2018人教A版数学必修一第2章《基本初等函数》(一)(1.2《指数函数及其性质》第1课时)示范教案

1、河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第2章 基本初等函数（1） -2.示范教案（1.2指数函数及其性质 第1课时）教学分析有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景，先给出两个具体例子：GDP的增长问题和碳14的衰减问题.前一个问题，既让学生回顾了初中学过的整数指数哥，也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的 同时，激发学生探究分数指数哥、无理数指数哥的兴趣与欲望，为新知识的学习作了铺垫.本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如

2、推广的思想（指数哥运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数哥逼近无理数指数哥）、数形结合的思想（用指数函数的图象研究指数函数的性质 ）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值.根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标1 .通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想2 .让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.培养学生观察问题、分析问题的能力 培养学生严谨的思维和科学正确的

3、计算能力.3 .通过训练点评，让学生更能熟练指数募运算性质.展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点教学重点：指数函数的概念和性质及其应用教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用课时安排3课时教学过程第1课时 指数函数及其性质（1）导入新课思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 3,写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式， 4它是函数关系式吗？若是，请计算若要使存留的污垢不超过原有的1 ，则至少要漂洗几64次？教师引导学生分析，列出关系式y=（ -）x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在 4指数的位置上，这样的函数叫指数函数，引出本

4、节课题.121思路2.教师复习提问指数哥的运算性质 ，并要求学生计算23,2 0,2 2,16 4 ,27 3 ,49”.再提问 怎样画函数的图象，学生思考，分组交流，写出自己的答案 8,1, 1 ,2,9,1，先建立平面直角47坐标系，再描点，最后连线.点出本节课题.思路3.在本章白开头，问题(2)中时间t和碳14含量P的对应关系P= (2)诙0;如果2我们用x表示时间，y表示碳14的含量,则上述关系可表示为 y= ： ( 1 ) 5730 x,这是我们习2惯上的函数形式，像这种自变量在指数的位置上的函数，我们称为指数函数，下面我们给出指数函数的确切概念，从而引出课题.推进新课新知探究提出问

5、题1 .一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是 .(y=0.84 x)2 .某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推，一个 这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的关系式是 .(y=2 x) 提出问题(1)你能说出函数y=0.84x与函数y=2x的共同特征吗？(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念？(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0,aw1?(4)为什么指数函数的定义域是实数集 ？(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出

6、它的步骤活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的 学生，引导学生在不断探索中提高自己的应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决.问题(1)看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值 .问题(2) 一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量问题(3)为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性.问题(4)在(3)的规定下，我们可以把ax看成一个哥值，一个正数的任何次哥都有意义.问题(5)使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式.讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到

7、每给自变量x 一个值,y都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量 x都在指数的位置上，它们的底数都大于 0,但一个大于1, 一个小于 1.0.84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量 ，因为变量只有x和y.(2)对于两个解析式 y=0.84 '和y=2x,我们把两个函数关系中白常量用一个字母a来表示，这样我们得到指数函数的定义：一般地，函数y=ax(a>0,a w1)叫做指数函数，其中x叫自变量，函数的定义域是实数集R.a=0时,x>0时,a x总为0;xwo时,a x没有意义.1 x 1ta<0时，如a=-2,x= ,a x=(-2) 2 = V - 2显

8、然是没有意义的.a=1时,ax恒等于1,没有研究的必要.因此规定a>0,aw1.此解释只要能说明即可，不要深化.(4)因为a>0,x可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R.(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数.提出问题(1)前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢？(2)前面我们学习函数的时候，如何作函数的图象？说明它白步骤.利用上面的步骤，作函数y=2x的图象.1 V(4)利用上面的步骤，作函数y=( )x的图象.2(5)观察上面两个函数的图象各

9、有什么特点，再画几个类似白函数图象，看是否也有类似的特百？(6)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？把y=2x和y=( 1)、的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？2(8)你能证明上述结论吗？(9)能否用y=2x的图象画y=(1)'的图象？请说明画法的理由.2活动：教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象，同时投影展示课本表21,22及图2.12,2.13 及

