2018人教A版数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关系》教案

1、四川省米易中学校高中数学（新课标人教A版 必修二）：21空间点、直线、平面之间的位置关系教案自主探究学习能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性； 正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理1 .平面通常用希腊字母 a、3、丫等表不，如平面 a、平面3等，也可以用表不平面 的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABC四.2 .如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）3 .公理1 :如果

2、一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内4 .公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面5 .公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线.6 .公理2的三条推论：推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.名师要点解析要点导学1 .点A在直线上，记作A w a ;点A在平面a内，记作AW” ；直线a在平面a内，记作 a 二".2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下:公理1公理2公理3图形语言7金/

3、L/Z37 y仁”/文字语言十 在如果一条直线上的两点在 个平面内，那么这条直线 此平面内.过小在一条直线上的二点， 有且只L个平囿.如果两个不重合的平囿 有一个公共点，那么它们有 且只什-条过该点的公共 直线.何语日A 引，B m上l uaA = a,B亡久JA,B,C不共线二A,B,C确7E十回aD,b ,np=iP = o(, Purn 4 (PWl3.公里的作用（1）公理1作用：判断直线是否在平面内；（2）公理2作用：确定一个平面的依据；（3）公理3作用：判定两个平面是否相交的依据【经典例题】【例】在正方体 ABCD A1B1C1D1中.（1） AA与Cg是否在同一平面内？ （2）点B

4、,G,D 是否在同一平面内？ （3）画出平面 AC1与平面BC1D的交线，平面 ACD1与平面BDC1的交线.【分析】 利用公理1、公理2、公理3及公理2的推论来判定.【解】（1）在正方体 ABCD A1B1clD1中，%_ _r护.AA/CC1,由公理2的推论可知，AA与CC1可确定AA与CCi在同一平面内.(2)二点B,G,D不共线，由公理 3可知，点B,G,D可确定平面B&D , ，点B,Ci,D在同一平面内.(3) ACP1BD =O , DiCADCi=E, .点 O W 平面 ACi , OW 平面 BCD一又G W平面ACi , Ci W平面BCiD ,平面 ACiPl

5、平面 BCiD =OCi,同理平面 ACDi n平面BDCi =OE【点拨】确定平面的依据有公理 2 (不在同一条直线上的三点)和 3个推论(两条平行 直线、两条相交直线、直线和直线外一点).对公理及推论的作用，应清楚明白.2.i.2空间中直线与直线之间的位置关系自主探究学习了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.i.两条直线的三种位置关系(i)相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；(2)平行直线：同一平面内，没有公共点；(3)异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 .2 .公理4:平行于同一条直线的两条直线互

6、相平行.3 .等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个 角相等.名师要点解析要点导学1 .空间两条直线的位置关系：Lk 士 3卜目交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 北面直线 /C ' 步行直线：同一平面内，没有公共点；、异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点2 .已知两条异面直线 a,b ,经过空间任一点 O作直线a'a,b'b ,把a：b所成的锐角 (或直角)叫异面直线 a,b所成的角(或夹角).a：b所成的角的大小与点 O的选择无关， 为了简便，点O通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为(0,90 1 ,如果

7、两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作a.Lb.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点一平移一定角一计算3 .公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.【经典例题】【例i】判断下列命题的真假，真的打，假的打“x”(i)平行于同一直线的两条直线平行()(2)垂直于同一直线的两条直线平行()(3)过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行()(4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条()(5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等()(6)若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等()【分析】依据公理4、异面直线所

8、成角的定义及等角定理进行判断【解】(i) (，)；(2) ( X ); (3) (，)；(4) ( X ); (5) ( X ); (6) (，).【点拨】注意在空间中思考问题， 如问题（4）,与已知直线平行且距离等于定长的直线 在一个平面内是只有两条，（!在空间中就有无数条【例】如图中，正方体 ABCD-ABCD, E, F分别是AQ AA的中点.（1）求直线AB和CC所成的角的大小；（2）求直线AB和EF所成的角的大小.【分析】依据异面直线所成角的定义，借助正方体本身的性质，依照选点、平移、定角、11算的步骤进行解答【解】（1）如图，连接 DC,DC/ AB,DC和CC所成的锐角/ CCD

