竞赛7曲线运动曲直谈ppt课件

1、一、曲线运动的发生条件一、曲线运动的发生条件F合外力方向与速度方向不在不断线合外力方向与速度方向不在不断线二、曲线运动的特点二、曲线运动的特点速度方向一定变化速度方向一定变化切向力改动速度大小切向力改动速度大小法向力改动速度方向法向力改动速度方向vFnFt三、求解曲线运动问题的运动学根本方法三、求解曲线运动问题的运动学根本方法矢量的合成与分解矢量的合成与分解微元法微元法 曲线运动的加速度曲线运动的加速度质点的瞬时加速度定义为质点的瞬时加速度定义为 0limtvat AvAvBv nv tv 0limnntvat 0limtttvat 为求普通的做曲线运动质点在任一为求普通的做曲线运动质点在任一

2、点的瞬时加速度，通常将其分解为点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度法向加速度anan与切向加速度与切向加速度at atOA点曲率圆点曲率圆 nAvvAB nAvvABtt 0limAnta 0limAtvABt 2nva A点曲率圆半径点曲率圆半径0limtttvat aB 在离水面高度为在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉的岸边，有人用绳子拉船靠岸，假设人收绳的速率恒为船靠岸，假设人收绳的速率恒为v0，试求船在离岸边，试求船在离岸边s间间隔处时的速度与加速度的大小各为多少？隔处时的速度与加速度的大小各为多少？ 根据实践运动效果分解船的运动：根据实践运动效果分解船的运动：v0Avvnhs

3、vt船及与船相系的绳端船及与船相系的绳端A的实践运动的实践运动是程度向左的，这可看作是绳之是程度向左的，这可看作是绳之A端一方面沿绳方向向端一方面沿绳方向向“前方滑轮前方滑轮处处“收短，同时以滑轮为圆心转收短，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实践速度动而成，即将实践速度v分解成沿分解成沿绳方向绳方向“收短的分速度收短的分速度vn和垂直和垂直于绳方向的转动分速度于绳方向的转动分速度vt; 留意到绳子是不可伸长的，人收绳的留意到绳子是不可伸长的，人收绳的速率速率v0也就是绳端也就是绳端A点沿绳方向挪动速率点沿绳方向挪动速率vn: 由图示由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得：矢量关系及位置

4、的几何关系易得： 0nvv 00cotthvvvs 0sinvv 则则220hsvs 求船的速度求船的速度 求船的加速度求船的加速度在一小段时间在一小段时间t内内,船头位置船头位置从从A移移A，绳绕滑轮转过一小，绳绕滑轮转过一小角度角度0:Avv0 vtA v v0tv 0sinvv 011sinsinvv 由加速度定义得：由加速度定义得： 0limtvat 0costancosthhtvv 由几何关系得：由几何关系得： cosh 00011sinsinlimtancosvahv 则则 200sinsincoslimtansinsinvh 200cossincos22limtansinsin2

5、vh 230cotvh 2203v hs 320vhhs 质点沿圆周做速度大小、方向均变化质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动每个瞬时的加速度均可分解为的运动每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度切向加速度at与法向加速度与法向加速度an，前者反，前者反映质点速率变化快慢，后者反映质点速映质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢度方向变化快慢 如下图，质点从如下图，质点从O点由静止开场沿半径为点由静止开场沿半径为R的圆周做速率均匀增大的运动，到达的圆周做速率均匀增大的运动，到达A点时质点的加速点时质点的加速度与速度方向夹角为度与速度方向夹角为，质点经过的弧，质点经过的弧s所对的圆心角为所

6、对的圆心角为，试确定试确定与与间的关系间的关系vAaAOs atan由题给条件由题给条件2 2tna taR 则则222,AntaasvRt 而而 22,Atva tsR 2nttaa taR 222stt R 2 tanntaa 又又tan2 如下图，质点沿一圆周运动，过如下图，质点沿一圆周运动，过MM点时速度大小为点时速度大小为v v，作加速度矢量与圆相交成弦作加速度矢量与圆相交成弦MA=lMA=l，试求此加速度的大小，试求此加速度的大小 将将M点加速度沿切向与法向进展分解点加速度沿切向与法向进展分解!vaMAlOatan法向加速度法向加速度2sinnvaaR 22avl sin =2而而

