重庆市2017-2018学年高二下学期期末考试试卷数学(理)含答案

1、秘密启用前2018 年重庆一中高2018 级高二下期期末考试数学 试 题 卷（理科） 2018.7第 I 卷一 .选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1已知集合 A 2， 1,0,1,2，Bx ( x1)(x2) 0,则 AB（）A 0,1B 1,0C1,0,1D 0,1,22.“”是 “函数 f (x)x22ax2在区间(,2内单调递减 ”的（）a 3A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C.充要条件D. 既不充分也必要条件3.下列说法中正确的是（）A “f 00 ”是 “函数fx 是奇函数 ” 的充要条件B若 p : x0R

2、,x02x01 0 ，则 p : x R, x2x 1 0C若 pq 为假命题，则p,q 均为假命题D “若，则 sin1” 的否命题是 “若，则 sin1 ”62624.函数 fxx x1lnx的定义域为（）A.x x 0B.x x10C.x x1D.x x136a5.二项式ax的展开式中 x5 的系数为3 ，则x2 dx（）60A.1B.1C.1D.2326.已 知 f ( x)是周期为 4的 偶 函 数 ， 当 x0,2时 fxx2 ,0x1log2 x1,1x， 则2f 2 0 1 4 f2015（）A.0B.1C.2D.37. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的

3、是（）2A.5B.3355C.D. 3231正（主）视图侧（左）视图12俯视图8. PM2.5 是指空气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与PM2.5 浓度的数据如下表：时间周一周二周三周四周五车流量 x （万辆）100102108114116浓度 y （微克）7880848890根据上表数据，用最小二乘法求出y 与 x 的线性回归方程是（）?0.62 x7.24 B.?0.72x6.24?6.14D.A. yyC. y 0.71xy? 0.62 x6.24ni 1(xi x )( yi

4、y)参考公式：b， a yb x ；参考数据：x108 ， y84 ；n( xix) 2i19.某次联欢会要安排3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）A.72B. 120C. 144D. 16810.已知椭圆 C1:x2y21(a1b10) 与双曲线 C2: x2y21(a20, b2 0) 有相同的焦b12b22a12a22点 F1,F2，点 P 是曲线 C1 与 C2 的一个公共点， e1 ，e2分别是 C1 和 C2 的离心率， 若 PF1PF2 ，则 4e12e22 的最小值为 ()A 9B 4C 5D 92211.设函数 f (

5、 x)log 1( x21)8，则不等式f (log2x)f (log1x)2的解集为（）23x212A. (0,2B.12 ,2C. 2,)D. (0, 122,)12. （ 原 创 ） 已 知 f (x) 是 定 义 在 1,1 上 的 奇 函 数 ， 对 任 意 的 x1, x2 1,1 ， 均 有( x2x1 ) ( f ( x2 )f ( x1 ) ).0 当290291f (2 0 1) 6f(62 0)1f (A.11B.62x0,1时 ，x) f x()f , x ( ) f1，则)2 f (x 15314f(315）20)2（)16016C.13D.2524第 II 卷（非选

6、择题，共90 分）本卷包括必考题和选考题两部分。第13 题至第 21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22题至第 24题为选考题，考生根据要求作答 .二 .填空题：本大题共4 小题，每小题5 分 .若幂函数m的图像过点2，则 f (4) 的值为.13.f ( x)x(2,2 )14ABC中，a2，b7，B60，则ABC的面积等于.在15（原创）若关于x 的不等式 4xlog 2a x （ a0 ，且a1 ）的解集是 x |0x 1 ，则22a 的取值的集合是16已知函数fx2x1 x1，若 ab, f afb ，则实数 a2b的取值范围exx1为.三 .解答题：解答应写出文字说明、证明

7、过程或演算步骤.17（本题满分 12分 ）（ 原 创 ） 已 知 函 数 g ( x) 42 x 5 22 x 116，函数f ( x)log2xlog4 (4 x2 ) ，记集合 A x | g( x)0 .4（I）求集合 A ；f ( x) 的值域 .（II ）当 xA 时，求函数18（本题满分 12 分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1 x x3 ，f2 x 3 x , f3 x 2 ， f 4 x2x1 ， f5 x sinx , f6 x x cosx.2x12（ I ）从中任意拿取 2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数，在此条件下，求两张卡片上写着的函

8、数相加得到的新函数为奇函数的概率；（ II ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望 .1912分）（原创）如图，已知长方形ABCD中， AB2 2 ，AD2，M 为（本题满分DC 的中点将ADM 沿 AM 折起，使得平面ADM 平面 ABCM （ I ）求证： ADBM ；（ II ）若点 E 是线段 DB 上的一动点，当二面角 E AMD 的余弦值为2时，求线段2DE 的长DDMCEMCABAB20（本题满分 12 分）（原创）已知椭圆C : x2y21的左右焦点分别为F1, F2 ，直线 l1经24过