9、就是AB和CC所成白角. / CCD=45 , AB 和 CC所成的角是 45° .（2）如图，连接DA, AG,EF/ AD, AB/DC,，/ AiDC 是直线 AB 和 EF 所成的角 A ADC是等边三角形，/ADG=60o,即直线 AB和EF所成的角是60o.【点拨】 求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两 异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将陌生问题熟悉化.2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系自主探究学习了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的

10、概念，了解平面与平面的两种位置关系.1 .直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内一一有无数个公共点（2）直线与平面相交一一有且只有一个公共点（3）直线在平面平行一一没有公共点2 .两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行没有公共点（2）两个平面相交一一有且只有一条公共直线名师要点解析要点导学1.直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相 交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）.分别记作：l心口 ； 1口久=P ；1 / : .2.两平面的位置关系： 平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作otP;：- r - =

11、1.【经典例题】【例1】a/ b且a与平面ct相交，那么直线 b与平面ot的位置关系是（）A.必相交B.有可能平行C.相交或平行D .相交或在平面内【分析】可借助手边的模型进行判定./ 【解】A【点拨】解题时利用手边的模型或教室中的长方体模型可快速解入1决问题.二二,【例2】如右图，设 AB/口 ABC的三对对应顶点的连线 AA, 为、AO BO CO 2S abcBB, CC相父于一点 Q 且=一.试求 的值.OA OB1 OC13 Sabc【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方进行计算【解】依题意，因为 AA, BB, CC相交于一点O,且公0 =里=生，OAi OBi OCi所以

12、 AB/ Ai Bi, AC/ AC, BC/ BiCi.由平移角定理得/ BAG/BiAiCi, /ABG/AiBC, ABSABC,所以 %BC = ( 2) 2=土SAiB1ci39【点拨】利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行 公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定自主探究学习以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识 和理解空间中线面平行的判定，理解直线与平面平行判定定理，初步掌握转化思想“线线平行二线面平行”.直线与平面平行的判定定理：平面外一

13、条直线与此平面，内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行名师要点解析要点导学1 .判定定理的符号表示为：a <Zot,bUot,ab= a /a .2 .证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用 ，中位线 定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.【经典例题】【例i】如果平面支外有两点A, B,它们到平面口的距离都是a,则直线AB和平面口的位直天系 TEtE ()A.平行B.相交C.平行或相交D A0【分析】的卜有两点A B,它们到平面口的距离都是a,并不能说明直线 AB一定与以平 行，因为两点A,

14、B有可能在平面a的异侧.【解】C【点拨】思考问题时，思维要发散，不能定向思维 .【例2】如图，已知 P是平行四边形 ABC哧在平面外一点， M N分别是AB PC的中点.(i)求证：Ml/平面PAD(2)若MN =BC =4, PA =4>/3 ,求异面直线 PA与MN成的 角的大小.【分析】利用中位线或平行四边形找平行线，再利用线面平行 的判定定理.【解】(i)取PD的中点H,连接AH由N是PC的中点， i NH/ZDC .由 M是 AB的中点，NH/AM 即AMNH;平行四边形. MN / AH .由MN平面PAD, AH仁平面PAD ,MN 平面 PAD .(2)连接AC并取其中点

15、为 Q连接OM ON八.，1 一 八.，1 _OM/ - BC ON/ - PA 一 2 一 2所以ZONM就是异面直线 PA与MN/f成的角，且 MQ NO由 MN =BC=4, PA =45/3，得 OM2, ON=2VS.所以NONM =30° ,即异面直线 PA与MN 30°的角.【点拨】已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行， 或通过找平行四边形得到线线平行， 再通过线线平行转化为线面平行.求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或 者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得2.2.2 平面与平面平行的判定自主探究学习以立体几何的定义、公理和定理为出发点

16、，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识 和理解空间中面面平行的判定，理解两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行名师要点解析 要点导学1 .面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两a - L"b- "a|b =P|- -个平面平仃.用将方表不为：P / a .a 、工,b：|2 .垂直于同一条直线的两个平面平行.3 .平面a上有不在同一直线上的三点到平面3的距离相等，则 a与3的位置关系是平行或相交.【经典例题】【例1】判断下列命题的真假，真的打，假的打“X”(1)平面a内有一