7、lR 2sinvaR 如下图，曲柄如下图，曲柄OAOA长长40 cm,40 cm,以等角速度以等角速度=0.5rad/s=0.5rad/s绕绕O O轴轴反时针方向转动由于曲柄的反时针方向转动由于曲柄的A A端推进程度板端推进程度板B B而使滑杆而使滑杆C C沿竖直方沿竖直方向上升，求当曲柄与程度线夹角向上升，求当曲柄与程度线夹角=30=30时，滑杆时，滑杆C C的加速度的加速度 杆杆A与与B板接触点有一样沿竖直方向的加速度板接触点有一样沿竖直方向的加速度 !杆上杆上A点加速度点加速度2Aal OABCaAaAyaC20.05m/sBa 21sin2AyAaal 此即滑杆此即滑杆C的加速度的加速

8、度CAyaa 代入数据得滑杆代入数据得滑杆C的加速度的加速度 有一只狐狸以不变的速度有一只狐狸以不变的速度v1v1沿着直线沿着直线ABAB逃跑，一猎逃跑，一猎犬以不变的速率犬以不变的速率v2v2追击，其运动方向一直对准狐狸某时辰狐狸在追击，其运动方向一直对准狐狸某时辰狐狸在F F处，猎犬在处，猎犬在D D处，处，FDABFDAB，且，且FDFDL L，如图试求此时猎犬的加速，如图试求此时猎犬的加速度的大小度的大小 设设t时间内，时间内，v2方向变化方向变化, 0时时: FLABDA B v1v2v2v v21vt v21tanvtL 由加速度定义，猎犬由加速度定义，猎犬 加速度加速度 0lim

9、tvat 20limtvt 1 2av vL 赛车在公路的平直段上以尽能够大的加速度行驶，赛车在公路的平直段上以尽能够大的加速度行驶，在在0.1 s0.1 s内速度由内速度由10.0m10.0ms s加大到加大到10.5 m10.5 ms s，那么该赛车在半径为，那么该赛车在半径为30 m30 m的环形公路段行驶中，要到达同样大的速度需求多少时间？当环形的环形公路段行驶中，要到达同样大的速度需求多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不能够增大到超越公路段的半径为多少时，赛车的速度就不能够增大到超越10 m/s10 m/s？公路的路面是程度的公路的路面是程度的 直线加速时车的加速度直

10、线加速时车的加速度 : 20005m/stvvat 在环形公路上，法向加速度在环形公路上，法向加速度 2tnvaR 0ttvvat 切向加速度切向加速度 2220ntaaa 代入数据代入数据4210.50.2525900t 0.15t200mvaR 当轨道半径令法向加速度大小等于当轨道半径令法向加速度大小等于a0:无切向加速度，赛车速率不会添加无切向加速度，赛车速率不会添加 m20mR 质点沿半径为质点沿半径为R R的圆周运动，初速度的大小为的圆周运动，初速度的大小为v0v0在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间经时间

11、T T质点的速度质点的速度v v 设速率从设速率从v0添加添加,取运动过程中第取运动过程中第i个极短时间个极短时间t，由题意有，由题意有此题用微元法此题用微元法210limiiiitivvvtR 1201limliminiiitniivvTtRv 则则1111limnniiiRvv 01121111111nRvvvvvv 111limniiniiivvRv v 011Rvv 00RvRvv T 假设速率从假设速率从v0减小减小, 有有00RvRvv T y 质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一同质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一同转动两者之合运动转动两者之合运动 如下图，圆盘半径为如下图，圆

12、盘半径为R，以角速度，以角速度绕盘绕盘心心O转动，一质点沿径向槽以恒定速度转动，一质点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外运动，自盘心向外运动，试求质点的加速度试求质点的加速度 AO此题讨论中介参考系以此题讨论中介参考系以匀速转动时，质点加速度的构成匀速转动时，质点加速度的构成 u 设某一瞬时质点沿槽运动到与设某一瞬时质点沿槽运动到与O O相距相距r r的位置的位置A AyBxOAurB u rut t 经经t时间，质点沿槽运动到与盘心时间，质点沿槽运动到与盘心O相距相距r+ut 的的位置位置B ，盘转过了角度，盘转过了角度t，故质点实践应在位置，故质点实践应在位置B 在在tt时间内，质点沿时间内，

13、质点沿y y方向速度增量为方向速度增量为 cossinyvutru ttu 在在tt时间内，质点沿时间内，质点沿x x方向速度增量为方向速度增量为 sincosxvutru ttr 留意到留意到t0时时 cos1t sintt 20t 0limyAytvat 0limturu ttut 2r 0limxAxtvat 0limtru tutrt 2 u 224Arau 方向与方向与x x成成1tan2ru 2r 2 u 牵连加速度牵连加速度Aa 相对中介参考系的加速度相对中介参考系的加速度 a相相对对牵连加速度牵连加速度 牵牵连连2ar 2au 科科yxOA 由于参考系转动及质点对参考系有相对运