10、2.14,及时评价学生，补充学生回答中的不足.学生 独立思考，提出研究指数函数性质的思路 ，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学 们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识.讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的 定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的性质.(2) 一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象.列表.x-3.00-2.50-2.00-1.50-1.000.000.501.001.502.00-xy=21-81412124作图如图2-1

11、-2-1(4)列表.x-2.50-2.00-1.50-1.000.001.001.502.002.50y=( 1) 2 x1412124作图如图2-1-2-2(5)通过观察图2121,可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的说明是增函数，图象位于x轴上方，说明值域大于0.图象经过点(0,1 ),且y值分布有以下 特点,x<0时0<y<1,x>0时y>1.图象不关于x轴对称,也不关于y轴对称,说明函数既不是奇 函数也不是偶函数.通过观察图2122,可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数 .图象自左至右是下降的，说 明是减函数，图象位于x轴上方

12、，说明值域大于0.图象经过点(0,1 ),x<0时y>1,x>0时0<y<1. 图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数 .可以再画下列函数的图象以作比较，y=3 x,y=6 x,y=( -) x,y=( 1 )x.重新观察函数图象的特点，36推广到一般的情形.(6)一般地，指数函数y=ax在a>1和0<a<1的情况下，它的图象特征和函数性质如下表所示图象特征函数性质a> 10V av 1a> 10V av 1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和 y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方

13、函数的值域为R函数图象都过定点(0,1 )a0=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐 标都大于1在第L象限内的图象纵坐 标都小于1x> 0,ax >1x>0,a x< 1在第二象限内的图象纵坐 标都小于1在第二象限内的图象纵坐 标都大于1x< 0,a x< 1x v 0,a x>1般地，指数函数y=ax在底数a> 1及0v av 1这两种情况下的图象和性质如下表所示:a> 10<a< 1图象Vi一旦一VrT因- 1J.oXri性质定义域：R值域：(0,+ 8)过点(0,1 )，即x=0

14、时y=1在R上是增函数，当x<0时,0 vyv 1;当 x > 0 时,y >1在R上是减函数，当x v 0时,y > 1;当 x>0时,0 <y<1(7)在同一坐标系中作出y=2x和y=(工)、两个函数的图象，如图2-1-2-3.经过仔细研究发2现，它们的图象关于y轴对称.2图象关于y轴对称.(8)证明：设点p(xi,y i)是y=2x上的任意一点,它关于y轴的对称点是pi(-x i,y 1),它满足方程 y=( l)x=2-x,即点pi(-x i,y i)在y=( l)x的图象上，反之亦然，所以y=2x和y=(1)x两个函数的(9)因为y=2x和y

15、=( 1) x两个函数的图象关于y轴对称，所以可以先画其中一个函数的图象 ，2利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处.应用示例思路1例1判断下列函数是否是一个指数函数？y=x2,y=8 x,y=2 - 4 x,y=(2a-1) x(a> ,a wl),y=( -4) x,y=兀 x,y=6 x3+2.活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为y=x2,y=2 4x,y=6x3+2都不符合y=ax的形式，教师强调y=ax的形式的重要性，即a前面的系数 为1,a是一个正常数(也可是一个表示正常数的代数

16、式)，指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式.xx 1xx2xx3解：y=8 ,y=(2a-1) (a> ,a w 1),y=( -4) ,y=兀 是指数函数;y=x ,y=2 - 4 ,y=6 +2 不是指数2函数.变式训练函数 y=23x,y=a x+k,y=a-x,y=( 2)-2x(a>0,a w 1)中是指数函数的有哪些？a答案：y=23x=(2 3) x,y=a-x=(1)x,y=( ) -2x= (2)-2 x 是指数函数.a a a例2比较下列各题中的两个值的大小：(1) 1.7 2.5 与 1.7 3;(2)0.8 -0.1 与 0.8-0.2;(3)1.7

