陕西省咸阳市2018-2019年高二下期末数学试卷(理)含答案解析

1、2018-2019 学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1若复数 z=i （1 2i）（ i 为虚数单位） ，则=（）A12iB1 2i C2 i D2i+ +2设 a=n（ n 1）（ n2） （n 50），则 a 可表示为（）A BCD3下列函数求导正确的是（）A （ sinx） = cosxB （cosx） =sinx C（2x） =x?2x1 D （）=4fxab上的连续函数，并且F x）=fx），微积分基本定理：一般的，如果（）是区间 ，（那么 f（ x） dx= （）A F（ a）

2、F（ b）B F（ b） F（ a）C F（ a） F（ b） D F（ b） F（ a）5要证明不等式+2，可选择的方法有（）A 分析法B 综合法C反证法D 以上三种方法均可6一批种子的发芽率为80% ，现播下100 粒该种种子， 则发芽的种子数 X 的均值为 （）A 60B70C 80D907（ 1 2x） 4 展开式中含x 项的系数（）A 32B4C8 D328某市 16 个交通路段中，在早高峰期间与7 个路段比较拥堵，现从中任意选10 个路段，用 X 表示这 10 个路段中交通比较拥堵的路段数，则P（ X=4 ） =（）ABCD9实数 x， y 满足（ 1+i ）x+（ 1i ） y=

3、2，设 z=x +yi ，则下列说法错误的是（）A z 在复平面内对应的点在第一象限B | z| =C z 的虚部是iD z 的实部是110把一枚硬币连续抛掷两次，事件A= “第一次出现正面”，事件 B= “第二次出现正面”，则PBA）等于（）（|A BCD第1页（共 15页）11=2?，=3，=4，若观察下列各式：?=9?，则 m=（）A80 B81C 728D 72912已知函数 f （ x）为偶函数，且当x 0 时， f（x） =（ x1）（ x 2），则下列关系一定成立的是（）A f （ 1） f（ 2）B f（0） f（ 1） C f （ 2） f（ 1） D f （ 1） f （

4、2）二、填空题：每小题5 分，共20 分13若随机变量 X 的分布列为 P（ X=i ）=（i=1 ，2，3，4），则 P（ X 2）=14据气象部门的统计，浙江沿海某市下雨的概率为0.4，且雨天时湿度大于70%的概率为0.6，则该市既下雨同时湿度在70%以上的概率为15fx=alnx+x在x=1处取得极值，则a的值为函数（ ）16一家 5 口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5 张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有种三、解答题：共70 分3217已知函数f （ x） =x +3x 9x+3求：（） f（ x）的极值

5、18从 4 名男生， 3 名女生中选出三名代表，（ 1）不同的选法共有多少种？（ 2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？（ 3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？19已知数列 an 中， a1= ， an=（ n 2， n N+）（）求 a2，a3， a4 的值，并猜想数列 an 的通项公式 an （）用数学归纳法证明你猜想的结论20 PM2.5 是指空气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量 x（万辆）5051545758P

6、M2.5 的浓度 y（微克 / 立方米）6970747879（1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程；（保留 2 位小数）第2页（共 15页）（3）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（ 2）求出的线性回归方程预测， 此时 PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？参考公式：=，=21为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两个班级中分别随机抽取 5 名学生的成绩作样本， 如图是样本的茎叶图， 规定： 成绩不低于 120 分时为优秀成绩（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取2 个数据，求其中只有一个

7、优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2 名学生的成绩，记获优秀成绩的总人数为X ，求 X 的分布列22fx）=x在x=1处的切线方程为2xy b=0已知函数（+ +（）求实数a， b 的值；（）设函数g（ x） =f （ x） +x2 kx ，且 g（ x）在其定义域上存在单调递减区间（即g（x） 0 在其定义域上有解） ，求实数k 的取值范围第3页（共 15页）2018-2019 学年陕西省咸阳市高二 （下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1若复数z=i （1 2i）（ i

