2007年数一真题试题+答案

1、2007年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：110小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题.纸.指定位置上.(1)当x 0时，与x等价的无穷小量是()(A) 1 e x.(B) In乞.(C) 1. x 1.(D)1 cos、,X.1 Jx答案：(B).曲线y 1 ln(1 ex)渐近线的条数为()x(A) 0.(B)1.(C)2.(D)3.答案：(D).若u1u2,则un必发散.(D)(3)如图，连续函数y f (x)在区间 3, 2 , 2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区x间 2,0 , 0,2上

2、的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x) ° f(t)dt,则下列结论正确的是()35(A)F(3)-F( 2).4(B)F(3)-F(2).4(C)F( 3)3 -F(2).4(D)F( 3)5-F( 2)4答案：(C).设函数f (x)在x 0处连续，则下列命题错误.的是()(A)若limf(x)存在,则 f(0)0.(B)右 lim -f(x)f(x)存在,则 f(0)0.x 0xx 0x(C)若lim3存在，则f (0)存在.(D)右limf(x)f(x)存在，则f (0)存在x 0xx 0x答案：(D).(5)设函数f(x)在(0,)上具有二阶导数,且 f (x)0,

3、令 unf(n)(n1,2,|),则下列结论正确的是()(A)若u1u2 ,则un必收敛(B)若u1u2 ,则un必发散(C)若u1u2,则un必收敛.答案：(D).设曲线L: f(x,y) 1( f(x, y)具有一阶连续偏导数),过第n象限内的点 M和第"象限内的 点N , 为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零 的是()(A)f(x，y)dx.(B)f (x，y)dy.(C)f (x，y)ds.(D)fx (x, y)dx fy (x, y)dy答案：(B).(7)设向量组1， 2，3线性无关，则下列向量组线性相关.的是()(A)1 2， 23，31(B)12，23，31

4、(C)1 2 2， 22 3,321 .(D)122，223，32答案：(A).2 11100(8)设矩阵A121，B 010，则A与B()1 12000(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似答案：(B).(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0 p 1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()2 2 2 2 2 2(A) 3p(1 p) . (B)6p(1 p) .(C) 3p (1 p) .(D) 6p (1 p).答案：(C).(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与丫不相关，fx(x), fY(

5、y)分别表示X,Y的概率fx(x)J(y)密度，则在丫 y条件下，X的条件概率密度 fXY(x y)为()(A) fx(x).(B)fY(y).(C)fx(x)fY(y).(D)答案：(A).二、填空题：1116小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸 指定位置上12 1 一(11)1 飞exdx .1 x答案:(12)设 f(u,v)为二元可微函数，z f(xy,yx),则一zx答案：f1(xy, yx)yxy 1 f2(xy,yx)yxln yx(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y 4y 3y 2e2x的通解为y.答案：非齐次线性微分方程的通解为y Gex C2e3x 2e2x.

6、(14) 设曲面 ：x y z 1,则 * (x y)dS答案：|Q|(x y )dS y dS 4丁3 .'JJ330 10 00010冲3(15) 设距阵A,则A3的秩为.0 0 0 10 0 0 0答案：r A31.1(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两数之差的绝对值小于一的概率为 _23 答案：3.4三、解答题：1724小题,共86分.请将解答写在答题纸.指定的位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.(17) (本题满分11分)求函数f (x,y) x2 2y2 x2y2,在区域D (x, y) x2 y2 4,y 0上的最大值和最小值答案：函数在D上的

7、最大值为f(0,2)8,最小值为f(0,0)0.(18) (本题满分10分)计算曲面积分I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy其中 为曲面z 1 x2 (0 z 1)的上侧.答案：I (19) (本题满分11分)设函数f(x),g(x)在 a,b上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a), f(b) = g(b),证明：存在 (a,b),使得 f ”( )g''().证明：设(x) f(x)g(x),由题设f (x), g(x)存在相等的最大值,设X1(a,b), X2(a,b)使 f (xjmaxf(X)gx) maxg(x).若xX2,

8、即f(x)与g(x)在同一点取得最大值，此时,取X1,有 f ()g()；右x-1X2 ,不妨设X1 X2 ,则(xj f(xjg(xj 0,(X2) f (X2) g(X2)0 ,且(x)在 a,b上连续，则由零点定理得存在(a,b),使得()0,即f() g()；由题设 f (a) = g(a) , f (b) = g(b),则(a)0(b),结合 ()0 ,且(x)在 a,b上连续，在(a,b)内二阶可导，应用两次使用罗尔定理知：存在 1 (a, ), 2 ( ,b),使得(J = 0,(2)0.在1, 2再由罗尔定理，存在 (1, 2),使 ()0.即f ( ) g ().(20) (

9、本题满分10分)设幕级数anxn在(，)内收敛，其和函数y(x)满足y 2xy 4y 0,y(0)0, y (0) 1.n 0(I) 证明 an 2-an,n 1,2,n 1I"(II) 求y(x)的表达式.n(n 1)anxn 2答案：(I) 证明：对yanxn ,求一阶和二阶导数，得ynanxn 1, y代入 y 2xy 4y 0,得 n(n 1)anxn 2 2xnanxn 1 4anxn 0.n 2n 1n 0(n 1)(n2)an 2Xnn 0nn2nanx4anx0.n 1n 0an,n2a2 4a00于疋n(n 1)an 2 2an0,(21)(本题满分11分)X2X3

10、0设线性方程组2x2ax30X14X22 aX30值及所有公共解1110答案：当a 1时，(Ab)010000000000(II) yxex.方程组与的公共解.(1)与方程为2x2 X3 a 1 (2)有公共解，求a得所以方程组的通解为k(1,0, 1/ , k为任意常数，此即为当 a 2时，(Ab)11100110 ，此时方程组有唯一解00110000(0,1, 1)T,此即为方程组(1)与的公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵 A的特征值11, 22, 32, 1 (1, 1,1)T是A的属于1的一个特征向量记B A5 4A3E,其中E为3阶单位矩阵.(I) 验证1是矩阵B的

11、特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵B.答案：(I)由A 11,可得Ak 1 Ak 1(A 1) Ak 1 1卅 1 , k是正整数，则5353B 1 (A 4A E) 1 A 1 4A 1 E 11 4 112 1,于是i是矩阵B的属于特征值i2特征向量.所以B的所有的特征向量为：对应于 12的全体特征向量为 k, 1,其中k1是非零任意常k3 3,其中k2,k3是不同时为零的任意常数20001 1(II) B P 010 P 110 1 .00111 0(23)(本题满分11分)设二维随机变量(X,Y)的概既率密度为 f(x, y)数,对应于231的全体特征向量为k2 22 x y,0 x 1,0 y 1,0, 其他，(I)求 PX2Y ；(II)求 ZXY的概率密度fZ(Z).答案:11x15 27(I)P X 2Ydx 2 (2 xy)dy 0(xx2)dx0 08242zz2,0Z 1,(II)fz2 z4z 4,1Z 2,设总体X的概率密度为f (x;)2(1)'1,其中参数(01)未0,其他.(24)(本题满分11分)0,其他知，X1,X2,.Xn是来自总体 X的简单随机样本，X是样本均值(I)求参数的矩估计量2 2(II) 判断4X是否