2008年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷

1、2008年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修H）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题,每小题5分，共60分）.i 复数U? L）等于（）1-2iA. iB. -iC. 1D. -12.已知全集 U =1,2,3,4,5，集合 A=x|x2-3x 2=0 , B=x|x=2a, a A，则集合eU（AU B）中元素的个数为（A. 1B. 2C. 3D. 43. ABC的内角AB,C的对边分别为a, b, c，若c =柩，b-<s6 , B =120 :，则a等于（）A.C.3D.24.已知an是等差数列,a1a4 ,a7

2、a 28，则该数列前10项和S。等于（）A.64B. 100C. 110D. 1205.直线、.3x -y m = 0与圆x2 y2 -2x-2=0相切，则实数 m等于（）A.或-,3B.或 3,3C. -3、3 或、3D. -3,3 或 3、3“1a6.“ a”是“对任意的正数 x , 2x -> 1 ”的（）8xA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7 .已知函数f（x2x 3 , f 4（x）是f （x）的反函数，若 mn = 16 （ m,R+），则f '(m) f '(n)的值为()A.-2B. 1C. 4D. 102 2&am

3、p;双曲线务-每=1a2 b2（a 0, b 0）的左、右焦点分别是F“ F2,过F作倾斜角为30'的直线交双曲线右支于M点，右MF：垂直于x轴，则双曲线的离心率为（C.2A.、69如图，_ 1,=丨,A : , B '-, A, B到I的距离分别是a和b , AB与，所成的角分别是 二和:,AB在,内的射影分别是m和n，若a b，则（A.v.:m . nB.v . ,m ： nC.v:,m : nD.v :：: ',m . ny > 1,10.已知实数x, y满足 y < 2x-1,如果目标函数z = x-y Ix y w m.）的最小值为-1,则实数于(

4、 )A. 7B. 5C. 4D. 311.定义在R上的函数f (x)满足 f (x y)二 f (x) f (y) 2xy ( x, y R ),f12 =则f （-3）等于（）A. 2B. 3C. 6D. 912. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2,ai 01 （ i = 0,1,2 ）,传输信息为h0a0a1a2h1 ,其中h0 = a0 二 A = h0 二 a2，二运算规则为：0 二 0=0, 0 二 1=1 , 1 二 0 = 1, 1 二 1 = 0, 例如原信息为111,则传输信息为01111 .传输信息在

5、传输过程中受到干扰可能导致接收信 息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A. 11010B. 01100C. 10111D. 00011二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16 分）.13. 讪口詔，则 a 二.严二 n a14 .长方体 ABCD -ABQ1D1的各顶点都在球O的球面上，其中AB: AD : AA1 1:1: .2 . A, B两点的球面距离记为 m , A, D1两点的球面距离记为 n ,则-的值为.n15 .关于平面向量 a, b, c .有下列三个命题：若 a b = a c，则 b=c .若 a = （1, k）, b = （

6、-2,6） , a / b，则 k - -3 .非零向量a和b满足|a |=| b|=|a -b|，则a与a b的夹角为60 .其中真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）16 .某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传 递方案共有种.（用数字作答）.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共74分)17. (本小题满分12分)已知函数 f(x) =2sin cos2、. 3 sin23 .4 44(I)求函数f(x)的最小正周期及最值；(n)令g(

7、x) = f x n，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由.18. (本小题满分12分)3次，击中目标即终止射击，第i次击中目标得1 i (i =1,2 3)分，3次均未击中目标得0分.已知某射手每次击中目标的概率为0.8，其某射击测试规则为：每人最多射击各次射击结果互不影响.(I)求该射手恰好射击两次的概率；(n)该射手的得分记为 '，求随机变量'的分布列及数学期望.19. (本小题满分12分)BDDC三棱锥被平行于底面 ABC的平面所截得的几何体如图所示， 截面为A1B1C1 , BAC =90：,A A _ 平面 ABC , A A -、3 , AB -、2 , AC 二