17、条直线与平面 P平行，则a与p平行()(2)平面a内有两条直线与平面 P平行，则a与P平行()(3)平面a内有无数条直线与平面 P平行，则口与P平行()(4)平面a内有两条平行直线与平面 P平行，则G与P平行()(5)平面a内任一条直线与平面 P平行，则a与P平行()【分析】依据面面平行的定义与判定定理进行判断.【解】(1) ( X ) ; (2) ( X ); (3) ( X )； (4) ( X ); (5)(，).【点拨】可借助于教室中的长方体模型进行面面平行的判断【例2】已知四棱锥 P-ABC珅,底面ABC四平行四边形.点M N、Q分别在PA BD PD上,且PM M/=BN ND=P

18、Q QD求证：平面 MNQ平面PBC【分析】利用平面与平面平行的判定定理进行证明，可寻找满足定理的5个条件.【证明】v PM MABN NDPQ QDMQ AD NQ/ BP而BPu平面PBC NQ0平面PBCNQ/平面PBC又ABC四平行四边形，BC/ AD,MQ BC而BC=平面PBC MQS平面PBC MQ平面PBC由MQ NQQ,根据平面与平面平行的判定定理，平面MNQ平面PBC【点拨】由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与 线的平行.2.2.3 直线与平面平行的性质自主探究学

19、习通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理， 灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线” “线面”平行的转化.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行a二 I即：a二.a/ b .二.： =b I名师要点解析要点导学1 .如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.2 .直线和平面平行的判定定理及性质定理在解题时往往交替使用.证线面平行往往转化为证线线平行，而证线线平行又将转化为证线面平行.循环往复直至证得结论为止.【经典例题】【例1】（1）直线a/

20、b, a平面a ,则b与平面a的位置关系是 .（2）A是两异面直线a, b外的一点，过A最多可作 个平面同时与a, b平行.【分析】（1）当直线b在平面a外时，b/a ；当直线b在平面a内时，bca . （2）因为过A点分别作a , b的平仃线只能作一条，（分别称a , b ）经过a , b的平面也是惟一的.所以只能作一个平面；还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了.【解】（1） b/o（或bua. （2） 1.【点拨】考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键.【例2】如右图，平行四边形EFGH勺分别在空间四边形 ABCD&边A上，求证：BD/平面

21、EFGH分掣【分析】欲证BD/平面EFGH须证BD平行于平面内一条直线，/ 显然，只要证BD/EH即可.日4 【证明】: EH /FG , EH辽平面BCD , FG仁平面BCD ,VEH 平面 BCD.2又 EH U平面ABD ,平面BCD门平面ABD =BD , EH / BD .又 EH仁平面EFGH , BDS平面EFGH , BD 平面 EFGH.【点拨】证明线面平行的转化思维链是“由已知线线平行一线面平行一线线平行一线面 平行”.2.2.4 平面与平面平行的性质自主探究学习通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行 的性质定理，灵活运用面面平行的

22、判定定理和性质定理，掌握“线线” “线面” “面面”平行的转化.名师要点解析要点导学1 .面面平行的.性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行 用符号语言表示为：:卜-,Ch =a, rT：=b=a/b.2 .其它性质： a P,l uo(n l P ; a P,l J_otn l J_ P ；夹在平行平面间的平行线段相等【经典例题】【例1】已知三个平面 a , 3 , 丫，a / 3 / 丫，a, b是异面 直线，a与a , 3 , 丫分别交于A, B, C三点，b与a , 3 , 丫分别交于D, E, F三点，连接AF交平面3于G,连接C国平面3于H,则四边形BGEH

23、5为.【分析】由a / 3 / 丫，a与AF相交于A有：BG=面ACF BG/ CF 同理有：HE/ CF BG/ HE 同理 BH/ GE一.四 边形BGEH；平行四边形.【解】平行四边形【点拨】面面平行的性质有三条，均应熟记 .【例2】如图，已知正方体 ABCD ABQ1D1中，面对角线 AB1 , F,且 B1E=CF .求证：EF/平面 ABCD【分析】 证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，本题可以用平行四边形找平行线，也可以 用面面平行的性质定理.【证明】证法一：过 E, F分别作AB, BC的垂线，

