07函数的最大小值与导数ppt课件

1、函数的最大函数的最大( (小小) )值与导数值与导数复习引入复习引入 如果在如果在x0 x0附近的左侧附近的左侧 f/f/（x x）0 ,0 ,右侧右侧f/(x)0 ,f/(x)0 ,那么那么,f(x0),f(x0)是极大值是极大值; ; 如果在如果在x0 x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0, f/(x)0 ,f/(x)0 ,那么那么,f(x0) ,f(x0) 是极小值是极小值. .2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.极值只能在函数的导数为零且在其附近左右极值只能在函数的导数为零且在其附近左右两侧的导数异号时取到两侧

2、的导数异号时取到.3.在某些问题中在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个值最小,而不是极值而不是极值.1.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的值的方法是方法是: 分析下图一个定义在区间分析下图一个定义在区间 上的函数上的函数 的极值的极值和最值和最值 ba,)(xf如何求如何求 在在 内的最大值与最小值呢？内的最大值与最小值呢？ )(xf ba ,函数的最值函数的最值x xX2X2o oa aX3X3b bx x1 1y y 观察右边一个定义观察右边一个定义在区间

3、在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象，你能的图象，你能找出函数找出函数y=fx在在区间区间a，b上的最大上的最大值、最小值吗？值、最小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 在闭区间在闭区间a,ba,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象是一的图象是一

4、条连续不断的曲线条连续不断的曲线, ,则它必有最大值和最小值则它必有最大值和最小值. .x xy y0a ab bx1x1x2x2x3x3x4x4f(a)f(a)f(x3)f(x3)f(b)f(b)f(xf(x1)1)f(x2)f(x2)gg 一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的最大值与最小上的最大值与最小值的步骤如下：值的步骤如下：:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值); :将函数将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为

5、最最小的一个为最小值小值. 求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概是一个局部概 念念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围是在整体范围 内讨论问题内讨论问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内内 的可导函数不一定有最值的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极则此极 值必是函数的最值值必是函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与

6、最小值至多各函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个有一个,而函数的极值则可能不止一个而函数的极值则可能不止一个,也可能没有也可能没有极值极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小最小值值),但除端点外在区间内部的最大值但除端点外在区间内部的最大值(或最小值或最小值),则则一定是极大值一定是极大值(或极小值或极小值). (4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函数的最则在确定函数的最值时值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值比较函

7、数在定义域内各不可导的点处的值.例例1 1、求函数、求函数 在在00，33上的最大值与最小上的最大值与最小值值. .4431)(3 xxxf解：解：)2)(2(42 xxxy当当x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy , 令令 ，解得，解得2, 221 xx0 y+04y2(0，2)0 xy (23)，34 极小值极小值31因此函数因此函数 在在00，33上的最大值为上的最大值为4 4，最，最小值为小值为 . .4431)(3 xxxf34 练习1、求函数、求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大上的最大值与最小值值与最小值.2、求函数、求函数 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最上的最大值与最小值大值与最小值最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.最大值为最大值为 f (4) =76，最小值为，最小值为 f (1)=5求函数求函数 在在 内的极值；内的极值； )(xf),(ba1. 求求 在在 上的最大值与最小值的步骤上的最大值与最小值的步骤:)( xf,ba求函数求函数 在区间端点在区间端点 的值；的值； )(xf)()(bfaf、 将函数将函数 在各极值与在各极值与 比较，其中最大的一比较，其