2008年(湖南.理)含答案

1、绝密启用前数学(理工农医类)、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的11 复数(1+) 3等于iD. 8i(D)A. 8 B. 8C.8i2. “X-1|v 2 成立”是“ x (x-3)v 0 成立”的A .充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(B)x _1,I3已知变量x、y满足条件 x-y乞0, 则x+y的最大值是x 2y -9 乞0,A.2B.5C.6D.8(C)4设随机变量'服从正态分布 N(2,9),若P ( ' >c+1)=P( < c 1 ,则c=A

2、.1B.2C.3D.4(B)5设有直线m、n和平面:- >:。下列四个命题中，正确的是A. 若 m / 二,n / 二，则 m II nB. 若 m 二 x ,n 二壮一 ,m / :,n I :，则、£ I :C. 若： - : , m:，则 m _ ：D. 若： - : , m _ :, m 二：，则 m I ：( D)2 厂.In n "I6. 函数f(x)=sin x+ 、3sin xcosx在区间 ， 上的最大值是_4 21+733庁A.1B.C.D.1+i3(C)227. 设 D、E、F 分别是 ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 DC = 2B

3、D, CE = 2EA,AF =2FB,则 AD BE CF与 BCC.互相垂直D.既不平行也不垂直(A)2 2Xy8.若双曲线 牙=i (a>0,b>0)ab上横坐标为3a的点到右焦点的距离大于它到左准2线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+ ：)C.(1,5)D. (5,+ ：)(B)9.长方体ABCD AiBiCiDi的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=空,AAi=l,则顶点A、B间的球面距离是A.2 2 :(C)5*iO.设x表示不超过x的最大整数(如2 =2, 一 =i)，对于给定的N，定义4C；二_(2x 卫,1, :，则当X 3 ,3时，

4、函数C：的值域是x(x-1) (x-xl 1)IL2A.C. I4,28L 128,56)I 3丿BA(D)二、填空题：本大题共 5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线 上。X iiii.lim 2=-x i x2 3x _452 2x yi2.已知椭圆一22 =(a>b>0)的右焦点为a bF右准线为l,离心率e卫过顶点A(O,b)51作AM丄I,垂足为M，则直线FM的斜率等于一2 '13. 设函数y=f(x)存在反函数y=fT (x),且函数y=x-f(x)的图象过点(i,2).则函数y=f i(x)-x的图象一定过点(-i,2)一 ,- ax14.

5、已知函数 f(x)=(a=i).a T若f(x)在区间0,1上是减函数，则实数 a的取值范围是-：，0 一. 1,31.15. 对有n(n4)个元素的总体 1,2,3, ,n进行抽样，先将总体分成两个子总体1,2, 口和 m+1、m+2, , n (m是给定的正整数，且 2< m< n-2),再从每个子总体中各随机抽取 2个元素组成样本，用Pij表示元素i和f同时出现在样本中的概率，则P1m=4;所有Pif(1 < i < j w n的和等于_6_. m(n _m)三、解答题：本大题共 6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. (本小题满分12分)

6、甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合.设每人面试合格格就签约乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约1的概率都是 丄，且面试是否合格互不影响求：2(I)至少有1人面试合格的概率；(n)签约人数 的分布列和数学期望.解 用A, B, C分别表示事件甲、乙、丙面试合格 由题意知A, B, C相互独立，且1P (A)= P ( B )= P ( C)=(I)至少有1人面试合格的概率是1 -P(ABC) =1 _P(A)P(B)P(C) =1 J)3 =?2 8(H) 的可能取值为0, 1, 2, 3.P( =O)=P(ABC) P(ABC)

7、P AB)C=P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)=e)3中(严3P( =1)二P (ABC) P(ABC P ABC= P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A) P(B)P(C)/ 1 3/ 1 3 / 1 33=(2)(2)(2)WP( fMabc尸 p(a)p(b)p(|), 1P（屮ABCKARBRC）、所以，的分布列是0123p33118888的期望 E =0 - 1 - 2 - 3 1=1.8 8 8 817. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥 P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD = 60°