8、 2 , AC 勺=1 ,(I)证明：平面 AAD _平面BCC1B1 ；(n)求二面角 A -CCj - B的大小.20. (本小题满分12 分) 已知抛物线C : y=2x2，直线 kx 2交C于A, B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N .(I)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(n)是否存在实数k使N如NB =0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.21. (本小题满分12分)kx +1已知函数f (x)2( c 0且c = 1，k R )恰有一个极大值点和一个极小值点，其x +c中一个是X - -C .(I)求函数f (x)的另一个极值点；(n)求函数f(x

9、)的极大值M和极小值m，并求M - m > 1时k的取值范围.22. (本小题满分14分)已知数列an的首项印=3 , an 1 江 ,n =1,2,川.5 2an +1(n)证明：对任意的(1 x) 3(I)求an的通项公式；(川)证明：2a1'a" an n-1an2008年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学(必修+选修n)参考答案一、1. D2.B 3. D 4. B 5. C6 . A 7. A8. B9.D 10. B 11 . C 12. C1二、13. 114.15.16. 962三、17 .解:(i) ： f(x)二sin-3(2sin2)=

10、sinX_3cos°=2sin - n .2 42212 3 丿f (x)的最小正周期T = 2 = 4 n .2当sin i X - n = -1时，f (x)取得最小值-2 ;当sin I X n =1时，f (x)取得最大值2 .12 3丿12 3丿Xn I|,Zn(n) 由 (i) 知 f (x)二 2sin.又 g(x)二 f i x =12 3丿J3丿g(x) =2si n1 lx nn =2si n_233x=2cos一2g( _x) = 2cosxx2cos g(x).22 I函数g(x)是偶函数.18 . (i)设该射手第i次击中目标的事件为A(i =1,2,3)，

11、贝y P(A) = 0.8, P(A) = 0.2 ,P(AA) =P(A)P(A) =0.2 98 = 0.16.(n) 可能取的值为0, 1, 2, 3.的分布列为0123P0.0080.0320.160.8E =0 0.008 1 0.032 2 0.16 3 0.8 =2.752.19 .解法一：(i) ； A,A _ 平面 ABC, BC 平面 ABC ,AA _ BC .在 Rt ABC 中，ABAC =2, BC =、6 ,6 BD .3 ABt BD : DC -1:2, - BD , 又3 AB3 BC. DBAs ABC , . ADB BAC = 90，即 AD _ BC

12、 .又 AAriAD 二 A , BC _ 平面 AiAD ,:BC 平面 BCC1B1 , 平面 A,AD _ 平面 BCC1B1.（n）如图，作 AE _ CiC交CiC于E点，连接BE , 由已知得AB _平面ACC1A1 .AE是BE在面ACCiA内的射影.由三垂线定理知 BE _ CCj ,ZAEB为二面角A-CCj -B的平面角. 过G作GF _ AC交AC于F点， 则 CF = AC - AF = 1, GF = AA = ；3 , .GCF -60.在 Rt AEC 中,AE 二 AC sin60；即二面角 A-CCrB 为 arctad .3解法二：（I）如图，建立空间直角坐

13、标系,y在 RtA BAE 中，tan AEB = AEAEB 二 arctan3则 A（0,0,0, bc、2,0,0）, c（o,2,o）, a（o,o八3）, G（O1,3）,1 ?BD:DC =1:2, BD BC .3-D点坐标为記=（-、迈,2,0）,航=（0,0厂3）.22 2.AD,0 ,! 33 Itbc'LaA=o,BClAD =0 BC _ AAj BC _ AD，又 AAfl AD 二 A (n) 丫 BA _ 平面 ACC1A，取 m 二ZB =C、20,0）为平面ACCiA的法向量,.BC _ 平面 A1AD，又 BC 二平面 BCC1B1 ,.平面 AAD