14、动而由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而产生的，方向指向产生的，方向指向u u沿沿 方向转过方向转过9090的方向的方向前往前往试手试手 如下图如下图, ,一等腰直角三角形一等腰直角三角形OABOAB在其本身平面内以在其本身平面内以等角速度等角速度 绕顶点绕顶点O O转动，某一点转动，某一点MM以等相对速度沿以等相对速度沿ABAB边运动，当三边运动，当三角形转了一周时，角形转了一周时，MM点走过了点走过了ABAB，如知，如知ABABb b，试求，试求MM点在点在A A时的速时的速度与加速度度与加速度 求质点的速度求质点的速度OABM引入中介参照系引入中介参照系- -三角形三角形OABOAB

15、质点对轴质点对轴O的速度相对速度的速度相对速度三角形三角形A点对轴的速度牵连速度点对轴的速度牵连速度质点对轴质点对轴O的速度绝对速度的速度绝对速度vM2Avb 2MAbv vMAvA?MAMAvvv 三速度关系为三速度关系为vM22222222cos4524Mbbvbb 45 28412b 方向与方向与ABAB夹角夹角12tan21 求质点的加速度求质点的加速度aaaaMMAA 科科相对中介参考系的加速度相对中介参考系的加速度 0MAa 牵连加速度牵连加速度22ba 科科22Aab OABMaAa科科aM 222222222cos4522Mbbabb22221b 方向与方向与AOAO夹角夹角1

16、1tan21 曲线运动轨迹的曲率曲线运动轨迹的曲率曲线的弯曲程度用曲率描画曲线的弯曲程度用曲率描画 曲线上某点的曲率定义为曲线上某点的曲率定义为s 0limtKs 圆周上各点曲率一样圆周上各点曲率一样: :R 1KRR 曲线上各点对应的半径为该点曲线上各点对应的半径为该点曲率倒数曲率倒数1/K1/K的圆称为曲率圆的圆称为曲率圆, ,该该圆圆心称曲线该点的曲率中心圆圆心称曲线该点的曲率中心! !M1 用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径率半径,知长半轴与短半轴为知长半轴与短半轴为a和和b. 设质点在设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率平面内沿椭圆轨道以速率v

17、运动，这个运动在运动，这个运动在M1平面的一个分运动轨道恰成半径为平面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，那么两平面间夹的圆，那么两平面间夹角角1cosba 对椭圆长轴端的对椭圆长轴端的A点点:A1a A12AAva 对对A点投影点投影A1点点:21Avab 1cosAAAbaaaa 又又2Aba 椭圆短轴端椭圆短轴端B点的曲率半径由点的曲率半径由B1vvMAaABvaBaB 22cosBBvvab 2Bab 用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径.yxOp2p22ypx 设质点以速度设质点以速度v0做平抛运动做平抛运动0212xv tygt 在在中中消去消去t

18、得得2202vshg shO22yp x v0v2hvgh Pg 对轨迹上的对轨迹上的P点点:2cosvg 式中式中2202vvgh 020cos2vvgh 2200022vghvggvh 2200,2vvgg 322002vghgv 32202021ghvvg 3221xppg 2 2Pp 抛物线上抛物线上x=p/2点点P 旋转半径为旋转半径为r r、螺距为、螺距为h h的等距螺旋线，曲率半径处的等距螺旋线，曲率半径处处一样试用运动学方法求解曲率半径处一样试用运动学方法求解曲率半径 值值 设物体以设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时做匀速率的圆周运动、同时以以vh沿垂直于沿垂直于v0方向做匀

19、速直线运动，方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有每前进一个螺距，完成一次圆周，即有 02hrhvv 设螺旋线上任一点的曲率半径为设螺旋线上任一点的曲率半径为则则20nvar 22020hvvrv 22214hrr 0vhv220hvv hr受恒力作用受恒力作用力与初速度垂直力与初速度垂直轨迹为半支抛物线轨迹为半支抛物线匀变速曲线运动匀变速曲线运动vx物体在时辰物体在时辰t的位置的位置 20222100121,tan22ssv thgtgtxv tgtsv 方方向向与与 成成shs 物体在时辰物体在时辰t的速度的速度 0221000,tanshvvvvgtgtvvgtvv 方方