17、 0.3 与 0.9 3.1.活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的，再写出(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)，比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小； 三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图象；五是利用函数的单调性.教师在学生中 巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并及时评价.解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y=1.7x的图象，如图 2-1-2-4.图 2-1-2-4在图象上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图象上横坐标为3

18、的点在横坐标为2.5的点的上方，所以 1.72.5<1.73,同理 0.8-0.1<0.8-0.2,1.7 0.3>0.93.1.解法二：用计算器直接计算：1.7 2.5 =3.77,1.7 3=4.91,所以 1.7 2.5<1.7 3.同理 0.8 -0.1<0.8 -0.2 ,1.7 0.3>0.9 3.1.解法三：利用函数单调性，1.7 2.5与1.7 3的底数是1.7,它们可以看成函数y=1.7x,当x=2.5和3时的函数值；因为1.7>1, 所以函数y=1.7x在R上是增函数，而2.5<3,所以1.72.5<1.73;0.8-0

19、.1与0.8-0.2的底数是0.8,它们可以看成函数y=0.8x,当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为0<0.8<1,所以函数y=0.8x在R上是减函数，而-0.1>-0.2,所以0.8-0.1 <0.8-0.2 ;因为 1.7 0.3>1,0.9 3.1<1,所以 1.7 0.3>0.93.1.点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决 ，但解法三不适合.由于1.7 0.3与0.9 3.1 不能直接看成某个函数的两个值 ，因此，在这两个数值间找到 1,把这两数值分别与1比较大 小，进而比较1.7 0.3与0.9 3.1的大小，这里的1是中间

20、值.思考在上面的解法中你认为哪种方法更实用？活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法彳！无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习，强化来实现.变式训练1.已知 a=0.80.7,b=0.8 0.9,c=1.2 0.8，按大小顺序排列a,b,c.答案：b<a<c(a、b可利用指数函数的性质比较，而c是大于1的).112.比较a3与a2的大小(a>0且aw0).1111答案：分a>1和0<a<1两种情况讨论.当0<a<1时,a %>a2 ;当a>1时,a 3 <a2 .例3求下列函数的定义域和值域：1

21、22x 1(1)y=2 7;(2)y=( 1)取；(3)y=10 .x1活动：学生先思考，再回答，由于指数函数y=ax,(a >0且aw1)的定义域是 R,所以这类类似 指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式.1解：(1)令x-4w0,则xw4,所以函数y=2 x的定义域是 x C R I x4,111又因为 W0,所以2x.w1,即函数y=2x"的值域是 y|y>0且y1.x - 4(2)因为-|x| >0,所以只有x=0.因此函数y=( )、T|的定义域是 x I x=0.3而 y=(

22、 2 ) *口x| =( 2 ) 0=1,即函数 y=( 2), 4x1 的值域是 y I y=1.333令-2x->0,得 2x- >0,x 1 x 1x -1 .一即>0,解得x<-1或x>1,x 1因此函数y=10 X、中工的定义域是 x I x< -1或x> 1.由于-2x-1>0,且-2x-W2,所以 E二1 >0 且 /_2_1 W1.x 1x 1x 1x 1故函数y=10,x* 的值域是 y I yR1,y w 10.点评：求与指数函数有关的定义域和值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求 并利用好指数函数的单调性，特

23、别是第（1）题千万不能漏掉y>0.变式训练_2 x J 1x32x ;(3)y=a -1(a>0,a w1).9求下列函数的定义域和值域：1 2x _x2(1)y=( 2);(2)y=、答案：（1）函数y=（2）2x'2的定义域是R值域是 J,+ 8）；（2）函数y=，32x,1的定义22,9，1.域是-2 ,+ °°），值域是0,+ oo）；（3）当a>1时，定义域是x|x >0）当0<a<1时,定义域 是x|x w。,值域是0,+ 8）.思路2例1 一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%,求出这种物