14、 _ 平面 BCC1B1 .设平面 BCC1B1 的法向量为 n= (l m, n)，则 BC|_n 二 0,CG_n 二 0 .卜 VS +2m)m .3n = 0,如图，可取m =1,cos m, n 兮二x 2.201033、1502 02 ('2 1220 .解法一：（I）如图，设2A(片),即二面角 A -CC1 - B 为 arccos152 2B(X2,2X2 )，把 y = kx 2 代入 y = 2x 得22x _kx_2=0,XiX2-Xn =Xm 二x1x2k24，N点的坐标为设抛物线在点N处的切线I的方程为y kk k2)m x-kI 4丿x,22, mk k2

15、将y = 2x代入上式得2x -mx0 ,4 8:直线I与抛物线C相切,=m2 _8mk k2 '二 m2 -2mk k2=(m_k)2 = 0 , - m = k .即 I / AB （n）假设存在实数 k，使NA屈 =0，则NA_ NB，又；M是AB的中点,1.|MN |专| AB|.由（I）知Ym=1® y2）冷附 2 kx2 22k（x1 x?） 4422 4k|MN|T“ 川盲282 2k k 16又 | AB |=、1 k2 阪1 - X2 卜 1 k2 （X1 X2）2 -4%X2h-1 - k2_4疋（_1）=丄 Jk2 +1&k2 +16 2k 16

16、2 _J k2 1k2 16，解得 k =2 84即存在 k =：'2，使 NA_NB -0 2 2 2解法二：（I）如图，设 A（X1,2x! ）, B（X2,2X2），把 y = kx 2代入 y = 2x 得2x2-kx-2=0 由韦达定理得亠xk-,-N点的坐标为24x1x2k k2） V y 二 2x2 ,y = 4x ,k-抛物线在点N处的切线I的斜率为4 k , I / AB 4（n）假设存在实数 k，使NALNB =0 +4 x2k2、I x；16人 一16丿01-k ,2X12一k2>T,NB =/X2-4,2x； 一孑<48丿48丿，则k由（I）知NA二

17、k2I'1 4人卷蔦丿二 xx2142上14为* x2 >4 _441 4x1x2 k(xx2)1 4 (一1) k k 1 2 416八=0,一 1,1632_3”0，解得 k» .即存在 2 ,使 nAn 二 0.21.解：（I） f （x）=k（x2 巴任俨"k/rxjk，由题意知 f（_c）=0,(x2 c)2(x2 c)2即得 c2k-2c-ck=0, (*)c = 0, . k = 0 .由 f (x) =0 得-kx -2x ck =0,2由韦达定理知另一个极值点为 X =1 （或X = C ）.k22（）由（*）式得 k，即 c = V -.c

18、 -1k当 c 1 时，k 0; 当 0 :c ：1 时，k ： -2.(i )当k 0时，f （x）在（_c）和（1, ：）内是减函数，在（-c,1）内是增函数."二汁号0，22(k 2)0'-kjj-kck2-m±22(k 2)> 1及k 0，解得k > , 2(ii )当 k ： -2时，f (x)在(c）和（1,，：）内是增函数，在（_c,）内是减函数._k2 M 7*冇 0，k才0M -m k k=1_此 U 1 > 1 恒成立.2(k+2)2k+2综上可知，所求k的取值范围为（-：，-2）U【2, .二）22 解法一：（I)3an121* an 1，-2an +1an出3 3a n丄一 1 1an 1-1-1,3 I an丿又丄an-1是以2为首项,an1丄为公比的等比数列.3()由= |L3nJ _3n，3n(I)知 an3n3n 21 x (1 x)丄-亠亠x1 x (1 x)2 3n1+x (1+x)2an一1 1an rvanan , 原不等式成立.（川）由（n）知，对任意的x 0，有22i 21 x (1 X)2 31 x (1 X)2 32.川J?汨(1 x)2