《数学分析》第四章函数的连续性

1、第四章函数的连续性 (计划课时：1 2时)§ 1 函数的连续性(2时)一.函数在一点的连续性：1. 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义：设函数f(x)在点某邻域有定义.定义(用 lim f(x) = f(x0).)XX0定义 (“wS”定义.)定义(用2m)Ay = 0 ) 先定义Ax和Ay.例1函数f (x) = 2x +1在点x0 = 2连续.1例 2 函数 f (x) = Jxsin x, x。0,在点 x0 =0 连续.0,x=0.例3函数f (x) =xD(x)在点x0 =0连续.注：若函数f (x)在点x0连续，则lim f (x) = f (

2、x0)，又因l i nx = x0，从而 x jx。x >x。lim f (x) = f (lim x)，即在f (x)的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序.x 典0x3.单侧连续：定义单侧连续，并图解.Th1 (单、双侧连续的关系)Xx 2, x 0,例4 f (x) = < A, x = 0,讨论函数f(x)在点 = 0的连续或单侧连续性.Ix -2, x : 0.二.间断点及其分类：图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点，其他情况(即f(x0+0)或f (x0 -0)中至少有一个不存在)称为第二类间断点.例5讨论函数f (x) =sgnx的间断

3、点类型.sin x例6延拓函数f (x)=,使在点x0 =0连续.x例7讨论函数f (x) =x的间断点类型.1例8讨论函数f(x)=sin 的间断点类型.x例9讨论Dirichlet函数D(x)和Riemann函数R(x)的连续性.三.区间上的连续函数：开区间上连续，闭区间上连续，按段连续.EX 1P731-5.§ 2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质：叙述为Th 14.1 .局部有界性：2 .局部保号性：3 .四则运算性质：4 .复合函数连续性：Th 4若函数f在点X0连续，函数g在点U0连续，且Uo = f（Xo），则复合函数g ° f在点注:Th 4可简写为X0

4、连续.lim g f (x) j>g lim f(X) 'Hg f(lim X) 'Sg f (Xo) . X_X0XXo,X .Xo求极限 lim sin(1 _ X2).X1求极限： l i m'2 -sJJnS；X 0 . Xln(1 x) .求极限lim -.( lnX的连续性见后X0X、闭区间上连续函数的基本性质1. 最值性：先定义最值.Th 5 （最值性）系（有界性）2. 介值性:定义介值.Th 6 （介值性）连续函数的值域，连续的单调函数的值域 系（零点定理） 例4证明：若r>0, n为正整数，则存在唯一正数x0，使得Xn = r （ x0称为

5、r的n次正根（即 算术根，记作x0 =才）.例 5 设 f 在a,b上连续，满足 f（a,b）ua,b,证明：三x0 w a,b,使得 f（x0）=x0.二.反函数的连续性： 1Th 7若函数f在a,b上严格递增（或减）且连续，则其反函数f 在相应的定义域 f（a）, f（b）（或 f（b）, f（a）上连续.（证）关于函数y=arcsinx, Jx, x等的连续性Ex 1P80811 10四.函数的整体连续性 一致连续:1. 连续定义中6对X0的依赖性：1例6 考查函数f（x）= 在区间（0,1上的连续性.x对vx° W (0,1,作限制x0 <x E1,就有21 1 x X

6、ox Xo2 x Xo一 =E =2.x x0 xx0xox0yxo2对V EA0 ,取6=min迎8,9.这里6与x0有关，有时特记为6%). 22本例中不存在可在区间(0,1上通用的6,即不存在最小的(正数)6.1-例6考查函数f(x)=在区间c,+s) (c A 0)上的连续性.x2cc.本例中可取得最小的，也就是可通用的m m min 一 w , .该6却与x0无关，可22记为、.(；).2. 一致连续性：定义(一致连续)顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法：对寸o>0,确证8(> 0)存在.为此，从不失真地放大 式 f (x) - f (x)入手，使在放

7、大后的式子中，除因子| xr-x"之外，其余部分中不含 有x'和x",然后使所得式子 名，从中解出x'-x”.例8 验证函数 f (x) = ax +b (a o 0)在(g，+a )内一致连续. 19 验证函f(x)=sin 在区间(c,1) (0 cc <1)内一致连续. 1si n- -siXx1 n x2=2.x1 一x2 si n2x1x2x1 x2 co sx - x2xx2x -x22c10若函数f (x)在有限区间(a,b)内一致连续，则f(x)在(a,b)内有界.3. 一致连续的否定否定定义.1 一例11证明函数f(x)= 一在区间(

8、0,1)内非一致连续 x1证法一 (用一致连续的否7E7E义验证)取% =1, v<5(< 1),取x =min6, ,2与 x " = x,便有 x'-x=x-W<6.但2221- .二- 2 Jio.x证法二(用例10的结果).4. Lipschitz连续与一致连续 定义Lipschitz连续.例12函数f(x)在区间I上L-连续，= f(x)在I上一致连续但函数f(x)在区间I上一致连续时,未必有f(x)在I上L 连续.例如：函数f(x)=JX在区间(0,1)内一致连续.(为证明 &在区间(0,1)内一致连续,先证明不等式：V Xi,X2>

9、;0,有不等式Xi+ X2 2 Xi X2WXi X2 . 事实上，XiX2时,Xix2- 2Xi x2<Xix2- 2x2x2=x1- x2,X2 _ Xi.同理，X1M X2 时，有 X1 +x2 Zq'xXz E X + X2 2q,rXX利用该不等式，为使i-2只要xi -x2 名.2 2f (Xi) - f(X2)XiX2 -2. XiX2 :二； 却不是L连续.事实上，倘存在L>0,使对 Vxi,x2 (0,1),有f (Xi) - f(X2) =|亚 7*2仆 L Xi X2 ,则当Xi #X2时，应成立Xi 一2(nT g ).矛盾.141 n 但右取 Xi

10、 =, X2 = , 就有 =a 00n2n2xi235. 一致连续的判定Th 8 ( Cantor) 若函数f (x)在闭区间a,b上连续，= f (x)在a, b上一致连续 例 13 见1P80例 10.Ex 1P1028, 9, 10.§ 3初等函数的连续性回顾基本初等函数中，已证明了连续性的几个函数.指数函数和对数函数的连续性.(证)一.初等函数的连续性：Thi 一切基本初等函数都在其定义域上连续.Th2任何初等函数在其有定义的区间上是连续的注:初等函数的连续区间和间断点：初等函数的间断点是其连续区间的开端点.闭端点是其单侧连续点.X 1例1 求函数f (X) =r7的连续区间和间断点.In x - 2解 Df -1,1) - (1,2) - (2,3) 一(3,二).二 f(x)的连续区间为：1,1)、(1,2)、(2,3)和(3,十a ).间断点为：x =1,2和3. ( f(x)在点x = 1右连续).二.利用函数的连续性求极限：2小 ln(1 x )例 2 lim .X 0 cos X例4secxctgxlim 1 tgxx_0，1（作倒代换t =.x二e.解 I = lim (1 +tgx产 secx =(lim(1 +tgx)ctgx 坞secx =e1 x_0x 0例 5 lim