8、为虚数单位） ，则=（）A 12iB 1+2i C 2+iD 2 i【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出【解答】 解：复数z=i（ 1 2i ）=i +2，则=2 i故选： D2设 a=n（ n 1）（ n2） （n 50），则 a 可表示为（）ABCD【考点】 组合及组合数公式【分析】 由已知直接利用排列数公式求解【解答】 解：由排列数公式，得：a=n（ n 1）（n 2） （ n 50）= 故选： A3下列函数求导正确的是（）A （ sinx） = cosxB （cosx） =sinxxx1）=C（2） =x?2D （【考点】 导数的运算【分

9、析】 根据基本导数公式判断即可【解答】 解：（sinx=cosx，（cosx=sinx，（2x=ln2?2x，（=，） ） ） ） 故选： D4f x）是区间a bF x）=fx），微积分基本定理：一般的，如果（， 上的连续函数，并且（那么 f（ x） dx= （）A F（ a） F（ b）B F（ b） F（ a）C F（ a） F（ b） D F（ b） F（ a）【考点】 微积分基本定理【分析】 直接利用微积分基本定理，可得结论【解答】 解：微积分基本定理：一般的，如果f（ x）是区间 a， b 上的连续函数，并且F（x） =f （ x），那么 f（ x） dx=F （ b） F（ a）

10、第4页（共 15页）故选： B5要证明不等式+2，可选择的方法有（）A 分析法B 综合法C反证法D 以上三种方法均可【考点】 综合法与分析法 ( 选修）【分析】 利用三种方法，给出不等式的证明，即可得出结论【解答】 解：用分析法证明如下：要证明+ 2，需证（+）2（ 2） 2，即证10+220，即证5，即证 21 25，显然成立，故原结论成立综合法：（+）2（ 2）2220=2502=10+（+），反证法：假设+ 2通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论从以上证法中，可知三种方法均可故选： D6一批种子的发芽率为80% ，现播下 100 粒该种种子， 则发芽的种子数X 的均值为 （）A60 B

11、70 C80 D90【考点】 极差、方差与标准差【分析】 种子要么发芽，要么不发芽，符合二项分布X B ，代入 E（X ）=np ，求出即可【解答】 解： 100× 80%=80 ，发芽的种子数X 的均值为80，故选： C7（ 1 2x） 4 展开式中含 x 项的系数（）A32 B4C8D 32【考点】 二项式系数的性质【分析】 利用二项展开式的通项求出二项式展开式的通项，令通项中 x 的指数为1 求出 r 的值，将 r 的值代入通项求出4 展开式中含 x 项的系数【解答】 解：（ 12x4展开式的通项为rr r）TR+1=（ 2） C4 x令 r=1 得展开式中含x 项的系数为 2

12、C 14= 8故选 C8某市 16 个交通路段中，在早高峰期间与7 个路段比较拥堵，现从中任意选10 个路段，用X表示这10 个路段中交通比较拥堵的路段数，则P（ X=4 ） =（）A B CD【考点】 古典概型及其概率计算公式第5页（共 15页）【分析】 由题意本题是一个超几何分布的问题，P（ X=4 ）即取出的10 个村庄中交通不方便的村庄数为四，由公式算出概率即可【解答】 解：由题意P（ X=4 ） =，故选： A9实数 x， y 满足（ 1+i ）x+（ 1i ） y=2，设 z=x +yi ，则下列说法错误的是（）A z 在复平面内对应的点在第一象限B | z| =C z 的虚部是i

13、D z 的实部是1【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 把（1 ix1 i）y=2，化为x y 2xyi=0，利用复数相等的充要条件，+）+（ + +（ ）求出 x， y 的值，则 z=1+i，再由复数的基本概念逐个判断得答案【解答】 解：实数 x， y 满足（ 1+i） x+（ 1i ）y=2 ，化为x y2xyi=0，+ +（ ），解得 x=y=1 则 z=x+yi=1 +i对于 A ，z 在复平面内对应的点的坐标为：（ 1，1），位于第一象限，故A 正确对于 B ，| z| =，故 B 正确对于 C，z 的虚部是：1，故 C 错误对于 D ，z 的实部是： 1，故 D 正确故选： C

14、10把一枚硬币连续抛掷两次，事件A= “第一次出现正面”，事件 B= “第二次出现正面”，则PBA）等于（）（|A BCD【考点】 条件概率与独立事件【分析】 本题是一个条件概率， 第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，代入条件概率的概率公式得到结果【解答】 解：由题意知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，第6页（共 15页）P（B| A）=故选 A11观察下列各式：=2?，=3，=4?，若=9?，则 m=（）A80B 81C 728 D 729【考点】 归纳推理【分析】 观察每个等式可以发现每个被开方数的分数部分的