20、向向与与成成0vhv0vv 程度方向匀速运动与竖直程度方向匀速运动与竖直方向自在落体运动的合成方向自在落体运动的合成前往前往0sin2cosvtg 220sin2cosHvg 平抛初速大小不同平抛初速大小不同, ,落在斜面上时速度方向一样落在斜面上时速度方向一样! !H xyv0g02tanvg 空中飞行时间空中飞行时间距斜面最大高度距斜面最大高度沿斜面方向的匀加速运动与垂沿斜面方向的匀加速运动与垂直斜面方向的上抛运动之合成直斜面方向的上抛运动之合成! ! 如下图，小冰球从高为如下图，小冰球从高为H H的光滑坡顶由静止开场下的光滑坡顶由静止开场下滑，这个坡的末端形如程度跳板当跳板高滑，这个坡的

21、末端形如程度跳板当跳板高h h为何值时，冰球飞过的为何值时，冰球飞过的间隔间隔s s最远？它等于多少？最远？它等于多少？ HhAB 222.hSg HhHh hg 物体从坡末端物体从坡末端B程度飞出后做平抛运动程度飞出后做平抛运动:由根本不等式性质由根本不等式性质,2HhhHh 当当时时maxSH 两个质点以加速度两个质点以加速度g g在均匀重力场中运动开场时在均匀重力场中运动开场时两个质点位于同一点，且其中一个质点具有程度速度两个质点位于同一点，且其中一个质点具有程度速度v1v13.0 m3.0 ms s；另一个质点程度速度另一个质点程度速度v2v24.0 m4.0 ms s，方向与前者相反

22、求当两个质点，方向与前者相反求当两个质点的速度矢量相互垂直时，它们之间的间隔的速度矢量相互垂直时，它们之间的间隔 当两质点速度相互垂直时，当两质点速度相互垂直时，速度矢量关系如图示速度矢量关系如图示:v1vyv 1tv 2tv2vy 122tancottan3vv由矢量图得由矢量图得1tan2 3yvv 而而m m/ /s s1ta0.3n2vtg s s 12Svvt 则则m7 35 如图，一仓库高如图，一仓库高25 m25 m，宽，宽40 m40 m今在仓库前今在仓库前l ml m、高、高5 m5 m的的A A处抛一石块，使石块抛过屋顶，问间隔处抛一石块，使石块抛过屋顶，问间隔l l为多大

23、时，初速度为多大时，初速度v0v0之值最小？之值最小？g g取取10 m/s210 m/s2 hSv0lvB A HB45 过过B点时速度方向与程点时速度方向与程度成度成45时，可以最小时，可以最小的的vB越过越过40m仓库顶仓库顶 ! 2sin45cos45BBvSvg 由由BvgS 220sinsin452Bvvg Hh 从从A到到B竖直方向分运动有竖直方向分运动有0sinsin45cos45BBvvlvg 从从A到到B程度方向分运动有程度方向分运动有 203 1l m m14.6 m mx岸岸 木排停靠在河上，到岸的间隔木排停靠在河上，到岸的间隔L L60 m60 m流水速度流水速度同离

24、岸的间隔成比例地增大，在岸边同离岸的间隔成比例地增大，在岸边u0=0u0=0，而在木排边流速，而在木排边流速uL=2 uL=2 m/sm/s小汽船分开岸驶向木排船对水的速度小汽船分开岸驶向木排船对水的速度v=7.2 km/hv=7.2 km/h问驾驶员问驾驶员在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航处正对面的木排？这时船航行多少时间？处正对面的木排？这时船航行多少时间？ V0=v 流水速度为流水速度为ukx 船的合速度为船的合速度为LVuvVuv在岸边船的合速度大小在岸边船的合速度大小V0=v方向如示方向如示 !122

25、Lvuk 中中m m/ /s s= =2LukL m m/ /s s中间时辰船合速度沿中间时辰船合速度沿x方向方向,航线如航线如 示示30 vu中中VVvuLcosLtv 经过经过L的时间的时间30 602cos30 20 3 s s 如下图，一个完全弹性小球自在下落，经如下图，一个完全弹性小球自在下落，经5m5m碰到碰到斜面上的斜面上的A A点同时斜面正以点同时斜面正以V V10m10ms s在程度面上做匀速运动，斜在程度面上做匀速运动，斜面与程度面的倾角为面与程度面的倾角为4545问在离问在离A A点多远处，小球将与斜面发生第点多远处，小球将与斜面发生第二次碰撞？二次碰撞？ 球以球以v=1