8、;, E是CD 的中点，PA丄底面ABCD , PA = 2.（I）证明：平面 PBE丄平面PAB;（H）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.解 解法一（I）如图所示，连结 BD，由ABCD是菱形且/ BCD=60 °知， BCD是 等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE丄CD,又AB/ CD,所以BE丄AB.又因为PA丄平面ABCD , BE 平面ABCD，所以 PA丄BE.而PA AB=A,因此BE丄平面 PAB.又BE二平面PBE，所以平面 PBE丄平面FAB.（H）延长 AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AH丄PB于H，由（I）知平面 PBE丄 平面PA

9、B,所以AH丄平面 PBE.在Rt ABF中，因为/ BAF = 60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰 Rt PAF中，取PF的中点 G,连接AG.则AG丄PF.连结HG,由三垂线定理的逆定理得，PF 丄 HG.所以/ AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）在等腰 Rt PAF 中， AG 2 PA 22在 Rt PAB 中，AH =APjABAPjaBPB.AP2AB2所以，在Rt AHG中,AHsin . AGH 二AG故平面FAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是0 arcsin5解法二如图所示,以A为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是

10、A （0, 0,0）, B（ 1，0，0），c(3 22 2F( 0,0，2），,D2 二2 2（I）因为BE =（0，乜,0），平面PAB的一个法向量是二（0,i,0），所以BE和n0共线.2从而BE丄平面PAB.又因为BE二平面PBE，故平面PBE丄平面PAB.(n )易知 PB =(i,0, -2), BE =(0,320），! i 、 3PA = (OQ-2), AD y)q设ni二以，/）是平面 FBE的.q -q个法向量，贝U由 !n,得ni -BE 二 0xi0 yi -2 =0,-qJ3所以 yi =0,xi =2zi.故可取 ni =(2,0,1).0汇Xi +y2 +0汉乙

11、=0.j2i电设n2 (x2,y2,z2)是平面PAD的电电丨 n2 gPA = 0,个法向量，则由 24 得n2 gAD = 018.0 x? 0 y2 2z2 =0,J3所以 Z2=0,X2y2 0 ； Z2 = 0.212X2曰是,故平面-,3y2.故可取抵二（3, -1,0）.q 电-n/-n2cos £ m, n2 >= 一勺-j吗ni2、3 _ . 155 25PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是（本小题满分12分）数列 an /满足 a1 =1,a2 = 2,an .2 = (1 cos2 )anI ）求&3，&4,并求数列 也1的通项公式

12、;n )设bn =也，Sn =bi b2 bn.证明：当 na2nV15 arccos 5sin2,n = 1,2,3.26时，Sn -22 TL解(I)因为 ai = 1,a2 = 2,所以 a3 = (1 cos )a1 sin22 :222an = (1 cos 二)a2 sin= 2a2 = 4.*n般地，当 n = 2k -1(k N )时，a2k 1 cos2 2k -1n:2=a2k 11，即 a2k 1 -麻=所以数列a2k 4 是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k 4 = k.r*2 2k兀当 n =2k(k N )时，a2k 2=(1 cos2a2k.2所以数列2k

13、是首项为2、公比为2的等比数列，因此, n =2k-1(k Nn故数列 a? 的通项公式为a2 = C*、22,n = 2k(" N .(n )由(I)知，bna2n22 122211 12Sn 工2111-得，一sn23 -2222231【1-(1)223+,十2412nn2*1n2* 1 1 n所以&沁一产一尹=2要证明当n 36时，Sn 2n 21成立，只需证明当n_6时,nn(nn2) <1 成立.2n证法(1)当 n=6 时，6 (66 2)26H：1成立. 假设当n二k（k _6）时不等式成立，即k（k k 2） ： 1.2k则当n=k+1时， "

14、丄=X 7V !Lu2k(k +2)2k<(k 1)(k 3) <1.(k 2)2k由（1）、（2）所述，当n±时,n(n 1)22:1，即当n> 6时,Sn-2 J.n证法令 Cn J(；2 2)( n -6)，则 Cn 1 -Cn(n +1)(n+3)n(n +2)_3-n2 <0222*16汉83所以当 n 一 6 时，Cn 1 ： Cn 因此当 n 一 6 时，Cn 岂 C6 = 一 8 = 一 ： 1.644于是当 n 一6 时，n（n 2 2） <1.221综上所述，当n启6时，Sn2|成.n19. （本小题满分13分）在一个特定时段内，以点