15、分母是分子的立方减去 1 所得，从而可求 m【解答】 解：=2?=2?，=3，=4?=4，所以，所以=9?=9，3所以 m=9 1=729 1=728；12已知函数f （ x）为偶函数，且当x 0 时， f（x） =（ x1）（ x 2），则下列关系一定成立的是（）A f （ 1） f（ 2） B f（0） f（ 1） C f （ 2） f（ 1） D f （ 1） f （ 2）【考点】 导数的运算【分析】 根据导数和函数单调性的关系吗， 求出函数的单调区间， 再根据偶函数的性质即可判断【解答】 解：当 f（ x） 0 时，即（ x 1）（ x 2） 0 解得 0 x 1 或 x2，函数单调递

16、增，当 f （ x） 0 时，即（ x 1）（ x 2） 0 解得 1 x 2，函数单调递减， f （x）在（ 0， 1）和（ 2， +）单调递增，在（ 1， 2）上单调递减，第7页（共 15页）f （ 1） f（ 2）， f（ 0） f（ 1）=f （ 1），f（ 2） =f （ 2） f （ 1）， f（ 1） =f （ 1） f（ 2），故选： C二、填空题：每小题5 分，共 20 分13若随机变量X 的分布列为P（ X=i ） =（ i=1 ， 2， 3， 4），则 P（ X 2） =0.7【考点】 离散型随机变量及其分布列【分析】 由已知得 P（ X 2） =P（X=3 ）+P（ X

17、=4 ），由此能求出结果【解答】 解：随机变量 X 的分布列为 P（X=i ） =（ i=1 ， 2，3， 4），P（ X 2） =P（ X=3 ） +P（X=4 ）=0.7故答案为： 0.714据气象部门的统计，浙江沿海某市下雨的概率为0.4，且雨天时湿度大于70%的概率为0.6，则该市既下雨同时湿度在70%以上的概率为0.24 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式【分析】 根据题意，某一天浙江沿海某市下雨的概率为0.4，且雨天时湿度大于70%的概率为 0.6，进而根据根据相互独立事件概率的乘法公式可得答案【解答】 解：根据题意，浙江沿海某市下雨的概率为0.4，且雨天时湿度大于70%的概率为

18、0.6，根据相互独立事件概率的乘法公式可得，故该市既下雨同时湿度在 70%以上的概率 0.6× 0.4=0.24，故答案为： 0.2415fx=alnx+x在x=1处取得极值，则a的值为 1函数（ ）【考点】 函数在某点取得极值的条件【分析】 由题意得求出函数的导数f（ x） =+1，因为函数 f （ x） =alnx +x 在 x=1 处取得极值，所以f （ 1） =0 进而可以求出答案【解答】 解：由题意得f（ x） =+1因为函数f （ x） =alnx +x 在 x=1 处取得极值，所以 f（ 1） =0 ，即 a+1=0 ，所以 a= 1故答案为 116一家 5 口春节回老

19、家探亲，买到了如下图的一排5 张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有30种第8页（共 15页）【考点】 排列、组合及简单计数问题【分析】 有题意需要分两类，第一类，当爷爷在 6 排 D 座时，第二类，当爷爷在 6 排 C 座时，再排小孙女，最后排其他人，根据分类计数原理可得【解答】 解：第一类，当爷爷在6 排 D 座时，再排小孙女，最后排其他人，共有=18种，第二类，当爷爷在6 排 C 座时，再排小孙女，最后再排其他人，共有=12 种，根据分类计数原理共有18+12=30 种，故答案为： 30三、解答题：共70 分17

20、已知函数f （ x） =x3+3x2 9x+3求：（） f（ x）的单调递增区间；（） f（ x）的极值【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）可求导数得到 f （ x） =3x2+6x 9，而通过解 f（ x） 0 即可得出函数 f（ x）的单调递增区间；（）根据 x 的取值可以判断导数符号，这样由极值的概念便可得出函数f （ x）的极值【解答】 解：（） f（ x） =3x2+6x 9，解 f（ x） 0 得：x 1，或 x 3；fx）的单调递增区间为（31（， ， ，+ ）；（） x 3 时， f（ x） 0， 3x 1时， f （ x） 0， x1 时，