9、椭圆的右焦点与椭圆交于A, B两点，且 | AB |3 .（I ）求直线 l1 的方程；（II ）已知过右焦点F2 的动直线 l 2 与椭圆 C 交于 P,Q 不同两点，是否存在x 轴上一定点 T ，使 OTPOTQ？（ O 为坐标原点）若存在，求出点T 的坐标；若不存在说明理由 .2112分）（原创）设函数g xx 1 emx mx2， f ( x)g (x) (2 x)emx，（本题满分(其中 mR ).（I ）当 m1 时,求函数 g x 的极值 ;（II ）求证：存在 m(0,1) ，使得 f (x)0 在 (0,) 内恒成立， 且方程 f ( x)0 在 (0,) 内有唯一解 .请考

10、生在22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 .22（本小题满分10 分）选修4 1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，BA、 CD 的延长线交于点P ，且 ABAD ，BP2BC （ I ）求证：（II）当 BCPD2AB2，PC；5 时，求AB的长23（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程x2cos已知直线 l 的方程为 yx4 ，圆 C 的参数方程为（为参数），以原点为y22sin极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系（ I ）求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标；（ II ）若 P 为圆 C 上的动点，求 P 到

11、直线 l 的距离 d 的最大值24（本小题满分10 分）选修4-5 不等式选讲已知函数f ( x)m| x3|，不等式f (x)2 的解集为 x |2x4 .（ I ）求实数m 的值；（ II ）若关于x 的不等式| xa |f ( x)恒成立，求实数a 的取值范围.2018 年重庆一中高 2018 级高二下期期末考试数学答案（理科）2018.7一 .选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .15： BADCA ； 610：DCBBA ； 1112： BC12 题解：在2 f ( x ) f ( x )中，令 x0 得 f (0)0 ，

12、在 f ( x)1 f (1 x )中，令 x1得5f (1) 1；在 2 f ( x )f ( x) 中 ， 令 x 1 得f (1 )1， 在 f ( x) 1f ( 1 x中 ， 令 x1得5525f (1 ) 1 f (4 ) ， f ( 4)1；5552当 x1x2 时， f ( x1 )f ( x2 ) ，所以当1x4时，恒有f ( x)1552在 2f ( x)f (x)中，令 x1得2 f ( 1)f ( 1)1f ( 1 )1，在 2 f ( x )f (x ) 中，令5525522545x4 得 2 f (4)f (4)1f (4 )1，当 x1x2时， f ( x1 )f

13、 ( x2 ) ，所以当1x4525522542525时，恒有 f ( x)1，129031544252016201625f (290 ) f (291 )f (314 )f (315 )2016201620162016 f ( 290 )f (291 )f ( 314)f ( 315 )26113201620162016201642二 .填空题：本大题共4 小题，每小题5 分 .13.1 ；14.3 3;152; 16,12 .224e三 .解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（ 本题满分12 分）解：（ I ）g( x)0 即 42 x5 22 x1160 ，42 x10

14、4x160 ，令 t4x ，即有 t2 10t160得 (t 2)( t 8) 0，x1x313222t8248 ，444，解得 Ax x | 22 ；（II）f ( x)(log 2log 2 4)(log 4 4log 4 x 2 )(log 2 x2)(log 2 x1)，令ulog 2 x1,log 2 3 2则 yu2u2,u1,log 23， 二 次 函 数 的 对 称 轴 u011,log2 3，222y 9,0418（本题满分12分）解： ( )f1xx3为奇函数；f2 x3x为偶函数；f3x2为偶函数； f 4x2x1 为奇函数 ; f5xsinx为偶函数；f6xx cosx

15、 为奇函数，2x12所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；基本事件总数为C31C31C32 ，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，满足条件的基本事件个数为C32，故所求概率PC321 .C31C31C3241234( )可取P1331C31210202011,2,3,4.P1C612P2C31 C313； P3C31 C21 C313 ; P4C31C21 C11 C311；C61 C5110C61 C51 C4120C61 C51 C41 C3120故的分布列为E112333417 .21020204

