n +5441n n12 1所以(x+ .1 x )n= (5 n -521 1 1 1»4(5n 5n)2 : n1=-(5 n -52n)+1(5+521 1n) n=(5 n )n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键，要深刻理解这种做法思路2(2)1253+(1)-2+3432例1计算:.61V 414 0.06253-()27(5 )01 1 1 2(-2x 4y 3)(3x 2y3)；1 1 1 1(x 2 -y 2 )+(x 4 -y 4).活动：学生观察、思考，根式化成分数指数，利用幕的运算性质解题,另外要注意整体

17、的意识教师有针对性的提示引导，对(1)根式的运算常常化成幕的运算进行，对(2)充分利用指数幕的运算法则来进行，对(3)则要根据单项式乘法和幕的运算法则进行，对(4)要利用平方差公式先因式分解，并对学生作及时的评价解：4 0.0625(5 )014 +1-1 125 227 3=()2 +() 3+(0.062 5)485 2 13 3 34 41=()2 X- +() 3+(0.5)4+ -2 2 2 2531=+0.5+ 222=5；2 1 111-(2) 125 3 +()-2+343 3-() 32272 1 1=(5 3) 3 +(2 -1 )-2+(7 3) 3 -(3 -3) 33

18、 -3 -3 ( 1)=53 +2 -2 x(-1) +73 -33=25+4+7-3=33;1 11 2 11 12(3) (-2x 4y 3)(3x 2y3)=(-2 X3)(x4x° y1 11 23 1=6x4 2 ? y 3 3=-6x 4y3=6vx3 Vy;1 1 1 1 1 1 1 1(4) (x 2-y 2)(x7-y 4 )=(x 4 )2-(y 4 )2)(x-y 4 )1111 1 1=(x 4+y 4)(x4-y 4)(x4-y 4)1 1=x 4 +y 4 .点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式x2例2化简下列各式2 x (1)(2)(

19、a 3+a -3)(a3-a-3) -：(a4+a-4+1)(a-a -1):活动：学生观察式子的特点，特别是指数的特点，教师引导学生考虑题目的思路，这两题要注意2分解因式，特别是立方和和立方差公式的应用，对有困难的学生及时提示：对(1)考查x2与x3的关系可知(x=2，立方关系就出来了，公式便可运用，对(2)先利用平方差，再利用幕的乘方转化为立方差，再分解因式，组织学生讨论交流解：(1)原式=2X232y23X- -2 一3y2 一 3X2424=x 3 (xy) 3 y 3424x 3 (xy) 3y 32(xy)23 xyxy(2)原式=:(a3)2-(a-3)2十(a4+a-4+1)(

20、a-a -1):4(a点评:2、22、2(a ) (a )=(a2 a2)(a4a4 1)_a 4 1)(a a 1) =注意立方和立方差公式在分数指数幕当中的应用a2/ 1 2(a )1T =a+a -1a a，因为二项和、差公式，平方差公式一3 1般在使用中一目了然，而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a"=(a ")3还容易看出，对其1中夹杂的数字m可以化为'=m,需认真对待，要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力 知能训练 课本P59习题2.1A组 3.利用投影仪投射下列补充练习11.化简:(1+232 )(1+2116 )(1+218 )(1+21

21、14 )(1+22 )的结果是代丄(1-2 32 )-12B.(1-2132 )-11C.1-2 32132D(1-232 )2分析:根据本题的特点，注意到它的整体性,特别是指数的规律性，我们可以进行适当的变形1因为(1+232 )(1-2132 )=1-21兀，所以原式的分子分母同乘以(1-2依次类推，所以-12 2 )(112 3212 巧 1 2 1132 1=厂=；(1-2)-1.12五答案：A2.计算(2 -)°.5+0.19-2+(21027 )23-3n0+9-0.5+49 5 X2-4.125 -解：原式=()2+100+(27 )3 -3+4964121392 X

22、= +100+-3+16 51617+ =100.3163.计算 a 2 a 1 a 2 a 1 (a >1).解:原式=.(a 11)2( a 11)2a 1 1 |.a 11|(a >1).本题可以继续向下做，去掉绝对值，作为思考留作课下练习1 1 1 4.设 a>0，x= - (a n -a n)，则(x+ . 1 x2 )n 的值为21n)2.分析:从整体上看，应先化简，然后再求值,这时应看到 解:1+x2=1+ l(an-a n)2=l(aa44这样先算出1+x 2,再算出,1 x2将 x= !(an-a 刍代入 1+x 2，得 1+x 2=1 +21 (a41n-

23、an)2=l(an+a41n)2.所以（X+ - 1X2 )n =n)+i(an+a411 -丄(a n -a211n)+ 丄(a n +a217)n=a.答案：a拓展提升参照我们说明无理数指数幕的意义的过程，请你说明无理数指数幕 2 3的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幕5 2的意义的过程，利用计算器计算出 3的近似值，取它的过剩近似值和不足近似值，根据这些近似值计算 2 3的过剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出” 2 3的意义，学生合作交流，在投影仪上展示自己的探究结果解：3=1.73205080,取它的过剩近似值和不足近似值如下表J3的过剩近似值2 "的过剩近似值

24、J3的不足近似值2的不足近似值1.83.4822022531.73.2490095851.743.3403516781.733.3172781831.7333.3241834461.7313.3195783421.73213.322110361.73193.3216498491.732063.3220182521.732043.32197221.7320153.3219975291.7320493.3219929231.73205093.3219972981.73205073.3219968381.732050813.3219970191.732050793.321997045我们把用2作底数八3的不足近似值作指数的各个幕排成从小到大的一列数2=7 2=72 2=731 2=7319.同样把用2作底数，73的过剩近似值作指数的各个幕排成从大到小的一列数：21.8