21、f（x） 0；x= 3 时 f （ x）取极大值 30， x=1 时， f（ x）取极小值 218从 4 名男生， 3 名女生中选出三名代表，（ 1）不同的选法共有多少种？（ 2）至少有一名女生的不同的选法共有多少种？（ 3）代表中男、女生都有的不同的选法共有多少种？【考点】 排列、组合的实际应用【分析】（ 1）根据题意，要从 7 人中选出 3 名代表，由组合数公式可得答案；（2）至少有一名女生包括 3 种情况， 、有 1 名女生、 2 名男生， 、有 2 名女生、 1 名男生， 、 3 名全是女生，由组合数公式可得每种情况的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；（3）由（ 1）可得，从 7

22、人中选出 3 人的情况有 C73 种，从中排除选出的 3 人都是男生的情况与选出的 3 人是女生的情况，即可得答案【解答】 解：（ 1）根据题意，共有7 人，要从中选出3 名代表，共有选法种；（2）至少有一名女生包括3 种情况，1 2 、有 1 名女生、 2 名男生，有 C3 C4 种情况，2 1 种情况，、有2名女生、1名男生，有C3C4 、3 名全是女生，有C33 种情况，则至少有一名女生的不同选法共有种；第9页（共 15页）（ 3）由（ 1）可得，从 7 人中选出 3 人的情况有 C73 种，选出的 3 人都是男生的情况有 C43 种，选出的 3 人是女生的情况有 C33 种，则选出的3

23、 人中，男、女生都要有的不同的选法共有种19已知数列 an 中， a1=， an=（ n 2， n N+）（）求 a2，a3， a4 的值，并猜想数列 an 的通项公式 an （）用数学归纳法证明你猜想的结论【考点】 数学归纳法；归纳推理【分析】（）由题意a1=，an=（代入计算，可求a2、 a3、a4 值，并根据规律猜想出数列 an 的通项公式；（）检验 n=1 时等式成立，假设n=k 时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立【解答】 解：（） a =a =，1， na2=， a3=， a4=，猜想： an=，（）： 当 n=1 时，猜想成立， 假设 n=k （k N* ）时猜想成立，即

24、ak=那么 n=k +1 时， ak+1=当n=k1时猜想仍成立+n N* 都成立根据 ，可以断定猜想对任意的20 PM2.5 是指空气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）为了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量 x（万辆）5051545758PM2.5 的浓度 y（微克 / 立方米）6970747879（1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图；第 10 页（共 15 页）（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程；（保留 2 位小数）（3）若周六

25、同一时间段车流量是25 万辆，试根据（ 2）求出的线性回归方程预测，此时 PM2.5的浓度为多少（保留整数）？参考公式：=，=【考点】 独立性检验的应用【分析】（ 1）利用描点法可得数据的散点图；（2）根据公式求出b， a，可写出线性回归方程；（3）根据（ 2）的性回归方程，代入x=25 求出 PM2.5 的浓度【解答】 解：（ 1）散点图如图所示（2），=64，=50，第 11 页（共 15 页）， 故 y 关于 x 的线性回归方程是：8（ 3）当 x=2.5 时， y=1.28 × 25+4.88=36.88 37所以可以预测此时PM2.5 的浓度约为3721为了解甲、乙两个班级

26、某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取 5 名学生的成绩作样本， 如图是样本的茎叶图， 规定： 成绩不低于 120 分时为优秀成绩（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2 名学生的成绩，记获优秀成绩的总人数为X ，求 X 的分布列【考点】 离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图【分析】（ 1）由茎叶图知甲班样本的5 个数据中优秀成绩有 2 个，非优秀成绩有 3 个，由此能求出从甲班的样本中有放回的随机抽取2 个数据，其中只有一个优秀成绩的概率（2）由茎叶图知甲班样本的5 个数据中优秀成绩有 2 个，非优秀成绩有3 个，乙班样本的5 个数据中优秀成绩有1 个，非优秀成绩有4 个， X 的可能取值为0，1，2，3，