16、的数学期望为 7 .419（本题满分 12 分）（I ）证明：长方形ABCD 中， AB4, AD2 ，平面 ADM平面 ABCMM 为 CD 的中点， AMBM2 2，故 AMBM 平面 ADM平面 ABCMAMBM平面 ABCM BM平面 ADM AD平面 ADM ADBM .（II ）建立如图所示的Oxyz 直角坐标系，则A(1,0,0), B( 1,2,0), D(0,0,1), M ( 1,0,0)平面 AMD 的一个法向量 n(0,1,0) ，设 DEDB MEMDDB(1, 2,1)zDAM(2,0,0) ，设平面 AME 的一个法向量为 m( x, y, z),2 x0E2y(

17、1) z0MC取 y1，得 x0, y1, z2, 得 m(0,1,2) ，而 n(0,1,0)xAOB11则 cosm, nmn11 ，得1 ( 2)22，解得1y| m | | n |12)2213(1因为 |BD|6，故|DE |63 .20（本题满分 12 分）解：（ I ）设 l1 的方程为 yk( x2)与椭圆联立得(2k 2 1)x242k 2 x4k 24 0直线经过椭圆内一点，故0恒成立，设A( x3 , y3 ), B ( x4, y4)x x442k2，2k 21， 则3x3 x44k 242k21| x3x4 |2( x3 x4 )2 4x3 x432k 44 4( k

18、(2k21)22k， | x3x4 | 4 k 212 k21221)162k 4(k 21)(2k 2 1)16(k 21)1(2 k21)2(2k21)2| AB | 1 k 2 | x3x4 |4k 243 解 得 k2 ， l1的 方 程 为 y2 x1 或2k 2122y2 x1；2解 2：由焦半径公式有 | AB |2 ae( x3x4 ) 42 4 2k 244 k 23 ，解得 k2 .22k 212k 212（II ）设 l2的方程为 myx2与椭圆联立： (m21)y 222 y20 ，由于过椭圆内一点，0假设存在点 T (t ,0) 符合要求，设 P( x1 , y1 )

19、, Q( x2 , y2 ) ，韦达定理：y1 y222m，y1 y22m2+2m22OTPOTQy1y20y1 ( x2t)y2 ( x1t )0 ，点在直线 myx2 上x1tx2t有y1 ( my22t )y2 (my12t )0 ，即 2my1 y2( 2t )( y1y2 )0 ，2m2( 2t)22m0，2m22m2解得 t22.21（本题满分12 分）解：（ I ）当 m1 时 ,gxx1 ex x2 , g ' xexx1 ex2 x xex2 xx ex2令 g ' x0 ,得x10 , x2当 x 变化时,g '( x), gx 的变化如下表:ln

20、2 ,x,000,ln 2ln2ln 2,fx00fx极大值极小值由表可知 , gx 极小g(ln 2) ln 2 22ln 22 ； gx 极大g(0)1；（II ）设 m0， f (x)emxmx2 ， f (0)1 0 ，若 f ( x)0 要有解，需f ( x) 有单减区间，则 f '(x) 0要有解f '( x) memx2mxm(emx2x) ，由 m0 ， f '(0) m0 ，记 f ''(x) 为函数 f '( x) 的导数则mx2) ，当 m12m ln m ，f ''(x) m(me0 时 f '&#

21、39;(x) 单增，令 f ''(x)0 ，由 m 0 ，得 x0需考察 x0 与区间 (0,) 的关系：当 m2时， ln20 ， x00 ，在 (0,) 上 f ''(x) f ''(x0 )0 ， f '( x) 单增，mf '( x)f '(0)m0故 f ( x) 单增， f ( x)f (0)1 ， f (x)0 无解；当 m2，时， ln 20 ， x01 ln20 ，因为 f ''(x) 单增，在 (0, x0 ) 上 f ''(x) 0 ，在mmm( x0 ,) 上 f &

22、#39;'(x)0当 x x0 时，122 1 ln 2 )m( 22 ln 2 )2ln 2ln 2 )f '( x)minf '(x0 )m(em m lnm22(1m mmmmmm（i ）若 1ln 20，即 2m2 时， f '( x) min0 ， f ( x) 单增， f ( x)f (0)1 ， f ( x)0me无解；（ii ）若 1ln20 ，即 m2， f '( x) minf '( x0 )0 ，在 (0, x0 ) 上， f ''(x)0 ， f '( x) 单me减； f '(0)m0 ， f '( x0 )0 ， f '( x)0 在区间 (0, x0 ) 上有唯一解， 记为 x1 ；在 ( x0, )上，f ''(x)0, f '( x) 单增 ， f '( x0 )0 ，当 x时 f'( x)，故 f '( x) 0在区间 (x0 ,)上有唯一解，记为x2 ，则在 (0, x1 ) 上 f '(x)0 ，在 (x1 , x2 ) 上 f '( x) 0 ，在 (x2 ,) 上f &