24、EM FN分别交AB BC于M N连接MN. BBL平面 ABCDBBXAB BBXBC； . . EM/ BB, FN/ BB, AB=BC, BE=GF, AE=BF,又/ BAB=/CBG45 ,BCi上分别有两点E、EM/ FNRtAAMBRtBNF，EM=FN四边形 MNFEi平行四边形，EF/ MN又 MN=平面 ABCD EF/平面 ABCDBE _BiGRA - B1BBiE =CF ,CiF _ BiGC1B - B1BFG/ BC/ BC证法二：过 E作EG/ AB交BB于G,连接GF,又 EG FG =G, AB BOB,，平面 EFG/平面 ABCDb 又 EF二平面

25、EFG 1- EF/平面 ABCD【点拨】在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住“线线平行。线面平行。面面平行”之间的互相转化而完成证明.2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定自主探究学习以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识 和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系.掌握线面角的定义及求解.1 .如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线 l与平面a互相垂直，记作l 1«. l是平面口的垂线

26、，a是直线l的垂面，它们的唯一公共点 P叫做垂足.2 .直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这 条直线与该平面垂直.符号语言表示为：若l,m, l ± n , m A n = B, mca , nca ,则 l，ot名师要点解析要点导学1 .斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角， 几何法一般先定斜足， 再作垂线找射影，然后通过解直角三角 形求解，可以简述为“作（作出线面角）一证（证所作为所求）一求（解直角三角形）”.通 常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的

27、关键.2 .斜线和平面所成的角的范围是 a|06<a<90D.【经典例题】【例1】三棱锥P ABC中，PA _LBC, PB_LAC , PO _L平面 ABC垂足为Q求证：O为底面 ABCW垂心.【分析】可证O为三角形ABC勺两条高线的交点.【证明】连接 OA OB OC PO _L平面ABCPO _BC, PO _ AC .又PA_LBC, PB _L AC ,BC，平面 PAO, AC _L平面 PBO ,得 AO _L BC, BO _L AC ,O为底面 ABC勺垂心.【点拨】此例可以变式为“已知 PA_LBC, PB _L AC ,求证PC _LAB "，其思

28、路是接着 利用射影是垂心的结论得到 OC _LAB后进行证明.三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思 路证出.【例2】如图，ABCD是正方形，SA垂直于平面 ABCD , 过A且垂直于SC的平面交SB、SC、SD分别于点E, F G ,求证：AE _LSB, AG _L SD .SC，平面 AEFG .【分析】本题考查线面垂直的判定与性质定理， 以及线线垂直和线面垂直相互转化的思想.由于 图形的对称性，所以两个结论只需证一个即可. 欲证AE S SB ,可证AE _L平面SBC ,为此须 证AE _L BC , AE_L SC,进而转化证明 BC _L平面SAB【证明】 SA_L平面ABCD ,

29、BCu平面ABCD , SA_L BC .又 ABCD为正方形, BC _L AB .BC _L 平面 ASB . . AE u 平面 ASB , B BC _L AE .又SC _L平面 AEFG ,. SC .L AE .AE _L 平面 SBC .又.SBu平面SBC ,AE _LSB,同理可证 AG _L SD .【点拨】（1）证明线线垂直，常用的方法有：同一平面内线线垂直、线面垂直的性质定 理，三垂线定理与它的逆定理，以及与两条平行线中一条垂直就与另一条垂直.（2）本题的证明过程中反复交替使用“线线垂直”与“线面垂直”的相互联系，充分体现了数学化思想的优越性.2.3.2 平面与平面垂

30、直的判定自主探究学习通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；理会用所学知识求解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系, 两平面所成的二面角的平面角的大小.1 .定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角ot- AB p.（简记P ABQ）2 .二面角的平面角：在二面角 口一 lP的棱l上任取一点O,以点。为垂足，在半平 面Q, P内分别作垂直于棱l的射线OA和OB ,则射线OA和OB构