26、0 m/sv=10 m/s入射，与斜面的接近速度入射，与斜面的接近速度 vAVv 球球2v 球球= =1 10 0m m/ /s s球与斜面的分别速度球与斜面的分别速度 v 球球2v 球球= =1 10 0m m/ /s s球从与斜面分别到再次碰撞历时球从与斜面分别到再次碰撞历时g45 20 22cos4545 2vtg 球球= =s ss s留意到球沿斜面体方向初速度为零，加速度留意到球沿斜面体方向初速度为零，加速度gsin45 21sin452AAgt 球再与斜面碰撞处距球再与斜面碰撞处距A A40 2 m m 如下图，一人站在一平滑的山坡上，山坡与程度面如下图，一人站在一平滑的山坡上，山

27、坡与程度面成角度成角度 他与程度成他与程度成 仰角扔出的石子落在斜坡上间隔为仰角扔出的石子落在斜坡上间隔为L L，求其抛，求其抛出时初速度出时初速度v0v0及以此大小初速度抛出的石子在斜坡上可以到达的最及以此大小初速度抛出的石子在斜坡上可以到达的最大间隔大间隔 xyv0g L石子沿山坡方向做匀加速运动石子沿山坡方向做匀加速运动 201cossin2Lvtgt 石子沿垂直山坡方向做匀加速运动石子沿垂直山坡方向做匀加速运动 0sin2cosvtg 0cos2cos sinvgL 得得设抛出石子的仰角为设抛出石子的仰角为 2022cossincosvLg 202sin 2sincosvg 2022c

28、ossincosvLg 22 当当 2max021sincosvLg 小球以恒定速度小球以恒定速度v v沿程度面运动，在沿程度面运动，在A A点坠落于半径点坠落于半径为为r r和深为的竖直圆柱形井中小球速度和深为的竖直圆柱形井中小球速度v v与过点井的直径成与过点井的直径成 ，俯视如图问俯视如图问v v、H H、r r、 之间关系如何，才干使小球与井壁和井底之间关系如何，才干使小球与井壁和井底弹性碰撞后，可以从井里弹性碰撞后，可以从井里“跳出来不计摩擦跳出来不计摩擦 vAr 小球运动轨迹的俯视图如示小球运动轨迹的俯视图如示 小球两次与壁相碰点间程度射程为小球两次与壁相碰点间程度射程为 2 co

29、sr 12 cosrtv 历时历时 从进入至与底碰撞历时从进入至与底碰撞历时 22Htg 为使小球与井壁和井底弹性碰撞后，可以从井里为使小球与井壁和井底弹性碰撞后，可以从井里“跳出来跳出来122ntkt cos2rHnkvg 即即(n、k均为正整数均为正整数) 小球在竖直方向做自在下小球在竖直方向做自在下落或碰底上抛至速度为零落或碰底上抛至速度为零小球在程度方向以小球在程度方向以v v匀速运动匀速运动, ,碰壁碰壁“反射反射 如图，一位网球运发动用拍朝程度方向击球，第一如图，一位网球运发动用拍朝程度方向击球，第一只球落在本人一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地只球落在本人一方场地上后

30、弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地处第二只球直接擦网而过，也落在处球与地面的碰撞是完处第二只球直接擦网而过，也落在处球与地面的碰撞是完全弹性的，且空气阻力不计，试求运发动击球高度为网高的多少倍？全弹性的，且空气阻力不计，试求运发动击球高度为网高的多少倍？ BACOH设设C点高度为点高度为h，由题意球，由题意球1运动时间为运动时间为123Htg 由题意球由题意球2运动时间为运动时间为22Htg 程度射程一样程度射程一样1221223vtvvvt x 212222HhHhHvvgggx 2 HhH34hH 初速度为初速度为v0 v0 的炮弹向空中射击，不思索空气阻力，的炮弹向空中射击，不思索空气阻力，试求出空间平安区域的边境的方程试求出空间平安区域的边境的方程 这个问题可笼统为一个求射出炮弹在空中能够轨这个问题可笼统为一个求射出炮弹在空中能够轨迹的包络线方程问题，包络线以外即为平安区域迹的包络线方程问题，包络线以外即为平安区域 如图，在空间三维坐标中，设初速度方向与如图，在空间三维坐标中，设初速度方向与xyxy平面成平面成 角，由抛体运动规律可建立时间角，由抛体运动规律可建立时间t t的三个参数方程的三个参数方程 xzyOv0vxvyvz xxv t 201sin2zvtgt yyv t 22220cosxyvt 且且2