24、质的剩留量随时间（年）变化的函数关系式，作出它的图象，并从图象上求出经过多少年剩留量 是原来的一半？（结果保留一个有效数字）活动：师生共同分析，先求出解析式，列出数值对应表，再描点，画出图象后，利用图象求解， 由学生回答，学生有困难，教师可以提示，仔细审题，利用代数式分别表示出经过 1年,2年,3 年，的剩留量，归纳出关系式，取几个关键点，作出函数图象，在纵轴上取表示 0.5的点，作 纵轴的垂线交图象于一点，过这一点作横轴的垂线，横轴与垂线交点的横坐标即为所求的年解：设最初的质量为1,时间用变量x表示，剩留量用y表示，则经过1年,y=1 X84%=0.841;经过 2 年,y=1 X 0.84

25、 X 0.84=0.84 2;这样，可归纳出，经过 x 年,y=0.84 x,x C N .x0123456y10.840.710.590.500.420.35画出指数函数y=0.84x的图象，如图2-1-2-5.从图上可以看出y=0.5时，只需x=4.I 2 3 4 5 60.40.2-图 2-1-2-5答：约经过4年，剩留量是原来的一半.点评：实际问题中要注意自变量的取值范围.例2比较下列两个数的大小：(1)3 0.8,3 0.7 ;(2)0.75 0.1,0.75 0.1;(3)1.80.6,0.8 1.6;(4)(13对对(2)对对活动：教师提示学生指数函数的性质，根据学生的解题情况及

26、时评价学生 解法一：直接用科学计算器计算各数的值 ，再对两个数进行大小的比较 因为 30.8 =2.408225,3 0.7=2.157669,所以 30.8>30.7;因为 0.75 -0.1 =1.029186,0.75 0.1=0.971642,所以 0.75 -0.1 >0.75 0.1;因为1.80.6=1.422864,0.8 1.6=0.699752,所以 1.8 0.6>0.8 1.6;因为(1) 323123飞=2.080084,2 %=0.659754,所以(1 )飞 >2 飞解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较：(1)因为函数y=3x在

27、R上是增函数,0.8 >0.7,所以30.8>30.7;X(2)因为函数y=0.75x在R上是减函数,0.1 >-0.1,所以075-0.1 >0.75 0.1;X(3)由指数函数的性质知 1.8 0.6>1.8 0=1=0.8 0>0.81.6,所以 1.80.6>0.81.6;1一1-1)X(4)由指数函数的性质知()3>( )°=1=2°>2 5 ,所以()3>2 5解法三：利用图象法来解，具体解法略.点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时，首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调

28、性比较.若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个 中间量，两个数都与这个中间量进行比较 ，这是常用的比较数的大小的方法 ，然后得两个数的 大小，数学上称这种方法为“中间量法”.变式训练比较n寸an与Uan" (a>0,a w1,n e N,n>2)的大小关系.解：因为 n37=an, n/an*=ann木，而 n C N*, n>2,所以n -1 n n(n -1)n n 1>0,即>n -1 nn nn n因此：当 a>1 时 an>an,即 nS0'>Uan由；当 0<a<1 时 ann <a而，即 n

29、S0n <Gan书知能训练课本P58练习1、2.【补充练习】1 .下列关系中正确的是()21A.( 1) 3<(1) 2<( 1) 325 12212C.( 1)3<( 2) 3<( 2)3122B.( 3 3<(1) 3<(：) 3225221D.(1尸<(；)3<(；)3答案：D2 .函数y=ax(a>0,a w1)对任意的实数 x,y都有()A.f(xy)=f(x) f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y尸f(x) f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)答案：C3 .函数 y=ax+5+1(a>0,a w 1)恒过定点 .答案：(-5,2 )拓展提升探究一：在同一坐标系中作出函数y=2x,y=3 x,y=10 x的图象，比较这三个函数增长的快慢.活动：学生深刻回顾作函数图象的方法，交流作图的体会.列表、描点、连线，作出函数y=2x,y=3 x,y=10