15、E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40 2海里的位置B，经过 40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45 +二（其中sin，026u : 90 ）且与点A相距10 .13海里的位置ftC.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/时）（I）如图,AB=40、2，AC=10 ,13，. BAC26由于0< d < 90，所以cost =5、2626由余弦定理得 BC=、AB2 AC2 2AB_ACcos =10、5.所以船的行驶速度为 字 15、5 （海里/小时）3（II）解法如图所示

16、，以 A为原点建立平面直角坐标系，设点B（XI, y2）, C（Xi, y2）,BC 与 x 轴的交点为 D.由题设有,xi=yi= 2AB=40,2x2=ACcos ./CAD 二 IO、13cos(45 - v) = 30,y2=ACsi n20所以过点 B、C的直线I的斜率k=一=2,直线l的方程为10y=2x-40.B、C的坐标分别是又点E（0, -55）到直线I的距离d=|0 55 -40 |；14=3、5 : 7.所以船会进入警戒水域解法二 如图所示，设直线 AE与BC的延长线相交于点 0.在厶ABC中，由余弦定理得,cos ABC =AB2 BC2 - AC22AB? BC402

17、 2 102 5 -102 13 3.102 40、2 10.5= 10从而sin ABC在- ABQ中，由正弦定理得,10AQ= 40.ABsin. ABC _4°'210sin(45ABC) 一 ,2 2、102 10由于AE=55>40=AQ，所以点 Q位于点A和点E之间，且 QE=AE-AQ =15.过点E作EP _ BC于点P,贝U EP为点E到直线BC的距离.在 Rt _QPE 中,PE=QE sin .ZPQE =QE sin ./AQC = QE sin(45 Z ABC)所以船会进入警戒水域.20. (本小题满分13分)若A、B是抛物线y2=4x上的不

18、同两点，弦 AB (不平行于y轴)的垂直平分线与 x轴相交于 点P,则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P (x,0)存在无穷多条“相关 弦”.给定x°>2.(I)证明：点P (x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点P (x0,0)的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值(用X。表示)：若不存在，请说明理由解 (I)设AB为点P (x°,0 )的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是(X1,y1 )、(X2,y2) ( X1 式 X2)，贝U y 1 =4x1, y 2=4X2,两式相减得(y1+y2)(

19、y1-y2)=4 (X1-X2).因为 X1 一-X2,所以 y1+y2=0.设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M (Xm, ym),则k=y1 一丫2x1_X2Y1 Y2Ym从而AB的垂直平分线l的方程为Y - ym 今仪- Xm).又点P (x0,0)在直线l上，所以-ymm(x0 xm).2而 ym =0,于是 Xm =X0 -2.故点P (X0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标都是X0-2.(n )由(I)知，弦AB所在直线的方程是 y - ym = k(x - xm)，代入y2 = 4x中,整理得 k2x2 2k(ym -kXm) - 2x (ym -kXm)2 =0.()则X|

20、、X2是方程(ym kxm)的两个实根，且X1-X2m 2 mk设点P的“相关弦” AB的弦长为I，则I2 =(% -X2)2(% y2)2 =(1 k2)% -X2)2=(1 k2)(xx2)2-4xx "4(1 k )(Xm 2xxJ 2= 4(1 耸)x：ym(y：2y：4x：)2y：=(4 +y：)(4x： -y：) = -y：4+4ym(xm -1)+16x：2 2 2 2 2-4(x： 1) y： 2(x： -1)4( Xo -1) 丫： 2()- 3)因为 0< y： <4x：=4(Xm-2) =4xo-8,于是设 t= y：,则 t (0,4xo-8).记

21、 I =g(t)=-t-2(x o-3) +4(xo-1).若 Xo>3,则 2(xo-3) - (0, 4xo-8),所以当 t=2(xo-3),即 y：=2(xo-3)时,I有最大值2(xo-1).若2<xo<3,则2(xo-1) _o,g(t)在区间(o, 4 xo-8)上是减函数，所以2o<l <16(xo-2),l不存在最大值.综上所述，当xo>3时，点P(xo,o)的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2(Xo-1)；当2< xo兰3时，点P( xo,o)的“相关弦”的弦长中不存在最大值.21. (本小题满分13分)已知函数 f(x)=ln2(1+x)-.1 +x(I)求函数f(x)的单调区间；1 七(n)若不等式(1一)aae对任意的N*都成立(其中e是自然对数的底数).n求:-的最大值.解 (I)函数f(x)的定义域是,、2l n(1+x) x2+2x 2(1 + x)I