31、成的ZAOB叫做二面角的 平面角.3 .定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂 直.记作a_Lp.4 .判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直名师要点解析要点导学5 .二面角alP的大小（1）二面角alP的大小是用它的平面角来度量的， 以点。为垂足，在半平面a,P 内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，在做二面角的平面角时，一定要有“0 A! l " ，OB! l ; /AOB的大小与点O在l上位置无关.（2）当二面角的平面角是直角时，这两个平面互相垂直6 .自二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二两角的平面角互补【经典例题】【例

32、1】已知两条不同直线 m , l ,两个不同平面a , P ,给出下列命题:若l垂直于a内的两条相交直线，则l，a ；若l / a ,则l平行于a内的所有直线;若 muot, lu P 且 l，m,则o（，P；若luP,l_Lo（,则o（，P；若 mua, lu P 且 a/P,则 m/l；其中正确命题的序号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】若l垂直于a内的两条相交直线， 则l，口，正确；若l /支，则l平行于a 内的所有直线，l与a还有可能异面；若 mua,luP且l，m,则a，P,a与P还有可能平行或不垂直的相交；若luP,l_La,则正确；若mu a , l u P且a /

33、P ,则m / l , m与l还有可能异面;【解】【点拨】根据线面、面面平行与垂直的判定与性质进行判断.【例2】如图，在正方体 ABCD AB1CQ1中，E是CC1的中点, 求证：平面A1 BD _L平面BED .【分析】 可证两个平面所成的二面角是直角【证明】连接 AC交BDT F,连接 AF , EF, AE , AC1 .由正方体 ABCD ABGD ,易得 AD =AB , ED=EB, F是 BD的中点， 所以AF -L BD, EF 1BD ,得到A1FE是二面角A -BD -E的平面角.设正方体ABCD ABGDi的棱长为2,则AF2 =AA2 +AF2 =22 +（历2 =6

34、, EF2 =CE2 +CF2 =12 +（扬2 =3 ,_2_ 22- 二 22AE 二ACi CE =(2 .2) 1 =9. 222一 AiF +EF =AE ,即 AF _LEF ,所以 平面 ABD _L平面 BED .【点拨】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方 法.此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关 Ir2.3.3直线与平面垂直的性质自主探究学习通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质，掌握直 线与平面垂直的性质定理；能运用性质定理解决一些简单问题；了解直线与平面垂直的判定定理和

35、性质定理间的相互联系 .线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行名师要点解析要点导学1 .线面垂直性质定理的符号语言：a_Lct,b_Lct=a/b2 .如果两个平面都和一条直线垂直，那么这两个平面平行【经典例题】【例1】三棱锥P -ABC中，三个侧面与底面所成的二面角相等，PO _L平面ABC垂足为Q求证：O为底面 ABC勺内心.可证点。到底面4 ABC勺三边的距离相等.作 PD_LAB 于 D, PE_LBC 于 E, PF _LAC 于 PO _1平面 ABC PO _LOD, PO _LOE, PO 1OF , PO _AB, PO _BC, PO _ AC .又 PD _LA

36、B, PE IBC, PF ±AC , AB_L平面 PDO, BC_L平面 PEO, AC_L 平面 PFO.得 OD _AB, OE _BC, OF _ AC , /PDO,/PEO,/PFO为三个侧面与底面所成的二面角的 平面角.即得 ZPDO =/PEO =/PFO , PO边公共， APDO =NPEO mNPFO ,得 OD =OE =OF 又 OD _LAB, OE _LBC, OF _L AC .O为底面 ABC勺内心.【点拨】这里用到了证明垂直问题的转化思想，即“线线垂直一线面垂直一线线垂直”上述结论对于一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等，或棱锥的顶点到底面各边的距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的内切圆的圆心【例2】在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD _L平面ABCD,PD = DC, E是PC中点，作 EF _L PB交PB于点 F .(1)证明：PA/平面EDB；B(2)证明：PB _L平面EFD ;(3)求二面角C - PB - D的大小.【分析】(1)用线面平行的判定定理，在平面EDB找与PA平行的直线；(2)用线面垂直的判定定理，在平面EFD中找与PB垂直的两条相交直线；（3）先依据二面角的定义找出二面角C PB D的平面角，再证明并求出来.【解】（1）证明：连接AC交BD于O,连